Fisica - Appunti

Introduzione alla fisica: la fisica e le leggi della natura

La fisica è lo studio delle leggi fondamentali della natura, cioè delle leggi che sovrintendono tutti i fenomeni dell'universo. Tali leggi possono essere espresse mediante equazioni matematiche. La fisica è una scienza fondata sia sulla teoria sia sulle osservazioni sperimentali. La fisica si occupa di qualsiasi cosa dell'universo.

Unità di lunghezza, massa e tempo

Per poter fare un confronto tra quanto previsto dalle leggi della fisica e ciò che effettivamente si osserva nel mondo, occorre effettuare la misura di alcune grandezze fisiche fondamentali. Tra queste le più comuni sono la lunghezza (L), la massa (M) e il tempo (T).

Per misurare una grandezza fisica la si deve confrontare con un'unità di misura, cioè si deve stabilire quante volte l'unità di misura è contenuta nella grandezza. Il sistema di unità di misura adottato per convenzione è chiamato Sistema Internazionale di Unità (SI). Il SI è costituito da sette unità fondamentali, da cui derivano tutte le altre unità di misura delle grandezze fisiche, che vengono perciò chiamate unità derivate.

Analisi dimensionale

In fisica, quando parliamo di dimensione di una grandezza, ci riferiamo al tipo di grandezza in questione, senza tener conto delle unità utilizzate per misurarla. L'analisi delle dimensioni è molto importante in fisica, in quanto qualsiasi formula valida in fisica deve essere dimensionalmente consistente. In altre parole, ogni formula è espressa da un'equazione nella quale ciascun termine deve avere le stesse dimensioni. Non ha senso sommare una distanza a un tempo, come ad esempio non ha senso sommare arance a mele.

Per verificare la consistenza dimensionale di un'equazione è conveniente introdurre una notazione particolare, cioè esprimere la dimensione di una grandezza utilizzando le parentesi quadre [ ]. Se x rappresenta una distanza, che ha le dimensioni di una lunghezza (L), scriveremo [x] = L. In modo analogo, poiché una velocità ha le dimensioni di una lunghezza (L) divisa per un tempo (T), per indicare le sue dimensioni scriveremo [v] = [L]/[T].

Per esprimere le dimensioni di un'accelerazione (a), che rappresenta la variazione di velocità nel tempo e ha le dimensioni di una velocità divisa per un tempo, scriveremo [a] = [L]/[T²].

Cifre significative

Nella misurazione l'imprecisione o incertezza può essere causata da numerosi fattori, che vanno dalle limitazioni dello strumento alle limitazioni associate ai sensi e all'abilità della persona che compie la misura. L'incertezza intrinseca dei valori ottenuti da misure di grandezze deve essere quindi tenuta sempre presente quando si effettuano dei calcoli con tali valori.

Il numero di cifre significative della misura di una grandezza è definito come il numero delle cifre che sono note con certezza. In generale, per stabilire il numero di cifre significative che otteniamo quando moltiplichiamo o dividiamo delle grandezze, possiamo applicare la seguente regola: Il numero di cifre significative di una grandezza ottenuta come risultato della moltiplicazione o della divisione di grandezze è uguale al numero di cifre significative della grandezza conosciuta con minor precisione.

Quando vengono addizionate o sottratte delle grandezze fisiche, si utilizzano regole differenti rispetto a quelle per il prodotto o per il quoziente. In questo caso la regola tiene conto del numero di decimali presenti in ciascuno dei termini: Il numero di decimali di una grandezza ottenuta come somma o differenza di grandezze è uguale al minor numero di decimali presenti in ogni addendo. Gli zeri finali a destra del numero con la virgola (es. 17,0) sono cifre significative. Non sono invece cifre significative gli zeri a sinistra della prima cifra significativa diversa da 0 (es. 0,17).

