Fisica - Appunti

B

EQUAZIONE TRAIETTORIA PARABOLICA IDEALE

Ovviamente l'equazione del moto del proiettile non tiene conto del moto reale che viene incontro a

resistenze (del mezzo fluido), ovvero la resistenza dell'aria.

Quindi in condizioni reali la traiettoria non è mai una parabola, ma:

- la distanza orizzontale del tratto in salità è più ampio di quello in discesa

- la quota è più bassa

- la gittata è più piccola

- il tempo di discesa è più lungo

FONDAMENTI DELLA MECCANICA – LAVORO ED ENERGIA

LAVORO ELEMENTARE

➢ Sia F la forza agente su un punto P all’istante t e dl lo spostamento del punto nell’intervallo di

tempo infinitesimo dt fra gli stanti t e t+dt. Si definisce lavoro elementare compiuto dalla forza F su

P nell’intervallo [t, t+dt], e si indica con dL, grandezza scalare risultante dal prodotto della forza F e

dallo spostamento dl

Il lavoro caratterizza la forza agente su un punto, in relazione allo spostamento subito dal punto

stesso.

Il lavoro è elementare, cioè compiuto dalla forza in un tempo infinitesimale, perchè con un

intervallo di tempo piccolo la forza diventa costante in modulo direzione e verso.

Quando viene applicata una forza e il punto si muove, viene compiuto lavoro.

Il lavoro è il prodotto dell'effetto complessivo di una forza rispetto allo spostamento di un corpo

durante l'applicazione della forza stessa. Quindi, nel caso di una forza costante F che agisce su un

oggetto mentre percorre una distanza x, il lavoro compiuto dalla forza è il prodotto della sua

componente Fs lungo lo spostamento per l'intensità dello spostamento: F=Fx s;

se F forma un angolo  con s, si avrà Fs=Fcos, ed il lavoro può essere scritto L=Fs cos 

Il lavoro è una grandezza compresa tra Fdl e -Fdl, passando per 0

EQUAZIONE DIMENSIONALE E UNITA' DI MISURA

L'unità di misura del lavoro nel SI è il joule ( j ), ed è uguale al N m, nel cgs è l' erg, ed è uguale

x

.

alla dina cm

x

LAVORO IN UN INTERVALLO DI TEMPO

➢ Il lavoro avviene in un intervallo di tempo finito [t1,t2] in cui il punto compie uno spostamento da

P1 a P2 lungo l’arco di traiettoria γ, e non è più definibile come il prodotto della forza per lo

spostamento.

Si suddivide la traiettoria γ in tanti spostamenti rettilei (approssimo una curva con una

spezzata)

Il lavoro compiuto dalla forza che spostare il punto dalla posizione P1 alla posizione P2, seguendo la

traiettoria γ, è uguale alla somma di tutti i lavori elementari che il punto fa, purchè gli spostamenti

siano infinitesimamente piccoli, tanto da poter considerare F costante.

Se F è costante, posso anche scrivere

Ma se la somma degli spostamenti è una semplice somma tra vettori, allora questa corrisponde allo

spostamento totale P1P2.

Riassumendo: Quindi si può dire che il lavoro L è dato dal prodotto

scalare tra la forza F e lo spostamento totale

-->

complessivo L

L = ‡ FL

Il lavoro totale compiuto da tutte le forze che agiscono su un oggetto , ivi incluse le forze di attrito

e le forze gravitazionali , è uguale alla variazione di energia cinetica dell' oggetto, dove per

energia cinetica si intende la misura del lavoro che un oggetto può compiere in virtù del suo

spostamento.

Il lavoro, viene compiuto dalle forze gravitazionali, dalle forze d'attrito e dalle forze applicate che

agiscono sull'oggetto. Le forze gravitazionali fanno parte delle forze conservative, forze che

danno luogo ad un'energia potenziale, che dipende solo dalla posizione del corpo, e permette di

calcolare il lavoro che le forze applicate ad un corpo possono fare quando il corpo stesso cambia

posizione.

➢ ENERGIA

E' la capacità di compiere lavoro.

Tipi di energia in meccanica:

• Energia cinetica K (Ec)

Energia (capacità di compiere lavoro) legata al movimento, al moto del punto e al fatto che

il punto materiale possiede una velocità.

Un punto solo per il fatto di avere una massa m e una velocità v è in grado di compiere una

quantità di lavoro pari a:

Capacità di compiere lavoro

legata alla velocità di P

Il movimento dei corpi è sfruttato per compiere lavoro e per produrre energia. Un corpo che

si è fermato, non è più in grado di produrre lavoro, ma ha prodotto energia cinetica.

L'energia cinetica è consumata per avere lavoro, il cosidetto TEOREMA DEL LAVORO,

secondo cui la variazione di energia cinetica di un sistema materiale in un qualsiasi

intervallo di tempo è pari al lavoro compiuto dalle forze agenti sul punto nello stesso

intervallo di tempo.

Energia potenziale U (Ep)

• Energia (capacità di compiere lavoro) legata alla posizione di un punto materiale all’interno

di un campo di forze conservativo.

h = quota rispetto ad un piano orizzontale di riferimento

r = distanza dal centro della forza elastica/gravitazionale

Una forza si dice conservativa se il lavoro che compie un punto materiale dipende

 soltanto dalla posizione iniziale e dalla posizione finale del punto e non dalla

traiettoria che collega questi due punti. Ovvero, il lavoro compiuto dalla forza su

P1 per arrivare a P2 è sempre lo stesso, non importa la traiettoria.

