Fisica 1 - Prima parte

Lezione 1

25/09/2017

Sistema internazionale (SI)

• Tempo - secondo, t, s
• Lunghezza - metro, l, m
• Massa - kilogrammo, m, Kg
• Quantità di materia - mole, n, mol
• Temperatura - Kelvin, T, K
• Corrente elettrica - ampere, i, A
• Intensità luminosa - candela, iv, cd

S= v·t → spazio: velocità: tempo

Quantità di moto

mV_i = Mv_f (si conserva in un sistema isolato)

Esempio: La velocità delle biglie colpite aumenta in base alla massa delle biglie incidenti, avendo la stessa velocità.

V = K·M

V₁ V₂ V₃

I Legge di Newton

Un corpo di massa m che si trova ad un'altezza h, possiede un'energia potenziale dipendente da h.

L'energia totale si conserva

mV² proporzionale a h

Per paragonare due orologi, la cui frequenza dei ticchetti differisce di pochi centesimi di secondo, occorre verificare la differenza dopo aver aspettato un lasso di tempo necessario a renderla visibile macroscopicamente.

Lezione 1

25/09/2017

Sistema internazionale (SI)

• Tempo: secondo (t, s)
• Lunghezza: metro (l, m)
• Massa: Kilogrammo (m, Kg)
• Quantità di materia: mole (n, mol)
• Temperatura: Kelvin (T, K)
• Corrente elettrica: ampere (i, A)
• Intensità luminosa: candela (iv, cd)

S = v t ⇒ spazio : velocità : tempo

Quantità di moto

mv_i = Mv_f (si conserva in un sistema isolato)Esempio: La velocità delle biglie colpite aumenta in base alla massa v delle biglie incidenti, aventi la stessa velocità.

I Legge di Newton

Un corpo di massa m che si trova adun'altezza h, possiede un'energia potenzialedipendente da h.L'energia totale si conserva

mv² proporzionale ad h

Per paragonare due orologi, la cui frequenza dei ticchetti differiscedi pochi centesimi di secondo, occorre verificare la differenza dopoaver aspettato un lasso di tempo necessario a renderla visibile macroscopicamente.

Il numero di cifre significative è il numero di cifre che contando da sinistra risultano successive agli zeri.

Moltiplicando o dividendo più fattori, il numero di cifre significative con cui va rappresentato il risultato non deve contenere più cifre significative del fattore meno preciso.

Analisi dimensionale

Le dimensioni di una grandezza fisica racchiudendola tra parentesi quadre: esempio: [x] = L[t] : T quindi [v] = L / T = L T^-1

Grandezza scalare

identificata da un valore numericoGrandezza vettoriale

necessita anche di una direzione e un verso.

versori: vettori unitari (modulo: 1), indicati con i simboli j e i

Moltiplicazione di un vettore per uno scalare

significa variarene solamente il modulo

Prodotto scalare di due vettori

definito l'angolo θ fra i due vettori A · B = A x B cos(θ)

Prodotto vettoriale di due vettori

Cinematica

• posizione
• velocità
• spostamento
• accelerazione

Moto in una dimensione

La posizione è la coordinata sull'asse di riferimento, in un universo unidimensionale è uno scalare; qua andro essere un vettore: r_i ha modulo x_i e orientato secondo il versore i

Lo spostamento è in ogni caso un vettore, non è altro che la variazione Δr del vettore posizione r.

La velocità è la rapidità con cui un corpo cambia la sua posizione in un intervallo di tempo Δt. v = Δr/Δt m/sLa velocità media non aiuta però a definire i dettagli del moto di un corpo, occorre la velocità istantanea, definita dal limite a cui tende il rapporto Δr/Δt quando Δt tende a 0. v = lim (Δr/Δt) m/s Δt→0

In ogni punto, la velocità istantanea è il coefficiente angolareIl limite è la definizione matematica di derivata: : della tangente in quel punto. v = dr/dt unidimensionalmente si riduce a: v_x= dx/dt,mente tridimensionalmente: v = dr/dt = d/dt (xi + yj + zk), dx/dt i + dy/dt j + dz/dt kv = v_x i + v_y j + v_z k

L'accelerazione è data dal modo in cui la velocità istantanea varia nel tempo. Se dato un istante t₁, un corpo si muove con velocità v₁, e in un altro istante t₂ si muove con velocità v₂, allora l'accelerazione media ā è data dal rapporto. ā = (v₂ - v₁) / (t₂ - t₁) = Δv / Δt m/s²

