Fisica applicata - Potenziale elettrico

J

C C J

V

J J V V

    

(essendo N ) 1 1

m m m

J

V

L'unità di misura è quella comunemente usata per il

m

campo E . Potenziale elettrico 14

Relazione tra Potenz. Elettrico e Campo Elettrico

 Gli effetti delle cariche elettriche possono essere descritti sia in

E

termini di campo che di potenziale elettrostatico V.

 Il potenziale elettrostatico è più facile da trattare perché V è uno

E

scalare, mentre è un vettore.

 E

Esiste uno stretto legame tra V ed : E

si cerchi tale relazione nel caso di un campo uniforme, come

quello presente tra due lastre parallele, la cui differenza di

V

potenziale sia = V - V .

b a

Il lavoro W svolto dal campo E per

d

+

a b

---------

+  

+ spostare una q 0 dalla piastra a b:

+ E  

      

+ W U a b q V

+ ab e

V = V - V

+    

b a      

q V V q V V qV

+ b a a b AB

Potenziale elettrico 15

 W

Si può calcolare questo lavoro anche come il lavoro W fatto

ab

 

F qE

dalla forza elettrostatica agente su q

e

   

W F d F d qEd

e

ab e 

Uguagliando le due espressioni di W

 

     

q V V qEd V V Ed

a b a b

V - V V 

a b ab

E= =

d d

  

V = (V V ) = Ed

b a

Potenziale elettrico 16

Esempi di calcolo del potenziale elettrico

a

) POTENZIALE V IN UN CAMPO E UN

IFORM

E W

      

AB

E' noto che: V V V

h – B A

+ q

0

E unif. –

+ 

 q E d

F d

     

e

– 0

+ = ( Ed cos 0) Ed

q q

–

+ 0 0

 

    

V E x x

d B A

 

   

A B V V E x x

B A B A

  

Se poniamo A 0 e x x

B

0 x x x

A B il potenziale V(

x ) in un punto B

   

qualsiasi di ascissa x è

: V x V E

x

A

Potenziale elettrico 17

V(x)

V

A x=h

A0 x

 E

Si osservi che il campo è diretto sempre nel verso in cui il

potenziale V decresce. Potenziale elettrico 18

b) POTENZIALE ELETTRICO DI UNA CARICA PUNTIFORME

 dell’asse

Sia Q una carica puntiforme posta nel punto O r

Si vuole ottenere l’espressione del potenziale elettrico V(P) in

E

un punto qualsiasi P in cui è presente un campo elettrico ,

 )

rispetto al potenziale nullo a distanza infinita [i.e. V(r = 0].

E Q + q

0

P E

+ r

ds

R

 Si applichi la definizione di potenziale elettrico in un punto P

qualsiasi: W  

1  

    



P

V(P) F ds E ds

e

q q P P

0 0

Potenziale elettrico 19

 .

 Si immagini di spostare la carica q di prova da P

0 

Poiché il campo è conservativo W non dipende dal

E



percorso seguito si scelga il più semplice, quello lungo

 

la direzione radiale r d s d r 



  

V(P) V ( R ) E d r

R



  

E d r E cos dr Edr

   





(dove è l'angolo tra E e d r cioè 0

)

 Quindi, il Potenziale el. nel punto P a distanza R da Q è:

 Q u

  

   

r

V R Edr (essendo E )



 2

4 r

R 0



 



Q dr Q 1 Q

  

    

V R  

  

 

2

4 r 4 r 4 R

R R

0 0 0

Potenziale elettrico 20

Q

  

V r 

4 r

0

Questo è il potenziale elettrico generato dalla carica Q in un

punto a distanza R da Q.

  V(r)



V r è > 0 se Q 0 1

 

  

 Q 0; V r

V r è < 0 s

e Q 0 r r

1

 



Q 0; V r r

Potenziale elettrico 21

d) POTENZIALE ELETTRICO PRODOTTO DA UN INSIEME DI

CARICHE PUNTIFORMI

 …….…....

Si abbiano N cariche puntiformi q , q , q q .

1 2 3 N

Il potenziale elettrico V(P) in un punto P qualsiasi si ottiene

con l’ausilio del principio di sovrapposizione.

 Quindi V(P) è dato dalla somma algebrica dei singoli

potenziali elettrici prodotti da ciascuna carica q nel punto

i

P, tenendo conto del segno della carica: N

q q q

q q 1



     

3 N i

1 2

V( P ) .............

    

4 r 4 r 4 r 4 r 4 r



i 1

0 1 0 2 0 3 0 N 0 i

dove r è la distanza di P dalla carica q .

i i

Potenziale elettrico 22

     

c) DIFF. DI POTENZIALE TRA 2 PUNTI IN PRESENZA DI

    

UN CAMPO E GENERATO DA UNA CARICA PUNTIFORME

 Siano A e B due punti distanti r e r da una carica

A B

V

puntiforme Q, la differenza di potenziale tra A e B è:

Q u

B B

 

         

r

V V V E d s ds

B 

B A

q E 2

4 r

A A

0 ds 0



Q u d s Q dr

B r

 

dr   

r B

q  

0 2 2

4 r 4 r

A r

A

0 0

A E  

r

+   B

Q 1 Q 1 1

   

Q  

-

 

 πε r r

   

4 r 4

r

0 0 B A

A

 

dove dr u d s è la proiezione di d s lungo la direzione di E .

r

dr rappresenta di quanto è variata la distanza radiale di q da Q

0

a seguito dello spostamento d s

.

