Fisica - Prima parte

FORZE CONSERVATIVE, ENERGIA POTENZIALE

Una regione dello spazio è sede di un campo di forza se in ogni punto della regione un elemento (punto materiale,

carica elettrica,) risente l’azione di una forza F del campo agente su un punto.

Le forze per cui il lavoro non dipende dal percorso, si chiamano FORZE CONSERVATIVE.

Una forza conservativa è tale per cui il lavoro della forza non dipende dal percorso ma soltanto dalla pozione iniziale

e finale.

′

()

∫ ()′ = ∫ ′ = ∫

Il lavoro lungo il percorso ‘ coincide con quello lungo il percorso ‘’, lungo qualsiasi altro e per eseguire il calcolo pratico

possiamo scegliere il percorso analiticamente più comodo.

Il lavoro è pertanto esprimibile come differenza dei valori che una funzione delle coordinate assume in A e B.

∫ = − ∫

LAVORO DELLA FORZA PESO

Il lavoro della forza peso mg per uno spostamento generico dalla posizione A a quella B:

= ∫ = ∫ =

Infatti, F è costante e l’integrale vale - =

Poiché il peso ha una sola componente diversa da zero, quella secondo l’asse z vale – mg, e la componente lungo l’asse

)=

z è Z -Z , il prodotto scalare si scrive (mg) ( -mg (Z -Z ) e pertanto il lavoro della forza peso vale:

B A B A

)

= −( − = −( − = −

)

=

Dove indichiamo una funzione della coordinata z del punto, misurata lungo un asse parallelo e di verso

opposto alla forza peso, detta ENERGIA POTENZIALE DELLA FORZA PESO.

∆

Il simbolo indica la differenza tra il valore nel punto finale e in quello iniziale, dunque:

il lavoro della forza peso è uguale all’opposto della variazione dell’energia potenziale della forza peso durante lo

spostamento da A a B e pertanto non dipende dalla particolare traiettoria che collega A e B.

LAVORO DI UNA FORZA ELASTICA

Il lavoro della forza elastica F= -k x u per uno spostamento lungo l’asse x vale:

x

= ∫ − = − ∫ = − = −

^

Dove Ep= funzione solo della posizione, è detta ENERGIA POTENZIALE ELASTICA: il lavoro è espresso come

l’opposto della variazione dell’energia potenziale tra la posizione finale e iniziale.

RIASSUMENDO:

• Per tutte le forse conservative il lavoro si esprime sempre come l’opposto della variazione dell’energia

potenziale relativa alla specifica forza;

• Non esiste una formula generale dell’energia potenziale, ma l’espressione esplicita dell’energia potenziale

dipende dalla particolare forza conservativa cui essa si riferisce;

• Nei due casi che abbiamo discusso si è ottenuto, rispettivamente per la forza peso e per la forza elastica,

Ep, peso=mgz, Ep,el= =

Se agiscono solo forze conservative: = = −

Eguagliando le due relazioni: + = +

, , , ,

La somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale di un punto materiale che si muove sotto l’azione di forze

conservative resta costante durante il moto, ossia si conserva. Tale somma si chiama ENERGIA MECCANICA per cui

esprime il PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA: in presenza di forze conservative l’energia

meccanica di un punto materiale si conserva.

In presenza di forza non conservative l’energia meccanica non resta costante e la sua variazione è uguale al lavoro

delle forze non conservative.

LAVORO DI UNA FORZA DI ATTRITO RADENTE (dinamica o statica)

Ricordando che il vettore uv è parallelo e concorde allo spostamento ds, il lavoro corrispondente si scrive:

= ∫ − = ∫ − = ∫

ⅆ

Dove l’integrale scalare è la lunghezza del percorso da A a B, misurata lungo la traiettoria effettiva del punto

∫

materiale. Pertanto, a parità dei fattori abbiamo un lavoro diverso a seconda della forma della traiettoria: il

ⅆ

lavoro della forza di attrito radente dipende dal percorso e non è esprimibile come differenza dei valori di una funzione

delle coordinate dei punto A e B.

Il lavoro della forza di attrito radente è sempre negativo, cioè è lavoro resistente, perché cambia il verso del moto,

cambia anche quello della forza di attrito che è sempre opposta alla velocità.

MOMENTO ANGOLARE

Si definisce momento angolare il momento del vettore quantità di moto

L=r * p = r * mv

Il punto O è il polo rispetto a cui è calcolato L, sappiamo che se si cambia poli vale la relazione:

Lo’ = Lo + O’O * mv

In generale il momento angolare è una funzione del tempo L(T).

Il MOMENTO DELLA FORZA è definito come:

M = r * F

Se si cambia polo

Mo’ = Mo + O’O * F

Quando ad un punto sono applicate più forze con risultante R = ∑i Fi , si ha

M = r * F1 + ….+r *Fn= r * (F1+…+Fn) = r * R

Il momento complessivo è uguale al momento della forza risultante.

