Fisica - Appunti

Grandezze fisiche e sistemi di unità di misura

Le grandezze fisiche sono grandezze che intervengono nelle relazioni e nelle leggi fisiche. Una grandezza fisica per essere tale deve essere definita in maniera operativa, cioè mediante le operazioni che conducono alla sua determinazione numerica. Esistono tre tipi di grandezze: scalari, vettoriali e tensoriali di ordine n.

Tipi di grandezze fisiche

Le grandezze scalari sono determinate da un numero che fissa il loro rapporto alla corrispondente unità di misura scelta. Esempi possono essere: volume, massa, energia, pressione, temperatura.

Le grandezze vettoriali sono grandezze la cui determinazione richiede l’individuazione di un numero (intensità o modulo della grandezza), una direzione ed un verso; ovvero sono determinate da un numero di parametri scalari (componenti del vettore) pari alla dimensionalità dello spazio. Esempi: spostamento, velocità, accelerazione, forza, quantità di moto, campo elettrico, campo magnetico.

Le grandezze tensoriali di ordine n sono grandezze determinate da d parametri scalari ove d è la dimensionalità dello spazio. Esempi: tensore degli sforzi, tensore di inerzia, polarizzazione elettrica.

Possiamo definire una grandezza fisica come una quantità tale per cui si possa eseguire su essa una misura, un'operazione che esprime il rapporto tra la quantità in esame e un campione, ad essa omogeneo, scelto come unità.

Sistemi di unità di misura

Per definire un sistema di unità di misura è necessario scegliere la relativa grandezza, ovvero se si tratta di grandezze fondamentali o derivate. Le grandezze fondamentali sono quelle grandezze per le quali l’unità di misura è definita in modo arbitrario mediante l’individuazione di un campione. Le grandezze derivate invece sono quelle per le quali l’unità di misura si deduce per mezzo delle relazioni che legano queste grandezze alle grandezze fondamentali.

Esistono dei criteri per determinare le grandezze fondamentali: le grandezze scelte devono essere facilmente misurabili e deve essere possibile scegliere dei campioni facilmente riproducibili e stabili nel tempo. Un sistema di unità di misura è definibile quando sia stata compiuta una scelta delle grandezze fondamentali e delle corrispondenti unità di misura in numero sufficiente da poter esprimere l’unità di misura di tutte le altre grandezze (grandezze derivate) mediante le unità delle grandezze fondamentali.

I sistemi di unità più diffusi sono:

• Sistema internazionale S.I.
• Sistema c.g.s.
• Sistema di Gauss
• Sistema tecnico o degli ingegneri

Grandezze fisiche fondamentali

Le grandezze fisiche fondamentali sono sette, e sono misurate nel Sistema internazionale in:

Le grandezze derivate sono legate alle grandezze fondamentali con delle funzioni omogenee rispetto alle grandezze fondamentali, cioè le prime possono esprimersi come il prodotto delle grandezze fondamentali elevate ad esponenti interi positivi o negativi. Ciò viene descritto formalmente mediante un’equazione dimensionale della grandezza derivata (A), che appunto deriva dalle grandezze fondamentali (F).

L’unità di misura delle grandezza derivate si ottiene immediatamente dall’equazione dimensionale: è il prodotto delle unità fondamentali elevate agli esponenti che compaiono nell’equazione dimensionale. Esempi: unità della velocità: m/s; unità di misura dell’accelerazione: m/s².

Elementi di algebra vettoriale

Vettore

Un vettore è un ente geometrico definito da una direzione, un verso ed un modulo.

Come si rappresenta?

Può essere rappresentato da un segmento orientato AB. E quindi:

• Direzione: quella della retta che congiunge A e B
• Verso: quello che porta da A a B lungo tale retta
• Modulo: la lunghezza del segmento AB (l'intensità)

Come si denota?

Si denota con il segmento orientato che lo rappresenta, o con una freccia al di sopra di una lettera, o con una lettera in grassetto. Il modulo del vettore si denota rispettivamente con l_ABl o v.

