Fisica classica termodinamica elettromagnetismo

DINAMICA DEL PUNTO

Questa parte della meccanica indica il perché avviene il moto e quindi quali sono le causa fisiche

per cui un corpo entra in movimento e descrive un certo tipo di movimento invece che un altro.

Questo concetto contiene in particolare il caso dell'equilibrio statico, condizione per cui un punto

resta in quiete. La variazione dello stato di moto è legata all'interazione del punto con l'ambiente

esterno. PRINCIPIO D'INERZIA

Un corpo non soggetto a forze non subisce cambiamenti di velocità, resta in stato quiete se fermo

(v=0) oppure si muovo di moto rettilineo uniforme (v=costante non nulla). Infatti la variazione di

velocità, in direzione o modulo o entrambi, è dovuta all'azione di una forza. Per questo un moto

accelerato segnala la presenza di una forza agente. Un esempi a riguardo è il caso del moto circolare

uniforme, nel quale la velocità rimane costante in modulo ma rimane in direzione a ciascun istante

per effetto dell'accelerazione centripeta, e quindi di una forza.

SECONDA LEGGE DI NEWTON

L'interazione del punto con l'ambiente esterno, espresso tramite la forza F, determina l'accelerazione

del punto, ovvero la variazione della sua velocità nel tempo; m è la massa inerziale del punto. Il

termine massa inerziale è legato al fatto che la massa esprime l'inerzia del punto, cioè la sua

resistenza a variare il suo stato di moto. Mentre per punto materiale si intende concepire un corpo



privo di struttura, ma non si può rinunciare alla massa. . Questa legge è anche

= [ ]

F m

a N

chiamate legge fondamentale della dinamica.

TERZA LEGGE DI NEWTON

 

Se un corpo A esercita una forza su un corpo B, il corpo B esercita una forza sul

F F

A , B B , A

corpo A; le due forza hanno la stessa direzione, lo stesso modulo e verso opposto, sono uguali e

 

= −

contrarie . Le due forza hanno la stessa retta d'azione.

F F

A, B B , A QUANTITà DI MOTO

Lo stato dinamico del punto è individuato dalla quantità di moto. E si definisce: .

 = 

p m v

VALORE MEDIO DELLA FROZA

 

p

 =

F m t

PRIMA EQUAZIONE CARDINALE DELLA DINAMICA

 e

=

p̊ F

CONSERVAZIONE DELLA QUANTITà DI MOTO

   =

p 0

Quando è nulla, e pertanto . Quindi in assenza di forze esterne

 =

p cost

F

applicate la quantità di moto di un punto materiale rimane costante, ovvero si conserva.

1 di 16

RISULTANTE DELLE FORZE

∑

 

=

R F

La risultante delle forze è definita come: . Affermare che la forza agente su un punto

i

i

è nulla non significa necessariamente che sul punto non agiscono forze, ma spesso indica che la



risultante delle forze agenti su esso è nulla. Quindi se siamo in condizioni di equilibrio

=

R 0

statico. REAZIONI VINCOLARI

Se un corpo, soggetto all'azione di una forza o della risultante non nulla di un insieme di forze,

rimane fermo, dobbiamo dedurre che l'azione della forza provoca una reazione dell'ambiente

circostante, detta reazione vincolare, che si esprime tramite una forza, eguale o contraria alla forza o

alla risultante delle forze agenti. MOTO VARIO



La forza non è costante.

F MOTO RETTILINEO UNIFORME



, e quindi si ha ovviamente .

 =  =

v cost a 0 =

F 0

MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO



e quindi la forza è vettorialmente costante.

 =

a cost F MOTO PIANO CURVILINEO 



 a

a =  

Qui l'accelerazione presenta due componenti e e quindi si avrà: .

F m a m

a

T N T N

 si chiama forza centripeta e non è un tipo particolare di forza come lo sono la forza peso, la

F N

forza elastica e la fora d'attrito ma è semplicemente il nome che si da alla componente ortogonale

alla traiettoria della risultante delle forze agenti.

FORZA PESO

Tutti i corpi se lasciati liberi cadere assumono la stessa accelerazione, detta di gravità diretta

2

verticalmente verso il suolo e il cui modulo è in media: . Se agisce solo la forza

=

g 9,8 m/ s

 

peso abbiamo visto che . Pertanto la forza peso risulta

 = 

a g

=  = 

P P m a m g 

proporzionale alla massa e si esprime sempre: . Si tratta di una forza costante e in

= 

P m g

assenza di altre forze il moto ha una componente uniformemente accelerata nella direzione parallela

a . Se invece agiscono anche altre forze in generale si ha .

