Fisica - Appunti

COMPONENTI DI UN VETTORE:

Possiamo descrive completamente un vettore specificandone lunghezza, direzione e verso. Spesso tuttavia è più utile descriverlo in

termini di componenti. r

⃗

Il vettore ha l’intensità a pari alla lunghezza, la

direzione determinata dall’angolo θ misurato rispetto

all’asse x e il verso stabilito dalla freccia. La componente

secondo l’asse x e la componente secondo l’asse y del

r

⃗

vettore sono rispettivamente:

r cos θ r sen θ

=a =a

x y a a

a x y

Per quanto il modulo sia sempre positivo, le componenti e possono essere sia positive sia negative, in

dipendenza del valore che assume l’angolo θ.

r

Se conosciamo i valori di e θ, possiamo calcolare le componenti in base alle equazioni prima riportate. Possiamo anche seguire

r r

x y

il procedimento opposto, cioè conoscendo le componenti e , trovare il modulo a del vettore risultante e l’angolo θ che

r r

y y

−1

θ=¿ =θ=tan

√ 2 2

r= r r r r

+

definisce la sua direzione nel seguente modo: e .

x x

x y tan ¿

SOMMA E SOTTRAZIONE DI VETTORI:

Metodo grafico per il calcolo della somma:

⃗ ⃗

c

⃗

a e b c a b

⃗ ⃗ =⃗ +

Considerando i vettori , diciamo che è il vettore somma: .

⃗ ⃗

a a

⃗ ⃗

b b

Per sommare i vettori e , si dispone la coda di sulla punta di : la somma

Un vettore è definito dal suo modulo e dalla

sua direzione, indipendentemente dalla sua

⃗ ⃗

a

⃗

c a b b

⃗ =⃗ + è il vettore che va dalla coda di alla punta di (metodo triangolare della

posizione Una procedura grafica

alternativa:

Regola del parallelogramma:

⃗ r

⃗

a e b

⃗

Gli inizi dei due vettori coincidono e il vettore risultante è la diagonale di

un parallelogramma i cui lati sono a e b.

- Quando due vettori vengono sommati la somma è indipendente dall’ordine: la somma tra vettori è commutativa

- Se tre o più vettori vengono sommati, la loro somma è indipendente dal modo in cui i singoli vettori vengono raggruppati: la

somma tra vettori è associativa a a

⃗ ⃗

- Opposto di un vettore: l’opposto del vettore è definito come il vettore che sommato ad da 0. Cioè

a a

a a

(−⃗ ) ⃗ −⃗

⃗ + =0 . I vettori e hanno stesso modulo ma puntano in verso opposto

Somma di vettori mediante le loro componenti:

Il metodo grafico utilizzato per sommare i vettori porta ad un risultato approssimato, limitato dalla precisione con cui i vettori possono

essere disegnati e misurati. Si possono, invece, ottenere risultati esatti sommando i vettori mediante le loro componenti:

c c b

=a +b =a +

x x x y y y

e

SOTTRAZIONE DI DUE VETTORI:

L’opposto di un vettore è rappresentato da una freccia della stessa lunghezza del vettore originale, ma

orientata nel verso opposto. In altre parole, determinare l’opposto di un vettore equivale a ribaltarne il

verso. −⃗

a b

⃗

L’operazione di sottrazione vettoriale fa uso della definizione di opposto di un vettore. Definiamo l’operazione come la

−⃗ ⃗

⃗ a a b=⃗

a b)

⃗

b ⃗ +(−

somma del vettore con : .

VETTORI UNITARI:

I vettori unitari o versori, consentono di esprimere in modo conveniente qualsiasi vettore mediante le sue componenti. I vettori unitari

x y

̂ ̂

e sono definiti come vettori adimensionali, di modulo unitario, che puntano nel verso positivo dell’asse x e dell’asse y,

x

̂

- Il versore di x, , è un vettore adimensionale di modulo 1 che ha la direzione e il verso

positivo dell’asse x

y

̂

- Il versore di y, , è un vettore adimensionale di modulo 1 che ha la direzione e il verso

positivo dell’asse y

rispettivamente:

-

MOLTIPLICAZIONE DI VETTORI UNITARI PER SCALARI:

Moltiplicando un vettore per uno scalare positivo diverso da 1 si modifica il modulo del vettore, ma la direzione e il verso non cambiano.

Se il vettore è moltiplicato per uno scalare negativo si cambia il suo verso.

Nel caso dei versori, che hanno modulo unitario e sono senza dimensioni, la moltiplicazione per uno scalare dà come risultato un

a

⃗

Qualsiasi vettore bidimensionale può sempre essere scritto come somma della componente

x y

vettoriale in direzione e della componente vettoriale in direzione :

a x y

⃗ =a ̂ +a ̂

x x

vettore che ha lo stesso modulo e la stessa dimensione dello scalare.

MOLTIPLICAZIONE DI UN VETTORE PER UNO SCALARE:

a m m a

⃗ ⃗

Se un vettore viene moltiplicato per una grandezza scalare positiva , il prodotto è un vettore che ha la stessa

a ma m m a

⃗ ⃗

direzione e verso di e modulo . Se è una grandezza scalare negativa, il vettore è diretto in verso

a

opposto ad .

MOLTIPLICAZIONE DI DUE VETTORI:

⃗ ⃗

a e b a ∙ b

⃗ ⃗

Due vettori possono essere moltiplicati per produrre sia una grandezza scalare che vettoriale. Il prodotto scalare

⃗ ⃗

ab cos θ θ a e b a × b

⃗ ⃗

è una grandezza scalare uguale ad , dove è l’angolo tra . Il prodotto vettoriale è una

ab sen θ

grandezza vettoriale il cui modulo è uguale ad

CINEMATICA BIDIMENSIONALE:

MOTO IN DUE DIMENSIONI:

Moto con velocità costante: t=0

Consideriamo il moto della tartaruga che parte dall’origine nell’istante

v m/s

=0,26

0

e si muove con velocità scalare costante nella direzione

25 ° x

che forma un angolo di al di sopra dell’asse . Di quanto si è

x y 5,0

spostata la tartaruga nelle direzioni e dopo secondi?