L'accelerazione istantanea invece: a = lim (Δv/Δt) m/s²

quindi: a = dv/dt

unidimensionalmente: a_x = dv_x/dt

tridimensionalmente: a = a_xi + a_yj + a_zk

Dalle relazioni:

a_x = dv_x/dt   a_y = dv_y/dt   a_z = dv_z/dt

v_x = dx/dt   v_y = dy/dt   v_z = dz/dt

a_x = dv_x/dt = d²x/dt²

a_y = dv_y/dt = d²y/dt²

a_z = dv_z/dt = d²z/dt²

Risulta quindi che l'accelerazione è la derivata seconda della posizione.

• un punto fermo
• un punto si muove a velocità costante: x(t) = A + Bt dove v_k = dx/dt = B
• un punto si muove con accelerazione costante: x(t) = A + Bt + C²
• dalle due definizioni: v = dx/dt   a = d²x/dt² = 2C
• a = dv/dt   si ha:
• un punto si muove di moto oscillante: x(t) = Acos(ωt)

Moto di un corpo in caduta libera

Tutti i corpi cadono a terra con la medesima accelerazione,

l'aria essendo un fluido applica attrito sui corpi più leggeri, ma

nel vuoto tutti i corpi hanno in caduta libera, la stessa accelerazione g.

In prossimità della superficie terrestre, g = 9,8 m/s²

y = y₀ + V₀t + ½₂gt²

a = costante = -g

Per calcolare la velocità istantanea in un punto di una funzione, occorre tracciare la tangente in quel punto e trovare il coefficiente angolare.

Per calcolare allo stesso modo l'accelerazione istantanea, occorre riscrivere la funzione v(t), calcolando la velocità istantanea in un numero di punti sufficientemente elevato (interpolazione grafica), infine occorre tracciare la tangente nel punto scelto e trovare il suo coefficiente angolare.

Quando a è costante

• La velocità v cresce linearmente col tempo t: v = v_o + at
• Lo spostamento x cresce quadraticamente col tempo t: x = v_ot + ½ at²

X(t) = v_ot + ½ at²

v(t) = v_o + at

Formula di Lagrange (retta passante per due punti)

^{x - X_o}/_{Xe - Xo} y_e + /_{x - Xo} X_e - X_o y_o

Retta tangente ad un punto di una curva

m = f'(x_o)

(y - y_o) = m(x - x_o)

_{derivata della funzione conosciuta; sostituire con Xo}

Equazione di una curva, conoscendo i suoi punti:

parabola: y = ax² + bx + c (sostituire i punti, in x e y, sistema)

Lezione 3

02/10/2017

Moti piani

Consideriamo un punto materiale che si muove lungo una traiettoria curva dal punto P al punto Q nel piano x-y.

La posizione iniziale è individuata dal vettore s:

s = x + y = x_pi + y_pj

La posizione finale è individuata dal vettore risultante dalla somma vettoriale s + Δs, la velocità media sarà:

v = Δs/Δt

v = lim_Δt→0 (Δs/Δt) = ds/dt

** Mentre il punto si muove lungo la curva, le sue coordinate proiettate sugli assi, si muovono di moto rettilineo

La velocità di queste sono le componenti ortogonali del vettore velocità:

v_x = dx/dt

v_y = dy/dt

Si può quindi calcolare la derivata del vettore velocità:

V = v_x + v_y

Quando un punto si muove lungo una retta, il suo vettore può avere qualsiasi modulo, ma è sempre diretto lungo la retta.

Quando un punto si muove in un piano, il vettore velocità può avere anche una qualsiasi direzione. Il vettore velocità risulta sempre tangente.

