Fisica classica termodinamica elettromagnetismo

Dinamica del punto

Questa parte della meccanica indica il perché avviene il moto e quindi quali sono le cause fisiche per cui un corpo entra in movimento e descrive un certo tipo di movimento invece che un altro. Questo concetto contiene in particolare il caso dell'equilibrio statico, condizione per cui un punto resta in quiete. La variazione dello stato di moto è legata all'interazione del punto con l'ambiente esterno.

Principio d'inerzia

Un corpo non soggetto a forze non subisce cambiamenti di velocità, resta in stato quiete se fermo (v=0) oppure si muove di moto rettilineo uniforme (v=costante non nulla). Infatti, la variazione di velocità, in direzione o modulo o entrambi, è dovuta all'azione di una forza. Per questo un moto accelerato segnala la presenza di una forza agente. Un esempio a riguardo è il caso del moto circolare uniforme, nel quale la velocità rimane costante in modulo ma varia in direzione a ciascun istante per effetto dell'accelerazione centripeta, e quindi di una forza.

Seconda legge di Newton

L'interazione del punto con l'ambiente esterno, espresso tramite la forza F, determina l'accelerazione del punto, ovvero la variazione della sua velocità nel tempo; m è la massa inerziale del punto. Il termine massa inerziale è legato al fatto che la massa esprime l'inerzia del punto, cioè la sua resistenza a variare il suo stato di moto. Mentre per punto materiale si intende concepire un corpo privo di struttura, ma non si può rinunciare alla massa.

Terza legge di Newton

Se un corpo A esercita una forza su un corpo B, il corpo B esercita una forza sul corpo A; le due forze hanno la stessa direzione, lo stesso modulo e verso opposto, sono uguali e contrarie. Le due forze hanno la stessa retta d'azione.

Quantità di moto

Lo stato dinamico del punto è individuato dalla quantità di moto. Si definisce: p = m v.

Valore medio della forza

F = Δp / Δt

Prima equazione cardinale della dinamica

F = dp/dt

Conservazione della quantità di moto

Quando la risultante delle forze è nulla, la quantità di moto di un punto materiale rimane costante, ovvero si conserva.

Risultante delle forze

La risultante delle forze è definita come: R = ΣF_i. Affermare che la forza agente su un punto è nulla non significa necessariamente che sul punto non agiscono forze, ma spesso indica che la risultante delle forze agenti su esso è nulla, quindi siamo in condizioni di equilibrio statico.

Reazioni vincolari

Se un corpo, soggetto all'azione di una forza o della risultante non nulla di un insieme di forze, rimane fermo, dobbiamo dedurre che l'azione della forza provoca una reazione dell'ambiente circostante, detta reazione vincolare, che si esprime tramite una forza, eguale o contraria alla forza o alla risultante delle forze agenti.

Moto vario

La forza non è costante.

Moto rettilineo uniforme

v = costante e quindi a = 0, F = 0.

Moto uniformemente accelerato

a = costante e quindi la forza è vettorialmente costante.

Moto piano curvilineo

Qui l'accelerazione presenta due componenti: a_T e a_N e quindi si avrà: F = ma_T = m a_N. La forza centripeta non è un tipo particolare di forza come lo sono la forza peso, la forza elastica e la forza d'attrito, ma è semplicemente il nome che si dà alla componente ortogonale alla traiettoria della risultante delle forze agenti.

Forza peso

Tutti i corpi, se lasciati liberi di cadere, assumono la stessa accelerazione, detta di gravità, diretta verticalmente verso il suolo e il cui modulo è in media: g = 9,8 m/s². Se agisce solo la forza peso abbiamo visto che a = g. Pertanto la forza peso risulta proporzionale alla massa e si esprime sempre: P = mg. Si tratta di una forza costante e in assenza di altre forze il moto ha una componente uniformemente accelerata nella direzione parallela a g. Se invece agiscono anche altre forze in generale si ha a ≠ g.

Attrito radente

In condizioni di equilibrio statico il vincolo è in grado di sviluppare una forza, detta di attrito radente statico, uguale e contraria a F, e varia con il valore della forza applicata, da zero fino a F_s. Quando F supera F_s il corpo entra in movimento e si osserva che si oppone al moto la forza di attrito dinamico: F_d = μ_dN, dove μ_d rappresenta il coefficiente di attrito dinamico. Risulta sempre μ_s > μ_d.

Forza elastica

Si definisce forza elastica una forza di direzione costante con verso rivolto sempre ad un punto O, chiamato centro, e con modulo proporzionale alla distanza da O. Se assumiamo come asse x la direzione della forza e come origine il centro, possiamo scrivere: F = -kx. L'accelerazione vale: a = -kx/m; e quindi il moto è armonico semplice. Il modulo di questa forza di richiamo è proporzionale alla deformazione fino a che non si supera il limite di elasticità della molla. Se abbiamo una molla libera ad entrambi gli estremi e vogliamo deformarla di una quantità x, dobbiamo applicare ai due estremi due forze uguali e contrarie di modulo kx.