Notazione scientifica

Il numero di cifre significative di una data grandezza può essere ambiguo a causa della presenza di zeri all'inizio o alla fine del numero. Per superare questo tipo di ambiguità possiamo scrivere la distanza in notazione scientifica, cioè come un numero dell'ordine dell'unità moltiplicato per un'opportuna potenza di 10.

Conversione di unità di misura

Spesso è necessario eseguire una conversione da un insieme di unità di misura a un altro. Ad esempio, supponiamo di aver scaricato dalla rete un articolo in inglese che riporta dati misurati in piedi (simbolo ft) e di voler convertire nel suo equivalente in metri.

Dalle tabelle che riportano i fattori di conversione leggiamo che: 1m=3,281 ft, che si può anche scrivere come 1m/3,281 ft=1. Per eseguire la conversione moltiplichiamo semplicemente per l'espressione precedente, che è equivalente a moltiplicare per 1:

316 ft ∙ (1m/3,281 ft) = 96,3 m

Scrivere il fattore di conversione in questo particolare modo consente di semplificare l'unità da convertire e di ottenere il risultato nell'unità desiderata. La stessa procedura può essere applicata per conversioni che coinvolgono un numero qualsiasi di unità. Ad esempio, se camminiamo a 3,00 mi/h, quale è la nostra velocità in m/s?

In questo caso dobbiamo utilizzare i seguenti valori di conversione: 1mi=5280 ft, 1 m=3,281 ft, 1 h=3600 s e tenere presente che dobbiamo convertire le miglia in piedi e quindi in metri e le ore in secondi:

(3,00 mi/h) ∙ (5280 ft/mi) ∙ (1m/3,281 ft) ∙ (1h/3600s) = 1,341 m/s

Scalari e vettori

In generale, le grandezze che sono definite soltanto mediante un valore numerico vengono chiamate grandezze scalari; quelle che sono definite da un valore numerico e da una direzione su una retta orientata vengono chiamate grandezze vettoriali.

Uno scalare è un valore numerico, espresso in un'opportuna unità di misura; è uno scalare, ad esempio, la temperatura dell'aria in una stanza o l'intensità della velocità in un'automobile.

Un vettore è una grandezza matematica caratterizzata sia da un valore numerico, l'intensità o modulo, sia da una direzione su una retta orientata, cioè da una direzione e un verso; è un vettore, ad esempio, la velocità di un'automobile se si considerano anche la sua direzione e il suo verso.

Cinematica unidimensionale

Posizione, distanza e spostamento

Molti aspetti della fisica hanno a che fare con la collocazione spaziale. Per esempio, il primo passo nella descrizione del moto di una particella consiste nello stabilire un sistema di coordinate che definiscono la sua posizione. È possibile descrivere la posizione di un punto nello spazio tramite le coordinate. Un punto in un piano è individuato da due coordinate, mentre per fissare un punto nello spazio sono necessarie 3 coordinate.

Un sistema di coordinate usato per specificare posizioni nello spazio, consiste di:

• Un punto di riferimento fisso 0, detto origine
• Un insieme di assi o direzioni specificate, ciascuno con scala di misura e nomi appropriati
• Istruzioni che ci dicano come etichettare un punto dello spazio rispetto all'origine e agli assi

Sistema di coordinate cartesiane (o ortogonali): un punto arbitrario in questo sistema è contrassegnato con le coordinate (x, y). Ovviamente si può far riferimento a sistemi anche in più dimensioni: un punto nel caso di tre dimensioni è dato dalle coordinate (x, y, z).

Talvolta è più conveniente rappresentare un punto in un piano tramite le sue coordinate polari piane. Sistema di coordinate polari piane: (r, θ).

In questo sistema di coordinate, r è la distanza dall'origine al punto di coordinate (x, y) e θ è l'angolo fra r e un asse fisso, generalmente misurato in verso antiorario dall'asse x positivo.