  ≠ 

g a g

ATTRITO RADENTE

In condizioni di equilibrio statico il vincolo è in grado di sviluppare una forza, detta di attrito

 

radente statico uguale e contraria a ed varia con il valore della forza applicata, da zero

F F



 

N N

fino a . Quando supera il corpo entra in movimento e si osserva che si oppone

F

s s

 

= 

al moto la forza di attrito dinamico: dove rappresenta il coefficiente di attrito

F N d

ad d

  

dinamico. Risulta sempre .

s d 2 di 16

FORZA ELASTICA

Si definisce forza elastica una forza di direzione costante con verso rivolto sempre ad un punto O,

chiamato centro, e con modulo proporzionale alla distanza da O. Se assumiamo come asse x la

 = −kx 

direzione della forza e come origine il centro, possiamo scrivere: . L'accelerazione

F u x



F k 2

vale: ; e quindi il moto è armonico semplice. Il modulo di questa forza

 = = − = − 

a x x

m m

di richiamo è proporzionale alla deformazione fino a che non si supera il limite di elasticità della

molla. Se abbiamo una molla libera ad entrambi gli estremi e vogliamo deformarla di una quantità

x, dobbiamo applicare ai due estremi due forze uguali e contrarie di modulo kx.

FORZE CENTRIPETE 2

v

 

determina l'accelerazione centripeta secondo la relazione essendo r il

F = =

F ma m

N N n r

2

v

=

r

raggio di curvatura della traiettoria e si esprime come .

a n

PENDOLO SEMPLICE

Il pendolo semplice è costituito da un punto materiale appeso tramite un filo inestensibile e di



massa trascurabile. Le due forze agenti sul punto P sono il peso e la tensione del filo T



m g F



  = 

per cui il moto è regolato da . Quando l'ampiezza delle oscillazioni è piccola

m g T m a

F  =    

 =  sin t

sin

così che la legge oraria del moto è: . Il periodo T è dato da

0



2 L

= =

T 2 . La velocità è massima quando il punto passa per la verticale e nulla agli

 g

estremi. La tensione è max nella verticale.

TENSIONE DEI FILI



Il filo teso esercita agli estremi la tensione , il cui valore dipende dalle forze applicate e che

T

deve essere pensata come la reazione del filo alla forza che lo tende.

IL LAVORO 

Considerando un punto materiale P soggetto ad una forza che subisca , per azione di questa

F

 

s s

forza, uno spostamento , il lavoro W compiuto dalla forza per lo spostamento è

 

definito come il prodotto scalare della forza per lo spostamento: . Se

=  =  

W F s F s⋅cos

W > 0 viene chiamato lavoro motore; se W < 0 viene chiamato lavoro resistente; altrimenti W = 0 e

 

in questo caso ha azione puramente centripeta. Quando è effettivamente la somma di n

F F

forze, il lavoro è la somma dei lavori delle singole forze agenti, ciascuno dei quali può essere

positivo, negativo o nullo. POTENZA dW

= =

P Fv

La potenza corrisponde al lavoro per unità di tempo: . questa è la potenza

dt

istantanea, e caratterizza la rapidità di erogazione del lavoro. La potenza media invece è il rapporto

W , cioè il lavoro totale per il tempo durante cui il lavoro è stato svolto.

t 3 di 16

ENERGIA CINETICA = 

W E

Per un percorso finito dalla posizione A a quella B abbiamo: dove la quantità

k

1 2

=

E mv prende il nome di energia cinetica.

k 2 TEOREMA DELL'ENERGIA CINETICA

Qualunque sia la forza agente su un punto materiale nello spostamento da A a B il lavoro della forza

è uguale alla variazione dell'energia cinetica del punto materiale stesso.