Scomponendo il vettore accelerazione nelle sue componenti x e y l'accelerazione di un punto materiale si ricava:

a = dx + ay

a = dv_x/dt + dv_y/dt

Moto in un piano con accelerazione costante

x(t): X₀ + v_x0t + ½ a_xt²

ponendo essere a_x e a_y costanti (repere ė immobile nel tempo), avremo per le due componenti del moto x e y:

x(t): X₀ + V_x0t + ½ a_xt²

y(t): Y₀ + v_y0t + ½ a_yt²

S(t)=S₀+V₀t+ ½ at²e

Moto circolare uniforme

un punto P muove lungo una circonferenza di raggio r a velocitá costante in modulo.

t₁ e t₂ istanti in cui punto si trova in posizioni simmetriche rispetto a circonferenza all’origine degli assi cartesiani

θ: angolo fra i due vettori posizione agli istanti t₁ e t₂

Poiché ad ogni istante il vettore velocità è tangente alla circonferenza, risulta che l’angolo fra i due vettori V₁ e V₂ è 0°

Da cui risulta:

Δv/v = vΔt/r

Δv/Δt = v²/r → a= lim (Δv/Δt) = v²/r_Δt→0

Accelerazione centripeta

a= v²/r

Dinamica

Il problema della dinamica di un corpo è determinare come si muove la particella, note le cause che agiscono su di essa. Le cause che agiscono su un corpo, inducono in generale delle accelerazioni.

Nel formalismo differenziale a(t)=dv/dt, può essere invertito in dv=a(t)dt

v(t)=v₀+at è valida solo per il caso semplice a=costante ma si potrà scrivere invece solo dv=a(t)dt. Per determinare quindi la velocità non possiamo scrivere v(t)=v₀+a(t)t, però possiamo scrivere: v(t₀+dt)=v₀+a(t₀) dt

Dovremo quindi imparare come effettuare un processo iterativo con cui, partendo dalla formula semplice:

v(t₀+dt)= v₀+a(t₀)dt

si possa pervenire alla determinazione della funzione:

• v(t), nota la funzione a(t)
• a(t), nota la funzione v(t)

a(t)=dv/dt

I Legge di Newton

Ogni corpo persiste nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme,finché forze esterne ad esso non lo costringono a mutare questo stato.

In natura lo stato di quiete (v=0) e lo stato di moto rettilineo uniforme(v=costante) hanno qualcosa in comune:

• a) lo stato permare in eterno
• b)

II Legge di Newton

F = m·a

a = F/m

a proporzionale a F₀

m₁ / m₂ = a₂ / a₁

Il rapporto fra le masse è indipendente dalla forza applicata F

La I legge di Newton è un caso particolare della II legge dove se F=0 → a=0

Newton (N) = 1 Kg/m/s²

F.ML/T²

III Legge di Newton

Se un corpo A esercita una forza su un corpo B, il corpo B esercita una forza uguale e contraria su A.

x(t):

v(t) = v₀ + (F/m)

Solo F:costante poiché a:costante

Peso e Massa

Il peso di un corpo è la forza gravitazionale esercitata su di esso dalla terra, e come tutte le forze è una quantità vettoriale.

Un corpo di massa m è in caduta libera, la sua accelerazione è g, l'accelerazione di gravità, e la forza agente su di esso è P.

In base alla II legge di Newton F=ma si ha per il corpo:

P = mg      g ha lo stesso valore in ogni luogo

Il rapporto fra i pesi di due corpi è eguale al rapporto fra le masse. Tuttavia l'accelerazione di gravità g varia leggermente da un punto all'altro della superficie terrestre.

La differenza di peso di un corpo in due punti della superficie terrestre rivela la differenza di peso. La massa al contrario è una proprietà intrinseca di un corpo.

Forza di attrito statico (f_s) Forza di attrito dinamico (f_k)

F -> | m | <- f_s

F_r = m · a

F_r = F - f_s = m · a

a < F/m

occorre smorzare la forza F fino a raggiungere ed eguagliare in modulo f_s, dopodiché con l’aumentare di F il corpo inizia a muoversi.

F_f |

|

F | |_f

| ----

| ________________

|_________________|f_k

t

La forza di attrito f è quantificata dal coefficiente μ, coefficiente d’attrito

coefficiente d’attrito statico f_s = μ_sN

coefficiente d’attrito dinamico f_k = μ_kN

Dinamica del moto circolare uniforme

Applicando la II legge di Newton risulta che la somma vettoriale di tutte le forze applicate alla massa m deve soddisfare la relazione: ΣF = m · a,

e poiché l’accelerazione a è diretta verso il centro della circonferenza, anche la forza risultante ΣF sarà diretta verso il centro.

