Fisica 1 (pt 2/4)

Corpo rigido

Introduzione al concetto di corpo rigido

Abbiamo visto che il 3^° principio F_INT non ha ruolo nella ap xx si cancellano, il 3^° principio in forma forte le F_INT non hanno ruolo nella ΔL_c.m.. Che ruolo giocano le F_INT dal punto di vista energetico?

w = f₃₁ · d₁ + f₁₃ · d' + prod. scalare
f̄_int = f̄_si + f̄_si. d₂ · ṡ = prod. scalare = f̄_si · d₂ + f̄_si · d₂ · f̄_si ≈ d₁
d₁ = d₁ + d₂ ≈ d₂

Se la F è attrattiva è avvicinamento, repulsiva è allontanamento.

Caratteristiche del corpo rigido

Nel corpo rigido le forze interne non contano nulla.

1 punto materiale: 3 gradi di libertà (d.o.f - degrees of freedom).
N punti materiale: 3N d.o.f.

È molto utile identificare la posizione globale del corpo rigido come S_c.m.. Le distanze dal centro di massa (CM) ad ogni parte della massa del corpo libero sono costanti. Questi assi ruotano rispetto a x, y, z seguendo il gessetto → î 3 componenti, ĵ 3 componenti, k̂ 3 componenti, 9 t.o.f.

Vincoli e gradi di libertà

• Vincoli: î · î = 1, ĵ · ĵ = 1, k̂ · k̂ = 1 modulo 1
• î · ĵ = 0, ĵ · k̂ = 0, k̂ · î = 0 ortogonali
• Ho 9 componenti - 6 vincoli ⇒ mi bastano 3 coordinate per descrivere l'orientamento delle coordinate nello spazio.

⇒ Il corpo rigido ha 6 d.o.l. = 3 x il CM = 3 x descrivere l'orientamento

Teoria del moto

d²/dt² R_ext tec. delle quantità di moto dl_b/dt = M_ext0 a riposo 0 @ c.m. Teo. del mom. angolare

Moto globale (di traslazione) del corpo: Come se il corpo fosse un punto materiali.

Moto rotazionale attorno al c.m.: Nel corpo rigido il lavoro delle forze interne è nulla.

Equazioni di potenza e rotazione

Potenza: ρ = ^dW⁄_dt [ρ] = [W T^-1] = [M L² T^-3] 1W = 1 J * s

ρ = ^{F→ ds→}⁄_dt = F^→ v^→

Rotazione del corpo rigido

Rotazione del corpo rigido intorno ad un asse fisso:

d = distanza dal dV dall'asse di rotazione

dEc = 1⁄2 dm v² = 1⁄4 dm (ωr)² = 1⁄2 ∫ dV ω² r²

Ec = ∫ρ⁄2 ρ ω² dV = ω²⁄2 ∫ ρ r² dV = ω²⁄2 ∫ dm r² == 1⁄2 I (ω²[I] = [M L²])

Momenti di inerzia

Se ho N punti materiali → I = N⁄∑_i=1 m_i r²_i

• Anello omogeneo (M, R), asse passante per il centro e perpendicolare al piano dell'anello: I = R² / dm = R²M
• Disco omogeneo (M, R), asse passante per il centro e: I = 2M/R² ∫ r³ dr == 2M/R² [R⁴⁄4] = MR² / 2
• Superficie sferica: I = MR²⁄2 (2-3) = 2MR²⁄3

Riassunto dei momenti di inerzia

• ANELLO: I = MR²
• DISCO: I = ¹/₂MR²
• SUP. SFERA: I = ²/₃MR²
• SF. SFERA: I = ²/₅MR²
• ASTA: I = ¹/₁₂ML²

I_anello > I_{sup sfera} > I_disco > I_sfera

Sfera piena

Calcolo il volume di una crosta sferica di raggi c e spessore dn

dV = dn r²

V = ⁴∫₀r² dn = ⁴∫₀c r² dn = ⁴/₃ πR³

Asta sottile omogenea

Rispetto ad un asse passante per il centro:

dI = r²dm → dm = pdx → dI = x²pdx = ^M/_l x² dx

I = ^M/_l ∫_-l/2^l/2 x² dx = ^M/_l [x³/₃]_-l/2^l/2 = ^-M/₃