Se W > 0, l'energia cinetica finale è maggiore di quella iniziale mentre se W < 0, l'energia cinetica

finale è minore di quella iniziale. Se non c'è spostamento non può esserci lavoro, qualunque sia la

forza applicata. Si parla sempre di lavoro scambiato e mai che un sistema possiede lavoro. So parla

invece di energia posseduta. LAVORO DELLA FORZA PESO

= −  =

W E E mgz

Il lavoro della forza peso vale: , dove con indichiamo una funzione

p p

coordinata z del punto detta energia potenziale della forza peso. Il lavoro della forza peso è uguale

all'opposto della variazione dell'energia potenziale della forza peso durante lo spostamento da A a B

e pertanto non dipende dalla particolare traiettoria che collega A e B.

E

Se W della forza peso è > 0 allora diminuisce. Se invece W della forza peso è < 0 allora

p

E aumenta.

p LAVORO DI UNA FORZA COSTANTE  = − 

W E

Il discorso che vale per la forza peso si estende a qualsiasi altra forza , infatti:

F p

 =

E Fz

dove l'energia potenziale della forza costante è .

F p

LAVORO DI UNA FORZA ELASTICA

 = − 

Il lavoro di una forza elastica per uno spostamento lungo l'asse x vale:

F kx u x

1 2

= −  =

W E E kx

dove è detta energia potenziale elastica. Se il punto si muovo verso

p p 2 E

il centro della forza, il lavoro della forza elastica è positivo, è diminuisce; nel caso contrario

p

E

di allontanamento dal centro W < 0, aumenta.

p

LAVORO DELLA FORZA DI ATTRITO RADENTE

Il lavoro della forza di attrito radente è sempre negativo e dipende dal percorso e non è esprimibile

come differenza dei valori di una funzione delle coordinate nei punti A e B.

FORZE CONSERVATIVE

Le forze per cui il lavoro non dipende dal percorso, si chiamano forze conservative. Per il calcolo

del lavoro possiamo utilizzare qualsiasi percorso che colleghi A e B e se si inverte il senso di

percorrenza, cioè si va da B ad A, cambia solo il segno del lavoro. Di conseguenza lungo un

qualsiasi percorso chiuso il lavoro è nullo. Per tutte le forze conservative va la relazione:

=− 

W E .

p 4 di 16

FORZE NON CONSERVATIVE

Per forze non conservative non si può introdurre l'energia potenziale. Il lavoro di una forza non

conservativa è sempre uguale alla variazione di energia cinetica.

CONSERVAZIONE DELL'ENERGIA MECCANICA

La somma del''energia potenziale e cinetica di un punto materiale, che si chiama energia meccanica,

che si muove sotto l'azione di forze conservative resta costante durante il moto, si conserva. Per cui

 = 

E E E E esprime il principio di conservazione dell'energia meccanica. Il

k , A p , A k , B p , B

lavoro ottenuto a spese della diminuzione di energia potenziale causa un aumento dell'energia

cinetica e viceversa. Durante il moto avviene una trasformazione da una forma all'altra di energia.

In presenza di forze non conservative l'energia meccanica non resta costante e la sua variazione è

= −

W E E

uguale al lavoro delle forze non conservative: .

nc m , B m , A

MOMENTO ANGOLARE

Si definisce come momento angolare il momento del vettore quantità di moto:

 .

=  ×  =  ×

L r p r m

v MOMENTO DELLA FORZA

 

Il momento della forza è definito come: . Quando ad un punto sono applicate più

=  ×

M r F

∑

   

=

R F

forze con risultante si ha: .

=  ×

M r R

i

i

TEOREMA DEL MOMENTO ANGOLARE



d L  questa è la relazione che rappresenta il teorema del momento angolare se entrambi i

= M

dt

momenti sono riferiti allo stesso polo fisso. Il momento angolare rimane costante nel tempo. Si

conserva, se il momento delle forze è nullo.

OSSERVAZIONI SEULLA DINAMICA DEL PUNTO

• La legge fondamentale da utilizzare per lo studio del moto di un punto materiale è



d v

 = =

F m a m

 . A tal fine si devono identificare le forze che effettivamente agiscono

dt

sul punto, non dimenticando reazioni vincolare, tensioni dei fili ed eventuali attriti.

• In generale velocità ed accelerazioni non sono tra loro parallele e il moto avviene nella

direzione e nel verso della velocità, non dell'accelerazione e quindi della forza.

• Conseguenza diretta della seconda legge di Newton è che il lavoro della forza gente è eguale

alla variazione dell'energia cinetica del punto su cui agisce la forza.