Componente di un vettore

Dato un vettore v e una retta orientata x, si definisce componente di v rispetto a x (e si indica con v_x), la grandezza scalare. È la misura della lunghezza del segmento ottenuto proiettando il vettore su una retta.

Nella retta x viene fissato un sistema di ascisse, cioè una corrispondenza tra i numeri della retta e i numeri reali. Se x_A è l'ascissa di A' e x_B è l'ascissa di B', è evidente che la componente v_x può essere scritta come:

v_x = x_B - x_A

La componente del vettore v non è altro che il tratto di retta che va da A' a B'. x_A e x_B sono le proiezioni ortogonali dei punti A e B del vettore. Il risultato x_B - x_A sarà di segno concorde se la retta e il vettore v hanno lo stesso verso, discorde se hanno verso opposto.

Versore

Dato un vettore, si dice versore di v e si indica con il simbolo il vettore di lunghezza unitario che ha la direzione ed il verso di v e modulo = 1. Un qualsiasi vettore può essere scritto come il prodotto del suo modulo per il suo versore dove quindi il versore indica la direzione e il verso del vettore, mentre il modulo v del vettore indica appunto il modulo (l'intensità).

Operazioni con i vettori

Somma di vettori

Dati n vettori, se si applica il primo vettore in un punto qualsiasi, il secondo nell’estremo del primo, il terzo nell’estremo del secondo e così via fino ad applicare l’ultimo vettore nell’estremo del penultimo, la risultante (o somma degli n vettori) è il vettore che ha origine coincidente con l’origine del primo vettore ed estremo coincidente con l’estremo dell’ultimo vettore. La somma degli n vettori è ancora un vettore, quindi con una direzione, un verso e un modulo.

Regola del parallelogramma: La somma di due vettori si ottiene applicando i vettori in un punto, costruendo il parallelogramma di lati v₁ e v₂ e prendendo la diagonale a partire dal comune punto di applicazione.

Prodotto di vettore per scalare

Dato un vettore v ed uno scalare a, si definisce prodotto di v per a (e si indica con il vettore con: direzione = quella del vettore v, verso = il verso di v se a è positivo, quello opposto se a è negativo, modulo = il prodotto di a e modulo di v.

Differenza tra vettori

Dati due vettori v₁ e v₂, si definisce differenza fra v₂ e v₁ (e si indica con v₂ – v₁) il vettore per determinare la differenza v₂ – v₁. Si applicano i vettori in un medesimo punto e si traccia il vettore che va dall’estremo di v₁ all’estremo di v₂ (regola del parallelogramma al contrario).

Rappresentazione cartesiana di un vettore

Un qualsiasi vettore può essere scritto come la somma dei prodotti delle sue componenti per i versori omonimi.

Fondamenti della meccanica – Cinematica del punto materiale

La cinematica si occupa della descrizione del moto dei corpi. Un corpo è in movimento quando la sua posizione varia nel tempo. Per definire correttamente la posizione occorre un sistema di riferimento.

Un sistema di riferimento è l’insieme di tutti gli oggetti e i corpi rispetto ai quali valutiamo se un corpo è fermo oppure in movimento. Esempi di sistemi di riferimento sono: un treno in movimento, un aereo in volo, la Terra, il sistema solare, le stelle fisse, la galassia, ecc. Nessun sistema di riferimento è assolutamente fermo nell’Universo, poiché, qualunque sistema di riferimento dell’universo si consideri, se ne può trovare sempre un altro rispetto a cui il primo si muove. La Terra, che ci appare ferma, gira intorno a sé stessa (rotazione) e intorno al Sole (rivoluzione); il Sole, con tutto il Sistema Solare, gira intorno al centro della Via Lattea; la Via Lattea, con i suoi 100 miliardi di stelle si sposta verso l’ammasso della Vergine etc.

