Fisica classica termodinamica elettromagnetismo

I I

= ×

M r F

 .

i i

i TEOREMA DEL MOMENTO ANGOLARE DI UN SISTEMA DI PUNTI



d L   

E costituisce il teorema del momento angolare e stabilisce che: se il polo O è fisso nel

= M

dt

sistema di riferimento inerziale o coincide con il centro di massa, anche se quest'ultimo non è in

generale un punto fisso, l'evoluzione nel tempo del momento angolare del sistema di punti è

determinata dal momento delle forze esterne rispetto ad O; le forze interne non influenzano il

momento angolare.

CONSERVAZIONE DEL MOMENTO ANGOLARE DI UN SISTEMA DI PUNTI



d L 

ovvero e costituisce il principio di conservazione del momento angolare: se

= 0 =

L cost

dt

è nullo il momento delle forze esterne che agiscono sul sistema il momento angolare si conserva. La

  

E

condizione si può verificare quando:

=

M 0 

• non agiscono forze esterne, il sistema è isolato: allora si conserva rispetto a qualsiasi

L   E

 × 

v m v

polo per il quale ; in questa situazione, in cui è anche , si ha pure

=

R 0

0 CM   E 

la conversazione della quantità di moto, (si osservi che non ha

= =

P cost. R 0

  

E

come conseguenza, in generale, );

=

M 0

• il momento delle forze esterne è nullo rispetto ad un determinato polo, ma non rispetto a

qualsiasi polo, pure in presenza di forze esterne; pertanto si ha conservazione del momento

angolare solo se calcolato rispetto a quel polo (mentre, in generale, non si conserva in tali

casi la quantità di moto).

SISTEMA DI RIFERIMENTO DEL CENTRO DI MASSA

Il sistema di riferimento del centro di massa ha le seguenti caratteristiche:

• l'origine è nel centro di massa;

• gli assi mantengono sempre la stessa direzione rispetto agli assi del sistema inerziale e

possono essere assunti paralleli a questi;

• si tratta in generale di un sistema non inerziale: infatti il moto del sistema del centro di

massa è traslatorio, ma non necessariamente rettilineo e uniforme; ciò avviene solo se

  =

 

E a 0

così che .

=

R 0 CM

QUANTITÀ DI MOTO TOTALE RISPETTO AL CENTRO DI MASSA

∑

 =

P ' m v '



La quantità di moto del sistema, , risulta nulla se misurata nel sistema di

i i

i 

m v '

riferimento del centro di massa, anche se i singoli termini sono in generale diversi da zero.

i i

MOMENTI RISPETTO AL CENTRO DI MASSA

7 di 16

Per quanto riguarda i momenti si dimostra che:

• il momento risultante rispetto al centro di massa nel sistema del centro di massa delle forze

esterne, delle forze interne e delle forze di inerzia è uguale al solo momento delle forze

∑

 

  

E E

= ×

M ' r ' F



esterne , senza contributi dalle altre forze di inerzia;

i i

i

∑

 = ×

L ' r ' m v '

 

• dato , momento angolare rispetto al centro di massa nel sistema del

i i i

i 

d L'   E

centro di massa, vale la relazione : il teorema del momento angolare

= M '

dt

sussiste anche per le grandezze calcolate nel sistema non inerziale del centro di massa

purché come polo si assuma il centro di massa.

PRIMO TEOREMA DI KӦNIG

   

=   × = 

Il primo teorema di Kӧ n i g stabilisce che , il momento

L L' r m

v L' L

CM CM CM

angolare del sistema si può scrivere, nel sistema di riferimento inerziale, come somma del momento



angolare dovuto al moto del centro di massa, , e di quello del sistema rispetto al centro di

L CM

massa. SECONDO TEOREMA DI KӦNIG

1

  

2

=  = 

E E ' mv E ' E

Il secondo teorema di Kӧ n i g stabilisce che , l'energia

k k CM k k ,CM

2

cinetica del sistema di punti si può scrivere, nel sistema di riferimento inerziale, come la somma



dell'energia cinetica dovuta al moto del centro di massa, , e di quella del sistema di

E k ,CM

riferimento del sistema rispetto al centro di massa.

TEOREMA DELL'ENERGIA CINETICA

E   

I

 = − = 

Il teorema dell'energia cinetica stabilisce che W W E E E , il lavoro

k , B k , A k

complessivo fatto dalle forze esterne ed interne che agiscono su un sistema di punti materiali è

uguale alla variazione dell'energia cinetica dello stesso sistema tra la configurazione finale e quella

iniziale.

LAVORO DELLE FORZE CONSERVATIVE PER UN SISTEMA DI PUNTI MATERIALI

Se le forze interne sono conservative, il lavoro è esprimibile, come l'opposto della variazione

   

I I

= − 

dell'energia potenziale legata a queste forze, W E ; analogamente, se lo sono quelle

p

   

E E

= − 

esterne, .