• Il significato dell'energia, cinetica o potenziale che sia, è la capacità di un sistema di

scambiare lavoro ovvero essa va intesa come serbatoio di lavoro. Un 'applicazione molto

comune del principio di conservazione dell'energia meccanica sfrutta il legame stabilito da

=  =

E E E cost. tra energia cinetica ed energia potenziale, per esprimere la

m k p

velocità in funzione della posizione. Questa via normalmente è preferibile nei problemi in

cui non è richiesta la dipendenza dal tempo.

5 di 16

SISTEMI DI PUNTI. FORZE INTERNE ED ESTERNE

Alle forze interne si applica la terza legge di Newton, o principio di azione e reazione. La natura

delle forze interne può essere qualsiasi; ad esempio, se i punti sono legati tra loro da fili e molle

abbiamo le tensioni dei fili (attrattive) e le forze elastiche (attrattive o repulsive a seconde che le

molle siano estese o compresse), se i punti sono a contatto le forze interne possono essere dovute a

deformazioni (elastiche o non elastiche) e a fenomeni di attrito. In generale la risultante di tutte le

forze interne è nulla. POSIZIONE DEL CENTRO DI MASSA

Si definisci centro di massa di un sistema di punti materiali il punto geometrico la cui posizione è

∑ m r



i i

i

=

r



individuata, nel sistema di riferimento considerato dal raggio vettore: .

∑

CM m

i

i

VELOCITÀ DEL CENTRO DI MASSA

Se gli n punti sono in movimento sulla base della definizione la velocità del centro di massa risulta

∑ m v

 

P

i i

i

= =

v



essere: . Infatti la quantità di moto di un sistema di punti materiali è uguale

∑

CM m

m

i

i 

m v

alla quantità di moro del centro di massa, considerato come un punto materiale che abbia

CM

 

r v

la posizione , la velocità e massa pari alla massa totale m del sistema

CM CM

ACCELERAZIONE DEL CENTRO DI MASSA

∑ m a



i i

i

=

a

 ∑

CM m i

i

TEOREMA DEL MOTO DEL CENTRO DI MASSA

  

E =

R m a Esprime il teorema del moto del centro di massa: il centro di massa si muovo come

 CM

un punto materiale in cui sia concentrata tutta la massa del sistema e a cui sia applicata la risultante



d P

  E

delle forze esterne. Si ha inoltre : la risultante delle forze esterne è uguale alla

=

R dt

derivata rispetto al tempo della quantità di moto totale del sistema.

PROPRIETÀ DECENTRO DI MASSA

• La sua velocità è uguale alla quantità di moto totale divisa per la massa totale, ovvero la sua





m v

quantità di moto è uguale alla quantità di moto totale .

P

CM

• La sua accelerazione è determinata dalla risultante delle forze esterne agenti sul sistema.

CONSERVAZIONE DELLA QUANTITÀ DI MOTO



 =  =

a 0 v cost.

, , questi risultati esprimono il principio di conservazione

=

P cost.

CM CM

della quantità di moto per un sistema di punti materiali: quando la risultante delle forze esterne è

nulla, la quantità di moto totale del sistema rimane costante nel tempo e il centro di massa si muove

di moto rettilineo uniforme o resta in quiete.

MOMENTO ANGOLARE DI UN SISTEMA DI PUNTI

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Consideriamo il momento angolare totale di un sistema di punti materiali rispetto a un polo O; detto

∑



 = ×

L r m v

 



r il raggio vettore OP si ha .

i i i

i i i

MOMENTO DELLE FORZE DI UN SISTEMA DI PUNTI

∑

 

  

E E

= ×

M r F



Il momento delle forze esterne è mentre il momento delle forze interne è

i i

i

∑

 

   

I I

= ×

M r F

 .

i i

i TEOREMA DEL MOMENTO ANGOLARE DI UN SISTEMA DI PUNTI



d L   

E costituisce il teorema del momento angolare e stabilisce che: se il polo O è fisso nel

= M

dt

sistema di riferimento inerziale o coincide con il centro di massa, anche se quest'ultimo non è in

generale un punto fisso, l'evoluzione nel tempo del momento angolare del sistema di punti è

determinata dal momento delle forze esterne rispetto ad O; le forze interne non influenzano il

momento angolare.

CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE DI UN SISTEMA DI PUNTI



d L 

ovvero e costituisce il principio di conservazi