Perciò, partendo dalle coordinate polari piane, si ottengono le coordinate cartesiane tramite le equazioni:

• x = r cos θ
• y = r sen θ
• θ = tan^-1(y/x)
• r = √(x² + y²)

Richiami di trigonometria:

• sen θ = a/c
• cos θ = b/c
• tan θ = a/b

Il teorema di Pitagora stabilisce che c² = a² + b², perciò delle precedenti relazioni si ha:

• senθ = a/c
• cosθ = b/c
• tanθ = a/b

Un esempio di sistema di coordinate in una dimensione potrebbe essere una linea orientata, ad esempio, un asse x, sul quale è fissata un'origine (x = 0) e una freccia che indica il verso positivo, cioè il verso nel quale x aumenta. Quando stabiliamo un sistema di coordinate, siamo liberi di scegliere l'origine e il verso positivo come desideriamo, ma, una volta fatta questa scelta, dobbiamo essere coerenti con essa in tutti i calcoli che seguiranno.

Definizione di distanza: distanza = lunghezza complessiva del tragitto. Nel SI si misura in metri (m). La distanza è sempre positiva poiché non ha associata alcuna direzione, è una grandezza scalare.

Un altro modo utile per descrivere il moto di una particella consiste nell'esprimerlo in termini di spostamento, Δx, che rappresenta il cambiamento di posizione.

Definizione di spostamento: spostamento = cambiamento di posizione = posizione finale – posizione iniziale. Nel SI si misura in metri (m).

Può essere positivo (se la posizione finale è a destra della posizione iniziale, x_f > x_i), negativo (se la posizione finale è alla sinistra della posizione iniziale, x_f < x_i) o nullo (se la posizione finale e quella iniziale coincidono, x_f = x_i).

Lo spostamento è un vettore unidimensionale e il suo verso è indicato dal suo segno. Spostamento e distanza sono grandezze fisiche differenti.

Velocità scalare media e velocità media

Nella descrizione del moto occorre anche sapere quanto rapidamente si muove un oggetto. Il modo più semplice per caratterizzare la "rapidità" di un moto è attraverso la velocità scalare media:

velocità scalare media = distanza / tempo impiegato

La velocità scalare media ha dimensioni di una lunghezza diviso un tempo e nel SI si misura in metri al secondo (m/s). Sia la distanza sia il tempo impiegato sono grandezze positive, per cui la velocità scalare media è sempre positiva.

In molte situazioni per descrivere il moto anziché la velocità scalare media si utilizza un'altra grandezza: la velocità media, definita come il rapporto fra lo spostamento e il tempo impiegato a compierlo.

Definizione di velocità media: velocità media = spostamento / tempo impiegato

La velocità media non ci informa soltanto su quanto rapidamente si muove un oggetto, ma ci dice anche in che direzione e verso esso si muove.

Se un oggetto si muove in direzione positiva, v_m > 0. Se l'oggetto si muove in direzione negativa, v_m < 0.

Interpretazione grafica della velocità media

Con un grafico spazio-tempo è facile visualizzare il moto di una particella. La rappresentazione nel piano x-t permette di dare un'interpretazione particolarmente utile della velocità media. Il segmento fra i punti A e B forma l'ipotenusa di un triangolo rettangolo di altezza Δx e base Δt. La pendenza della retta che congiunge i punti A e B è uguale all'incremento di x rispetto a t, cioè a Δx/Δt. Ma Δx/Δt è la velocità media, perciò:

La pendenza della retta che congiunge due punti del grafico spazio-tempo è uguale alla velocità media nell'intervallo di tempo fra i due punti.

Velocità istantanea

La velocità media è una grandezza utile per caratterizzare il moto, ma a volte considerare solo tale grandezza può portare a conclusioni sbagliate. La velocità media dà una misura che può non essere realistica, in quanto a seconda dei cambi di velocità durante il tragitto si può ottenere un valore di velocità media poco rappresentativo, rispetto alle velocità tenute in realtà. Per avere una rappresentazione più accurata del viaggio, dobbiamo calcolare la velocità media su intervalli di tempo più piccoli. Se calcoliamo la nostra velocità in intervalli di tempi sempre più ridotti otteniamo una rappresentazione sempre più realistica. Avendo a che fare con il moto di una particella qualsiasi, l'ideale sarebbe conoscere la velocità corrispondente a ogni istante di tempo: la velocità istantanea.