Il punto materiale si può considerare come un punto geometrico (che non ha estensione), dotato di massa. Esso può schematizzare un sistema meccanico se le sue dimensioni sono trascurabili rispetto a quelle che intervengono nel problema specifico (es. distanze percorse) e se non ha interesse studiare i cambiamenti di orientazione del sistema e le sue deformazioni. È un corpo le cui dimensioni sono tanto piccole rispetto alle altre dimensioni in gioco da potersi considerare un punto.

La traiettoria

Consideriamo un punto P che si muove su traiettoria rettilinea e stabiliamo sulla traiettoria rettilinea un sistema di ascisse (asse delle x). Inoltre, prendiamo sulla traiettoria un punto O come origine del sistema di ascisse, scegliamo sulla traiettoria un verso di percorrenza e associamo ad ogni punto P della traiettoria il valore x pari alla distanza di P da O presa con segno positivo se il verso di OP è concorde oppure negativo se il verso di OP è discorde con quello dell'asse x.

La traiettoria è la linea costituita dall’insieme delle posizioni occupate dal punto materiale durante il suo movimento. Se il moto avviene lungo una retta, parliamo di traiettoria rettilinea; se il moto avviene lungo un piano, la traiettoria sarà piana; se infine il moto avviene nelle tre dimensioni, avremo una traiettoria spaziale.

Nota la traiettoria, il moto del punto è completamente descritto dalla conoscenza del valore di x (posizione di P) ad ogni istante, cioè dalla conoscenza della funzione che definisce il valore di x ad ogni istante. Questa funzione prende il nome di equazione oraria. Attraverso l’equazione oraria si può conoscere in ogni istante quale è lo spazio percorso dall’inizio del moto.

Tipi di moto

Ci sono moti unidimensionali, che avvengono lungo una sola dimensione: in questo caso è sufficiente la conoscenza di una sola coordinata per individuare univocamente la posizione del corpo: ad esempio per sapere dove si trova un veicolo sull’autostrada basta conoscere il numero dei chilometri percorsi, oltre alla direzione.

Se il moto avviene lungo una retta come sistema di riferimento si usa una retta orientata (asse) su cui è contrassegnato un punto di origine.

Ci sono poi moti bidimensionali, che avvengono lungo due dimensioni: in tal caso per determinare la posizione del corpo occorrono due coordinate: ad esempio per conoscere la posizione di una nave sono indispensabili la latitudine e la longitudine. Se il moto avviene in un piano come sistema di riferimento si usa un sistema di due assi cartesiani ortogonali, x (ascisse) – y (ordinate).

Infine ci sono movimenti tridimensionali: in questi casi le coordinate necessarie alla individuazione della posizione del corpo sono tre. Pensiamo ad un aereo (o ad un sommergibile); per conoscere la sua posizione occorrono la latitudine, la longitudine, la quota (nel caso del sommergibile, la profondità). Se il moto avviene nello spazio come sistema di riferimento per i moti nello spazio si usa un sistema di 3 assi cartesiani ortogonali, x (ascisse) – y (ordinate) – z (quote).

Se non è nota la traiettoria, l’equazione oraria non è sufficiente a descrivere il moto del punto. In questo caso, per descrivere il moto del punto, è necessario conoscere la posizione (cioè le coordinate) del punto materiale nello spazio ad ogni istante. Le equazioni parametriche sono funzioni che descrivono la dipendenza dal tempo delle coordinate di P. Le componenti del vettore posizione coincidono con le funzioni che definiscono le equazioni parametriche del moto.

Vettore posizione e vettore spostamento

Dato un punto materiale in movimento, supponiamo che il punto all’istante t₁ si trovi nella posizione P₁ e all’istante t₂ si trovi nella posizione P₂: si definisce come spostamento del punto nell’intervallo di tempo da t₁ a t₂ il vettore con la coda sulla posizione P₁ e con la punta sulla posizione P₂. È semplice rendersi conto del fatto che per uno stesso spostamento esistono infinite traiettorie che conducono da P₁ a P₂.

Il vettore spostamento caratterizza in modulo, direzione e verso lo spostamento del punto. Il vettore posizione OP individua la posizione nell’intervallo di tempo di P all'istante t.