W E p

LAVORO DELLE FORZE NON CONSERVATIVE PER UN SISTEMA DI PUNTI MATERIALI

Se non tutte le forze sono conservative abbiamo invece:

− =    −    =

E E E E E E W ; in questa formula il lavoro delle forze è

m , B m , A k p B k p A nc

−

E E W

espresso da e quello delle forze non conservative da .

nc

p , A p , B

MOMENTO RISULTANTE DELLE FORZE RISPETTO AL POLO O

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∑

 

= ×

M r F

 . Un'applicazione importante di questo risultato riguarda la coppia di forze.

O i i

i 

  

= ×

M OP R

Infatti dove rappresenta la distanza delle due rette d'azione ed è chiamata

OP

O

braccio della coppia, b. Quindi dato un sistema di forze applicate a punti diversi e fissato un polo





per i momenti, con il che sono noti e , questo sistema può essere sempre ridotto a una

M

R O

 

forza con retta d'azione passante per il polo (così il momento di rispetto alo polo è nullo)

R R



e ad una coppia di forze di momento (che ha risultante nulla e momento indipendente dal

M O

polo) CORPO RIGIDO

Un sistema di punti materiali, in cui le distanze tra tutte le possibile coppie di punti non posso

variare, si dice corpo rigido. DENSITÀ PER UN CORPO OMOGENEO m

=

Un corpo nel quale la densità è costante è costante si dice omogeneo; per esso vale .

V

DENSITÀ MEDIA PER UN CORPO NON OMOGENEO

I corpi in cui la densità non è costante si dicono non omogenei. In essi si usa comunque definire una

m

 =

densità media , valore medio nel volume V della funzione ρ.

 V 

MOMENTO DI UN CORPO RIGIDO SOTTOPOSTO A P

 =  × 

Il momento risultante di un corpo continuo sottoposto alla forza peso è M r m g

CM 

ENERGIA POTENZIALE DI UN CORPO RIGIDO SOTTOPOSTO A P

=

E mg z

L'energia potenziale si caloca integrando e si arriva alla forma: .

p CM

MOTO DI TRASLAZIONE DI UN CORPO RIGIDO

Nel moto di traslazione tutti i punti descrivono traiettorie uguali, in generale curvilinee, percorse

con la stessa velocità , che può variare nel tempo in modulo, direzione e verso ma che è



v 



v = 

sempre coincidente con . l'equazione del moto del centro di massa è . E le

R m a

CM CM

 = 

grandezze significative in una traslazione sono: • quantità di moto: P m v CM 1 2

= =

E E mv

• energia cinetica: .

k k , CM CM

2

La conoscenza del momento angolare si ricava invece dalla conoscenza della quantità di moto e

  

= =  ×  =  ×

della posizione del centro di massa: .

L L r m v r P

CM CM CM CM

MOTO DI ROTAZIONE DI UN CORPO RIGIDO

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Nel moto di rotazione tutti i punti descrivono un moto circolare, le traiettorie sono archi di

circonferenze diverse che stanno su piani tra loro paralleli e hanno il centro di massa su uno stesso





asse, l'asse di rotazione. Tutti i punti hanno la stessa velocità angolare , che è parallela all'asse

 R

v

di rotazione; le velocità dei singoli punti sono diverse, a seconda della distanza dall'asse

i i

= 

v R

di rotazione (in modulo ) l'equazione dinamica base del moto di rotazione è

i i



d L

 

. Dall'equazione del moto poi si ricava l'accelerazione angolare e quindi la

=

M dt 

velocità angola .

MOTO DI ROTOTRASLAZIONE DI UN CORPO RIGIDO

Il moto rigido più generale è una rototraslazione: ogni spostamento infinitesimo può essere sempre

considerato come somma di una traslazione e di una rotazione infinitesime, individuate da e



v



 , variabili nel tempo. Per descrivere una rototraslazione si utilizzano sia il teorema del moto

del centro di massa che il teorema del momento angolare.

ROTAZIONE ATTORNO AD UN ASSE FISSO IN UN SISTEMA DI RIFERIMENTO

INERZIALE

L'asse di rotazione può essere esterno al corpo e il centro di massa non è detto sia un punto dell'asse



 

R

v a

stesso. La velocità del punto è , di modulo , l'accelerazione è con componente

i

i i

2  R



normale R e tangente .

i

i P

MOMENTO ANGOLARE DEL PUNTO i



P =  × 

Il momento angolare del punto rispetto al polo O è dato da ; il modulo di

L r m v

i i i i i

 = = 

L m r v m r R

è

L i i i i i i i

i MOMENTO ANGOLARE ASSIALE P

Il momento angolare assiale del punto è:

i

 

 2 .

= −  =  =   = 

L L cos L sin m r sin R m R

iz i i i i i i i i i i

2 MOMENTO ANGOLARE DEL CORPO

∑

  

=

L L

Il momento angolare del corpo è e la proiezione di sull'asse z è

L

i

i

 

∑ ∑ 2

= =  = 

L L m R I

z iz i i z

i i

MOMENTO D'INERZIA DEL CORPO RISPETTO ALL'ASSE Z

∑ ∑

2 2 2

= =   

I m R m x y . il momento d'inerzia dipende quindi dalle masse e dalla loro

z i i i i i

i i

posizione rispetto all'asse di rotazione: non è una caratteristica del corpo che si possa calcolare nota

la sua struttura, ma per definirlo è necessario conoscere anche la posizione rispetto al corpo

dell'asse