Riguardo la sua intensità, il modulo risulterà:

ΣF = m · a = m v²/r

Lavoro ed Energia

Lavoro fatto dalla forza sulla particella come il prodotto del modulo della forza F per la distanza percorsa dalla particella in una direzione:

L = F · d

Nel caso in cui la forza non agisce in un'unica direzione, allora:

L = Fx · d

L = Fcos(θ) · d

Se θ=0, il lavoro è semplicemente F · d mentre se θ=90° il lavoro fatto dalla forza F sulla particella è nullo

Il lavoro è una quantità scalare ed altro non è che il prodotto scalare dei vettori F e d:

L = F · d

unità di misura: Joule (1 Newton · metro)

Nel caso in cui la forza vari sia in modulo che in direzione, occorre integrare:

dL = F · ds = Fcosθ ds

La potenza è la rapidità con cui il Lavoro L è compiuto:

p: dL/dt (potenza istantanea)

<P> = ΔL/Δt (potenza media)

se la potenza è costante nel tempo: p ≥ L : t

unità di misura: watt (1 Joule · secondo)

Energia cinetica (energia di movimento)

K: ½mv²il lavoro fatto da una forza su una particella è uguale alla sua variazione di Energia Cinetica

nel caso in cui oltre che a variare in modulo vari anche in direzione:L (lavoro della forza risultante) = K - K₀ = ΔK

Una forza che determina una variazione della sola direzione della velocità, ma non del suo modulo, non compie lavoro. Se una forza avesse una componente nella direzione del moto (L ≠ 0), allora determinerebbe anche una variazione del modulo della velocità (vedi moto circolare uniforme).

Una particella in moto possiede una certa quantità di energia, sotto forma di energia cinetica. Non appena produce lavoro, perde energia cinetica (cioè velocità). Quindi, l'energia cinetica di un corpo in movimento è pari al lavoro da produrre nel fermarsi, ecco anche spiegato per quale motivo si possono ottenere valori negativi.

Il lavoro produce energia, l'energia restituisce lavoro in pari misura.

Teorema Lavoro-Energia

Legge della conservazione dell'energia

Forze conservative e forze non conservative

Le forze conservative, come la forza di una molla o la forza gravitazionale, sono in grado di restituire ad una massa la sua K.

Le forze non conservative come le forze di attrito, o di deformazione non elastica invece no.

Se in parallelo ad una forza conservativa (per esempio la forza gravitazionale) è presente anche una forza non conservativa.

Se non vi è variazione di energia cinetica di una massa m alla fine di un certo percorso, il lavoro fatto su di essa lungo lo stesso percorso è nullo: L = ΔK = 0 (il lavoro fatto dalla forza di gravità in un ciclo completo è nullo).

Una forza si dice conservativa se il lavoro fatto su una massa m in un ciclo completo (chiuso) è nullo.

Nel caso di forze conservative in un ciclo chiuso, il lavoro fatto dalla forza in questione non dipende dal percorso seguito per spostarsi tra il punto iniziale e il punto finale; quando si tratta di forze non conservative, questo non accade: sarà rilevante il percorso seguito e il lavoro non risulterà nullo ma negativo, con una perdita netta di energia cinetica.

Energia potenziale

ΔK = -ΔU

La variazione dell'energia potenziale che si osserva posizionandosi in un punto x, rispetto al valore in un punto di riferimento x₀, è il lavoro fatto dalla forza quando la particella si muove dal punto x al punto x₀.

U(x) - U(x₀) = ½mv₀² - ½mv²

Legge di conservazione dell'energia meccanica

U(x) + ½mv² = U(x₀) + ½mv₀²

Energia meccanica totale: E = U + K

L'energia potenziale U è una funzione della posizione la cui derivata (cambiata di segno) dà la forza. Cioè a sua volta la forza (cambiata di segno) rappresenta la rapidità "spaziale" con cui cambia l'energia potenziale. Cioè il tasso di variazione di energia potenziale lungo x è rappresentato dalla forza.

Nel caso in cui si parli di sistemi a più dimensioni:

U = U(x,y,z)     K + U + E = costante

ΔK + ΔU = 0     Δ(K + U) = 0     K + U = costante

L_conserv + L_non-conserv = ΔK

L_conserv = -ΔU

L_non-conserv = ΔK + ΔU

L_non-conserv: Δ(K + U) = ΔE

L'energia meccanica totale E_i cambia (nel caso in cui vi siano forze non conservative) di un ammontare di lavoro pari a quello delle forze non conservative.