Definizione di velocità istantanea, v:

v = lim(Δx/Δt) quando Δt→0

Nel SI si misura in metri al secondo (m/s).

Velocità istantanea e derivata di una funzione

Consideriamo un punto materiale che si muove su una retta, e supponiamo che la sua posizione all'istante t sia assegnata dalla funzione x=f(t). Come esprimeremo la velocità media e la velocità istantanea del punto materiale, in termini di funzione di t?

La velocità media del punto, in un intervallo di tempo t₀ a t₀ + h, è facile da definire: sarà il rapporto tra lo spazio percorso in questo intervallo di tempo, e la durata dell'intervallo stesso (che è h); a sua volta, lo spazio percorso è la differenza tra la posizione all'istante finale e quella all'istante iniziale, perciò:

v_m = [f(t₀ + h) - f(t₀)] / h

Si tratta di una velocità con segno: una velocità negativa corrisponde ad uno spostamento nel verso negativo di percorrenza, sulla retta (il punto si è mosso all'indietro). Il rapporto scritto al secondo membro si dice rapporto incrementale di f: è il rapporto tra l'incremento di f e l'incremento della variabile t.

La velocità istantanea è il numero a cui si avvicina la velocità media, calcolata in un intervallo di tempo contenente t₀, quando la durata di tale intervallo è sempre più breve. Dal punto di vista matematico rigoroso, la definizione corretta fa intervenire il limite del rapporto incrementale:

v = lim [f(t₀ + h) - f(t₀)] / h, per h→0

L'espressione scritta al secondo membro si dice derivata prima di f calcolata in t₀, e si indica con f'(t₀). Quindi la velocità istantanea del punto materiale è uguale alla derivata prima della funzione posizione nello stesso istante t₀.

Questo è vero per ogni istante t; si può quindi considerare ora la velocità come una nuova funzione del tempo, vedendo la derivata di f come una nuova funzione di t: v(t) = f'(t).

Quando la velocità è costante, la velocità media in qualunque intervallo di tempo è uguale alla velocità istantanea in ogni istante.

La velocità istantanea può essere negativa, positiva o nulla ed è un vettore unidimensionale proprio come la velocità media. Il valore assoluto o modulo della velocità istantanea è detto velocità scalare istantanea.

Una velocità costante corrisponde a una pendenza costante in un grafico x-t, per cui si viene a formare una retta. Tuttavia, in genere, la velocità della particella varia nel tempo e il grafico x-t non è una linea retta. Le rette che rappresentano la velocità media, man mano che gli intervalli di tempo diventano più piccoli, hanno una pendenza il cui valore si avvicina sempre di più a quello della pendenza della tangente.

Riassumendo:

• La velocità media in un determinato intervallo di tempo è la pendenza della retta che congiunge due punti del grafico corrispondenti agli estremi dell'intervallo.
• La velocità istantanea in un dato istante è uguale alla pendenza della retta tangente al grafico spazio-tempo nel punto corrispondente a tale istante.

Accelerazione

Mentre la velocità è una misura della variazione della posizione nel tempo, l'accelerazione è una misura della variazione della velocità nel tempo. Un oggetto accelera ogni volta che la sua velocità cambia, non importa in che modo (positivamente o negativamente).

Definizione di accelerazione media e istantanea

Per intervalli di tempo sempre più piccoli definiamo:

• Definizione di accelerazione media, a_m: a_m = (v_f - v_i) / (t_f - t_i)
• Definizione di accelerazione istantanea, a: a = lim(Δv/Δt) quando Δt→0 = dv/dt = d²x/dt²

L'accelerazione istantanea è la derivata della velocità rispetto al tempo e quindi è la derivata seconda dello spazio percorso rispetto al tempo.

Nel SI si misura in metri al secondo per secondo, cioè in metri al secondo quadrato (m/s²).