La tartaruga percorre in linea retta una distanza:

m

( )

d=v t= 0,26 5,0 s m

( ) =1,3

0 s

Per la definizione di seno e coseno, possiamo scrivere:

x=d cos 25 °=1,2 m y=d sen 25° m

=0,55 x y

Un modo alternativo di affrontare il problema è quello di trattare separatamente i moti nelle due direzioni e :

v x=v cos 25° m/s v y=v sen 25 °=0,11 m/s

=0,24

o 0 x o 0 y

Determiniamo ora la distanza percorsa dalla tartaruga in direzione x e in direzione y moltiplicando la velocità scalare in ciascuna

direzione per il tempo: m m m m

( )( ) ( )( )

x=v t= 0,24 5,0 m y=v t= 0,11 5,0 m

=1,2 =0,55

0 x 0 y

s s s s x y

Per riassumere, possiamo pensare il moto della tartaruga come una combinazione di moti separati in direzione e . In

x=x y= y t=0

0 0

generale, se supponiamo che la tartaruga parta da una posizione e nell’istante , possiamo scrivere

x y

le equazioni del moto in e in :

x=x v t

+

- 0 ox

y= y v t

+

- 0 oy

MOTO CON ACCELERAZIONE COSTANTE:

Per studiare il moto con accelerazione costante in due dimensioni, ripetiamo il ragionamento fatto nel caso unidimensionale

x y x

considerando equazioni separate per e . Ad esempio, per esprimere in funzione del tempo, partiamo

1 2 v

x=x v t+ a t a x

+ 0

0 0 x

2

dall’equazione e sostituiamo in essa e con le corrispondenti componenti , cioè

v a

0x x

e . Otteniamo: 1 2

x=x v t+ a t

+

- 0 0 x x

2

y x

Per esprimere in funzione del tempo, scriviamo al posto di nell’equazione precedente:

1 2

y= y t a t

+v +

- 0 0 y y

2

Queste sono le equazioni del moto in die dimensioni che legano la posizione al tempo.

v =v +at

0

Possiamo scrivere la velocità in funzione del tempo. Partiamo dall’equazione e la scriviamo in termini di componenti

x y

e :

v a t

=v +

- x 0 x x

v t

=v +a

- y 0 y y 2 2 x y

v ∆ x

=v +2a

0

Possiamo scrivere anche l’equazione in termini di componenti e :

2

v 2a ∆ x

=v +

- x 0 x x

2

v a ∆ y

=v +2

- y 0 y y

Riassumendo:

Posizione in funzione del tempo Velocità in funzione del tempo Velocità in funzione della posizione

1 2

x=x v t+ a t

+ 2

v a t v 2a ∆ x

0 0 x x =v + =v +

2 x 0 x x

x 0 x x

v t

1 2

=v +a v a ∆ y

=v +2

2

y= y v t a t y 0 y y

+ + y 0 y y

0 0 y y

2

MOTO DI UN PROIETTILE: EQUAZIONE DI BASE:

Un proiettile è qualunque oggetto scagliato, battuto o lanciato in qualsiasi altro modo e lasciato poi libero di seguire una traiettoria

determinata soltanto dall’azione della gravità.

Nello studio del moto di un proiettile facciamo le seguenti ipotesi:

- la resistenza dell’aria viene ignorata 2

9,81 m/s

- l’accelerazione di gravità è costante, verso il basso e ha modulo uguale a

- la rotazione della Terra viene ignorata a

x x =0

x

La gravità non produce alcuna accelerazione in direzione . Perciò la componente dell’accelerazione è 0: .

y y

Mentre in direzione , siccome in basso si ha il verso negativo, segue che la componente dell’accelerazione è:

2

a =−9,81m/s =−g

y .

Sostituendo queste componenti dell’accelerazione nelle equazioni fondamentali del moto con accelerazione costante riportate nella

tabella precedente,

otteniamo:

a a

=0, =−g ¿

x y

Moto di un proiettile ( 2 2

x=x v t v

+ =v v =v

0 0x x 0x x 0x

2 2 2

v =v −¿

y= y v t−1 t v ∆ y

+ /2g =v −2g

y 0y

0 0y y 0y

LANCIO AD ANGOLO ZERO: θ=0

Moto di un proiettile lanciato orizzontalmente, cioè in modo che l’angolo fra la velocità iniziale e l’orizzontale sia .

Equazioni del moto: v h

0

Supponiamo di passeggiare con velocità di modulo e di lasciare cadere una palla da un’altezza . Se scegliamo il livello

y=0

del suolo come e il punto di rilascio della palla direttamente al di sopra dell’origine, la posizione iniziale della palla è data da:

x =0

- 0

y =h

- 0 θ=0 x

La velocità iniziale è orizzontale e corrisponde al caso . Di conseguenza la componente della velocità iniziale è

semplicemente il modulo della velocità iniziale:

v cos 0 °=v

=v

- 0 x 0 0

y

E la componente di della velocità iniziale è zero:

v sen 0 °=0

=v

- 0 y 0

Sostituendo questi valori nelle equazioni del moto di un proiettile otteniamo i seguenti risultati per il lancio da angolo zero (

θ=0 ¿ : 2 2

x=v t v =v =costante v =v =costante

0 x 0 x 0 2

v

2 =−¿ v ∆ y

y=h−1/2 g t =−2g

y y