Velocità

Dal punto di vista qualitativo la velocità indica la rapidità con cui si svolge un moto. Dal punto di vista quantitativo la velocità è il rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato ovvero è lo spazio percorso nell’unità di tempo. Siccome nel S.I. lo spazio si misura in metri e il tempo si misura in secondi, la velocità nel S.I. si misura in m/s (metri al secondo). Più comunemente esprimiamo però la velocità in chilometri orari o chilometri all’ora [km/h].

La velocità è una grandezza vettoriale poiché essa, oltre al modulo (il valore numerico) ha anche una direzione ed un verso: la direzione ed il verso sono quelli del moto. Ci chiediamo adesso quale direzione e quale verso presenti il vettore velocità rispetto alla traiettoria del moto di un punto materiale. La risposta è univoca: si può dimostrare che in un punto qualunque della traiettoria il vettore velocità risulta sempre tangente alla traiettoria stessa.

In un moto rettilineo, il vettore velocità presenta come direzione quella della retta su cui avviene il moto e come verso quello del moto. Il vettore velocità in un moto piano (bidimensionale) presenta come direzione e verso quelli del moto; il vettore velocità risulta in ogni punto della traiettoria tangente alla traiettoria nel punto stesso.

Il vettore velocità in un moto tridimensionale si comporta come nei moti piani: esso risulta in ogni punto della traiettoria tangente alla traiettoria nel punto stesso e presenta come direzione e verso quelli del moto.

Velocità media e istantanea

La velocità media di un punto materiale è il rapporto tra la distanza percorsa e l’intervallo di tempo impiegato. Caratterizza in modulo direzione e verso lo spostamento del punto nell’intervallo di tempo [t, t + Δt], e la rapidità con cui questo spostamento è avvenuto. La velocità media, come tutte le grandezze medie, riassume in un solo numero tutto quello che è accaduto in un intervallo di tempo più o meno esteso. Dalla sola conoscenza di questo numero non si può dire quello che è accaduto nei vari istanti di tempo al punto materiale nel corso del suo movimento. Si preferisce quindi introdurre una nuova grandezza, la velocità istantanea. La velocità istantanea è la velocità media calcolata in un intervallo di tempo piccolissimo, tendente a zero. Caratterizza in modulo, direzione e verso la rapidità con cui cambia la velocità del punto all’istante t.

Accelerazione

La velocità è un vettore, e può variare. A variare possono essere sia il modulo (aumenti o diminuzioni), sia la direzione che il verso. Ci possono essere diverse situazioni:

• Il vettore velocità varia in modulo e non in direzione (moto rettilineo): un moto che avviene lungo una traiettoria rettilinea sempre nella stessa direzione ma la cui velocità è variabile in modulo e verso è sicuramente un moto accelerato (Esempio: un treno su un tratto rettilineo di strada ferrata che diminuisce di velocità e poi ritorna indietro). Se il vettore velocità varia perché varia il suo modulo, e non la sua direzione (moto rettilineo), allora il vettore accelerazione è parallelo al vettore velocità e quindi è tangente alla traiettoria e prende il nome di accelerazione tangenziale.
• Il vettore velocità varia in direzione ma non in modulo (es. moto circolare uniforme): il moto della Luna intorno alla Terra avviene su una traiettoria circolare (in realtà la traiettoria od orbita, è leggermente ellittica); in questo caso la velocità ha lo stesso modulo in tutti i punti della traiettoria, ma il vettore, dovendo essere tangente alla traiettoria, cambia continuamente direzione. Se il vettore velocità varia perché varia la sua direzione (moto curvilineo) e non il suo modulo (moto uniforme), allora il vettore accelerazione è perpendicolare al vettore velocità e quindi alla traiettoria, è diretto verso il centro di curvatura della traiettoria, e prende il nome di accelerazione centripeta.
• Il vettore velocità varia in direzione e in modulo (es. moto curvilineo non uniforme): Il moto di un’automobile è generalmente accelerato, poiché...