Si può quindi dire che il lavoro è uguale alla differenza dei valori di P1 e P2.

L'energia potenziale dice quanto lavoro possiamo compiere spostando P1 a P2.

La forza peso è un esempio di forza conservativa, perchè è la stessa per qualsiasi traiettoria.

• Energia meccanica E (Em)

Somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale

Se un punto materiale è soggetto all’azione di sole forze conservative, allora la sua energia

meccanica si conserva costante nel tempo

All'inizio del lavoro l'energia è tutta potenziale;

man mano che il punto cade l'energia potenziale

è uguale all'energia cinetica. Al momento

dell'impatto l'energia diventa tutta cinetica.

L'energia meccanica finale è uguale a quella

iniziale

Ma in realtà esistono però delle forze dissipative, come l'attrito, che possono dissipare

energia meccanica, trasformandola in un altra forma di energia; quindi l'energia spesa da un

oggetto contro le forze d'attrito viene convertita in calore, cioè da energia meccanica ad

energia termica. Ora, essendo La il lavoro fatto dalle forze applicate e Q l'energia dissipata

dalle forze d'attrito:

La = (K - Ko) + (U - Uo) + Q

ossia il lavoro compiuto dalle forze applicate che agiscono sul sistema è uguale alla

variazione di energia cinetica e energia potenziale più l'energia dissipata in calore o

comunque trasformata in un'altra forma di energia.

L'energia cinetica e l' energia potenziale, sono dunque le due forme in cui si può presentare

l'energia meccanica di un corpo, che durante il suo moto variano da istante ad istante : K

varia se varia la velocità del corpo, U varia se il corpo si sposta, al passare del tempo, da

una posizione ad un'altra in cui U ha valori diversi; e sono messi in relazione dalla legge

della conservazione dell'energia, che stabilisce che se le forze che agiscono su un corpo

sono tutte conservative, la somma K + U si mantiene costante durante il moto : K + U = E

= costante, dove E=energia meccanica.

MECCANICA DEI SISTEMI

I corpi esistenti in natura, non sono semplici punti materiali, ma hanno una certa estensione; e le forze che

agiscono su di loro, non sono, di solito, applicate ad uno stesso punto, ma a punti diversi. Dal punto

materiale si passa a schemi più complessi; i sistemi materiali.

Il problema è capire come applicare i principi del punti materiali ai sistemi materiali. Questo problema è

ciò di cui si occupa la MECCANICA DEI SISTEMI.

Per introdurre le leggi (equazioni cardinali) è necessario fare delle premesse:

Premessa 1: CENTRO DI MASSA DI UN SISTEMA MATERIALE

● Il centro di massa o baricentro di un sistema è il punto geometrico corrispondente al valor medio

della distribuzione della massa del sistema nello spazio.

Ovvero, la massa del sistema occupa un volume nello spazio e il centro di massa è un punto

intermedio, un punto prettamente geometrico, della distribuzione e ne rappresenta il centro.

Di norma un sistema è costituito da tanti punti di massa m, e il centro di massa si trova secondo la

formula OC = vettore posizione del centro di massa.

E' uguale alla somma di tutti i prodotti della massa di

ogni punto per il rispettivo raggio, diviso la somma delle

masse dei punti del sistema (che non è altro la massa

totale del sistema).

Tutta l'operazione è un'operazione di media pesata.

Quindi; se

è il vettore posizione del centro di massa →

allora , è anche vero che

la sommatoria dei prodotti di m e r di ogni singolo

punto, è uguale al prodotto della massa del

sistema M per il vettore posizione OC. →

Dalla definizione di centro di mass, facendo le derivate si ricava che

POSIZIONE VELOCITA' ACCELERAZIONE

(derivata della (derivata

la posizione del : :

posizione rispetto al tempo) della velocità rispetto al tempo)

centro di massa la velocità del centro l'accelerazione del

dipende dalla massa di massa dipende centro di massa dipende

di tutti i punti e dove dalla massa di tutti i dalla massa di tutti i

questi sono localizzati punti e dalla velocità punti e dalla

con cui si muovono accelerazione di tutti i

all'interno del punti del sistema

sistema

Questa non è altro che il TEOREMA della QUANTITA' DI MOTO di UN SISTEMA MATERIALE, cioè la

somma dei prodotti delle masse dei punti per le rispettive velocità.

Ma la quantità di moto del sistema materiale si può anche esprimere come il prodotto della massa

del sistema per la velocità del centro di massa.

● Premessa 2: FORZE INTERNE E FORZE ESTERNE DEL SISTEMA

Dato un sistema di N punti materiali, chiamiamo forze interne quelle che si esplicano

vicendevolmente fra i vari punti del sintema, forze esterne quelle esercitate sui punti del sistema

da parte di elementi materiali che non fanno parte del sistema.

C'è quindi la distinzione tra elementi che fanno parte del sistema e elementi che non fanno parte

del sistema, e la definizione di quale sia il sistema da considerare è una decisione puramente

soggettiva.

Per il terzo principio della dinamica, le forze interne che si esplicano vicendevolmente due punti

sono uguali e contrarie, quindi la risultante (somma) delle forze interne agenti su un sistema &eg