Forze centripete

La forza centripeta F_N determina l'accelerazione centripeta secondo la relazione F_N = mv²/r essendo r il raggio di curvatura della traiettoria e si esprime come a_N = v²/r.

Pendolo semplice

Il pendolo semplice è costituito da un punto materiale appeso tramite un filo inestensibile e di massa trascurabile. Le due forze agenti sul punto P sono il peso mg e la tensione del filo T per cui il moto è regolato da mg = T + ma. Quando l'ampiezza delle oscillazioni è piccola, la legge oraria del moto è: θ(t) = θ₀ cos(ωt + φ). Il periodo T è dato da T = 2π√(L/g). La velocità è massima quando il punto passa per la verticale e nulla agli estremi. La tensione è massima nella verticale.

Tensione dei fili

Il filo teso esercita agli estremi la tensione T, il cui valore dipende dalle forze applicate e che deve essere pensata come la reazione del filo alla forza che lo tende.

Il lavoro

Considerando un punto materiale P soggetto ad una forza F che subisca uno spostamento s, il lavoro W compiuto dalla forza per lo spostamento è definito come il prodotto scalare della forza per lo spostamento: W = F · s cosθ. Se W > 0 viene chiamato lavoro motore; se W < 0 viene chiamato lavoro resistente; altrimenti W = 0 e in questo caso ha azione puramente centripeta. Quando F è effettivamente la somma di n forze, il lavoro è la somma dei lavori delle singole forze agenti, ciascuno dei quali può essere positivo, negativo o nullo.

Potenza

La potenza corrisponde al lavoro per unità di tempo: P = dW/dt = Fv. Questa è la potenza istantanea, e caratterizza la rapidità di erogazione del lavoro. La potenza media invece è il rapporto W/t, cioè il lavoro totale per il tempo durante cui il lavoro è stato svolto.

Energia cinetica

Per un percorso finito dalla posizione A a quella B abbiamo: W = ΔE_k dove la quantità E_k = 1/2 mv² prende il nome di energia cinetica.

Teorema dell'energia cinetica

Qualunque sia la forza agente su un punto materiale nello spostamento da A a B, il lavoro della forza è uguale alla variazione dell'energia cinetica del punto materiale stesso. Se W > 0, l'energia cinetica finale è maggiore di quella iniziale mentre se W < 0, l'energia cinetica finale è minore di quella iniziale. Se non c'è spostamento non può esserci lavoro, qualunque sia la forza applicata. Si parla sempre di lavoro scambiato e mai che un sistema possiede lavoro. Si parla invece di energia posseduta.

Lavoro della forza peso

Il lavoro della forza peso vale: W_p = -ΔE_p = mgΔz, dove E_p indica una funzione coordinata z del punto detta energia potenziale della forza peso. Il lavoro della forza peso è uguale all'opposto della variazione dell'energia potenziale della forza peso durante lo spostamento da A a B e pertanto non dipende dalla particolare traiettoria che collega A e B. Se W della forza peso è > 0 allora E_p diminuisce. Se invece W della forza peso è < 0 allora E_p aumenta.

Lavoro di una forza costante

Il discorso che vale per la forza peso si estende a qualsiasi altra forza F, infatti: W = F·Δz dove l'energia potenziale della forza costante è E_p.

Lavoro di una forza elastica

Il lavoro di una forza elastica per uno spostamento lungo l'asse x vale: W = -ΔE_p = 1/2 kx² dove E_p è detta energia potenziale elastica. Se il punto si muove verso il centro della forza, il lavoro della forza elastica è positivo e E_p diminuisce; nel caso contrario di allontanamento dal centro W < 0, E_p aumenta.

Lavoro della forza di attrito radente

Il lavoro della forza di attrito radente è sempre negativo e dipende dal percorso e non è esprimibile come differenza dei valori di una funzione delle coordinate nei punti A e B.

Forze conservative

Le forze per cui il lavoro non dipende dal percorso, si chiamano forze conservative. Per il calcolo del lavoro possiamo utilizzare qualsiasi percorso che colleghi A e B e se si inverte il senso di percorrenza, cioè si va da B ad A, cambia solo il segno del lavoro. Di conseguenza, lungo un qualsiasi percorso chiuso il lavoro è nullo. Per tutte le forze conservative va la relazione: W = -ΔE_p.

Forze non conservative

Per forze non conservative non si può introdurre l'energia potenziale. Il lavoro di una forza non conservativa è sempre uguale alla variazione di energia cinetica.

Conservazione dell'energia meccanica

La somma dell'energia potenziale e cinetica di un punto materiale, che si chiama energia meccanica, che si muove sotto l'azione di forze conservative resta costante durante il moto, si conserva. Per cui E_k,A + E_p,A = E_k,B + E_p,B esprime il principio di conservazione dell'energia meccanica. Il lavoro ottenuto a spese della diminuzione di energia potenziale causa un aumento dell'energia cinetica e viceversa. Durante il moto avviene una trasformazione da una forma all'altra di energia. In presenza di forze non conservative l'energia meccanica non resta costante e la sua variazione è uguale al lavoro delle forze non conservative: W_nc = ΔE_m,B - ΔE_m,A.