Potenziale elettrico 23

Energia potenziale di 2 cariche puntiformi

 Sia Q una carica puntiforme che genera un campo radiale.

E

 In un punto P qualsiasi a distanza r da Q è presente un

potenziale elettrico: Q



V( r ) 

4 r

0

 Si ponga in P una carica q . Dalla definizione di potenziale

0

elettrostatico: U ( r )

  

e

V( r ) U ( r ) V( r ) q

e 0

q

0

 Quindi, l’energia potenziale di una carica q posta nel punto P

0

dove è presente un potenziale elettrico V(P) risulta:

q Q

  0

U ( r ) q V(

r ) 

e 0 4 r

0

Potenziale elettrico 24

 Cioè 2 cariche puntiformi Q e q poste a distanza r hanno

0

U ( r )

energia potenziale :

e Qq

 0

U ( r ) 

e 4 r

0 U(r)

 Se le 2 cariche hanno lo stesso segno: cariche dello

 stesso segno

U ( r ) 0

e O r

Se le 2 cariche hanno lo segno opposto: cariche di segno

opposto



U ( r ) 0

e

 all’energia

Questa è simile potenziale che esiste tra due

U ( r )

e

masse m ed m a distanza r , associata alla forza

1 2

gravitazionale. Potenziale elettrico 25

Energia potenziale elettrostatica di un sistema di

(NO)

cariche elettriche puntiformi

 Nel campo gravitazionale è noto che un corpo sollevato da terra,

immagazzina sotto forma di energia potenziale gravitazionale il

lavoro compiuto da un agente esterno per sollevarlo.



 Una situazione simile nel caso elettrostatico: infatti, se si

avvicinano due corpi aventi carica elettrica dello stesso segno,

il lavoro W che si compie per avvicinarle a distanza r, viene

immagazzinato come energia potenziale elettrostatica del

sistema delle due cariche.

 Se si liberano le due cariche, si può recuperare questa energia

potenziale come energia cinetica dei due corpi, poiché essi si

respingono. Potenziale elettrico 26

 Se Q e Q sono due cariche puntiformi, sappiamo calcolare

1 2

l’energia potenziale elettrostatica di queste due cariche U ( r )

e

a distanza r tra di loro: Q Q

 1 2

U ( r ) 

e 4 r

0

 Ora si vuol calcolare l’energia potenziale elettrostatica di un

sistema di N cariche elettriche puntiformi con N > 2.

 L’energia potenziale elettrostatica di un sistema di N cariche

puntiformi fisse, si può definire come il lavoro svolto da un

agente esterno per costruire la configurazione del sistema di

,

cariche, portandole da una distanza alle proprie posizioni

della configurazione data.

 = 0) sia all’inizio,

Si assuma che le cariche siano a riposo (i.e. E

c

quando sono molto distanti tra loro (r), sia quando sono nella

posizione finale. Potenziale elettrico 27

 Supponiamo di portare la prima carica Q nel punto P della

1 1

configurazione; il lavoro compiuto da un agente esterno è



W = 0, poiché forze agenti, infatti, le altre cariche sono a

1 

distanza .

 Ora si porti la carica Q nella posizione P , partendo da

2 2

,  

distanza fino a distanza r da P W 0, perché Q

12 1 2 1

esercita una forza repulsiva su Q durante lo spostamento.

2

P

 1

Q

1 Q r

ds 1 12 P

r ds

2

13 r

 23

Q Q

3 2

P 

3

Q

ds Q

F

3

F 12 2

23 F 13

Potenziale elettrico 28



Q Q Q Q u cos ds

1

P P P

  

    

2 2 2

1 2 1 2 r

W F d s u d s

12 r

 

2 2 2

  

4 r 4 r

0 0

 

 r

 

dr 12

Q Q Q Q Q Q

1 1

r



   

12

1 2 1 2 1 2

 

  

 

2



4 r 4 r 4 r



0 0 0 12

 Questo lavoro W compiuto da un agente esterno è:

2      

     

W U U P U U r

2 e e 2 e e 12

) è l’energia potenziale di due cariche puntiformi

quindi U (r

e 12 l’una dall’altra.

a distanza r 12

 Si noti che U (r ) si poteva subito scrivere considerando in P

e 12 2

il potenziale elettrico V(P ) prodotto da Q :

2 1

Q

   

  1

U r Q V P Q 

e 12 2 2 2 4 r

0 12

Potenziale elettrico 29



 Se le cariche Q e Q hanno lo stesso segno W > 0 per

1 2 2

spingerle l’una contro l’altra. In tal caso anche U (r ) > 0.

e 12