Momento angolare

Si definisce come momento angolare il momento del vettore quantità di moto: L = r × p = r × mv.

Momento della forza

Il momento della forza è definito come: M = r × F. Quando ad un punto sono applicate più forze con risultante R si ha: M = r × R.

Teorema del momento angolare

dL/dt = M questa è la relazione che rappresenta il teorema del momento angolare se entrambi i momenti sono riferiti allo stesso polo fisso. Il momento angolare rimane costante nel tempo. Si conserva, se il momento delle forze è nullo.

Osservazioni sulla dinamica del punto

• La legge fondamentale da utilizzare per lo studio del moto di un punto materiale è F = ma = m(dv/dt). A tal fine si devono identificare le forze che effettivamente agiscono sul punto, non dimenticando reazioni vincolari, tensioni dei fili ed eventuali attriti.
• In generale, velocità ed accelerazioni non sono tra loro parallele e il moto avviene nella direzione e nel verso della velocità, non dell'accelerazione e quindi della forza.
• Conseguenza diretta della seconda legge di Newton è che il lavoro della forza agente è eguale alla variazione dell'energia cinetica del punto su cui agisce la forza.
• Il significato dell'energia, cinetica o potenziale che sia, è la capacità di un sistema di scambiare lavoro ovvero essa va intesa come serbatoio di lavoro. Un'applicazione molto comune del principio di conservazione dell'energia meccanica sfrutta il legame stabilito da E_m = E_k + E_p = cost. tra energia cinetica ed energia potenziale, per esprimere la velocità in funzione della posizione. Questa via normalmente è preferibile nei problemi in cui non è richiesta la dipendenza dal tempo.

Sistemi di punti. Forze interne ed esterne

Alle forze interne si applica la terza legge di Newton, o principio di azione e reazione. La natura delle forze interne può essere qualsiasi; ad esempio, se i punti sono legati tra loro da fili e molle abbiamo le tensioni dei fili (attrattive) e le forze elastiche (attrattive o repulsive a seconda che le molle siano estese o compresse), se i punti sono a contatto le forze interne possono essere dovute a deformazioni (elastiche o non elastiche) e a fenomeni di attrito. In generale la risultante di tutte le forze interne è nulla.

Posizione del centro di massa

Si definisce centro di massa di un sistema di punti materiali il punto geometrico la cui posizione è individuata, nel sistema di riferimento considerato, dal raggio vettore: r_CM = Σ(m_ir_i)/Σm_i.

Velocità del centro di massa

Se gli n punti sono in movimento, sulla base della definizione, la velocità del centro di massa risulta essere: v_CM = Σ(m_iv_i)/Σm_i. Infatti, la quantità di moto di un sistema di punti materiali è uguale alla quantità di moto del centro di massa, considerato come un punto materiale che abbia posizione r_CM, velocità v_CM e massa pari alla massa totale m del sistema.

Accelerazione del centro di massa

a_CM = Σ(m_ia_i)/Σm_i

Teorema del moto del centro di massa

Esprime il teorema del moto del centro di massa: il centro di massa si muove come un punto materiale in cui sia concentrata tutta la massa del sistema e a cui sia applicata la risultante delle forze esterne. Si ha inoltre: R = dP/dt; la risultante delle forze esterne è uguale alla derivata rispetto al tempo della quantità di moto totale del sistema.

Proprietà del centro di massa

• La sua velocità è uguale alla quantità di moto totale divisa per la massa totale, ovvero la sua quantità di moto è uguale alla quantità di moto totale P_CM = m_CMv_CM.
• La sua accelerazione è determinata dalla risultante delle forze esterne agenti sul sistema.

Conservazione della quantità di moto

Questi risultati esprimono il principio di conservazione della quantità di moto per un sistema di punti materiali: quando la risultante delle forze esterne è nulla, la quantità di moto totale del sistema rimane costante nel tempo e il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme o resta in quiete.

Momento angolare di un sistema di punti

Consideriamo il momento angolare totale di un sistema di punti materiali rispetto a un polo O; detto r il raggio vettore OP si ha: L = Σ(r_i × m_iv_i).

Momento delle forze di un sistema di punti

Il momento delle forze esterne è: M_E = Σ(r_i × F_i), mentre il momento delle forze interne è: M_I = Σ(r_i × F_I,i).

Teorema del momento angolare di un sistema di punti

dL/dt = M_E costituisce il teorema del momento angolare e stabilisce che: se il polo O è fisso nel sistema di riferimento inerziale o coincide con il centro di massa, anche se quest'ultimo non è in generale un punto fisso, l'evoluzione nel tempo del momento angolare del sistema di punti è determinata dal momento delle forze esterne rispetto ad O; le forze interne non influenzano il momento angolare.

Conservazione del momento angolare di un sistema di punti

dL/dt = 0 ovvero costituisce il principio di conservazione del momento angolare per un sistema di punti materiali quando il momento delle forze esterne è nullo.