Pertanto: si può spostare una forza lungo la propria retta di azione.

Corollario: se il punto O giace sulla retta di azione della forza allora il momento della forza rispetto ad O è nullo.

MOMENTO DI UNA FORZA RISPETTO AD UN ASSE

Definiamo un’asse come una retta a cui è stata assegnata una direzione, ogni asse può essere identificato

univocamente per mezzo di un suo punto e di un versore (vettore di lunghezza unitaria) diretto come l’asse.

Il momento di una forza F (applicata nel punto P) rispetto ad un asse si definisce come la proiezione sull’asse del

momento della forza calcolata rispetto ad un punto qualsiasi dell’asse.

La definizione di momento di una forza rispetto ad un asse, specifica già una proprietà: il momento di una forza rispetto

ad un asse non cambia al variare del punto Q scelto sull’asse per calcolare il momento rispetto ad esso.

MOMENTO ASSIALE DI UN VETTORE

A vettore applicato in P e O e O’ sono i poli appartenenti all’asse z,

OP= OP ’+P’ P MO= OP * A = (O P’+ P’ P) * A = O P’* A + P’ P * A

Moz è il momento assiale del vettore A = componente di Mo lungo l’asse z.

Proprietà del momento di una forza rispetto ad un asse:

1. Il momento di una forza rispetto ad un asse è nulla se:

La forza è nulla

La retta d’azione della forza passa per l’asse

La forza e l’asse sono paralleli

2. La componente della forza nel piano traverso all’asse è l’unica che contribuisce al momento della forza rispetto

all’asse.

Mo= 0 implica che Lo è costante per il principio di conservazione del momento angolare

MOTI RELATIVI

Fissato un sistema di riferimento e stabilita una certa proprietà, questa resta vera anche se cambiano l’origine e

l’orientazione degli assi coordinati, ovvero se ci riferiamo ad un altro sistema ottenuto dal primo con una traslazione

o con una rotazione. La situazione si presenta diversa quando un fenomeno viene osservato da due sistemi di

riferimento in moto l’uno rispetto all’altro. Nel caso del moto di un corpo abbiamo già rilevato come il concetto stesso

di moto sia relativo.

Il moto viene descritto con leggi diverse in due sistemi di riferimento in moto relativo, a meno che questo moto non

abbia certe caratteristiche.

TEOREMA DELLE VELOCITA’ RELATIVE

Un punto materiale P in movimento lungo una generica traiettoria. Il suo moto viene osservato da una terna cartesiana

con centro in O, che per convenzione chiameremo SISTEMA DI RIFERIMENTO FISSO e da una terna cartesiana con

centro in O’ che, chiamiamo SISTEMA DI RIFERIMENTO MOBILE.

L’origine del sistema mobile ha una velocità Vo’ rispetto al sistema fisso, inoltre l’insieme dei tre assi mobili in generale

.

ruota con velocità angolare ′

= + ′

Detta v la velocità di P rispetto al sistema fisso e v’ la velocità di P rispetto al sistema mobile (VELOCITA’ RELATIVA), si

dimostra il seguente TEOREMA DELLE VELOCITA’ RELATIVE:

′ ′

= + + ∗ ′

Le velocità del punto P viste dai due sistemi in moto relativo sono diverse, però sono correlate secondo tale relazione.

Il termine correttivo, chiamato VELOCITA’ DI TRASCINAMENTO, è:

′ ′ ′

= − = + ∗

E dipende dai parametri del moto del sistema mobile rispetto al sistema fisso e dalla posizione di P rispetto al sistema

mobile.

Due casi particolari: = 0

- Il sistema mobile non ruota rispetto a quello fisso ( ) si parla di MOTO RELATIVO TRASLATORIO tra i

due sistemi, ovvero di moto di trascinamento traslatorio:

′ ′ ′

= + =

- Il sistema mobile non si sposta rispetto a quello fisso ( vo’ = 0 ) ma ruota:

′ ′ ′

= + ∗ = ∗

Si parla di MOTO RELATIVO ROTATORIO tra i due sistemi, ovvero di moto di trascinamento rotatorio.

TEOREMA DELLE ACCELERAZIONI RELATIVE

Consideriamo la relazione tra le accelerazione del punto P misurata rispetto ai due sistemi di riferimento. Chiamiamo

a l’accelerazione di P nel sistema di riferimento fisso (ACCELERAZIONE ASSOLUTA) e a’ l’accelerazione di P nel sistema

′

=

di riferimento mobile (ACCELERAZIONE RELATIVA), ′

l’accelerazione di O’ rispetto a O. Nell’ipotesi che sia un vettore costante, cioè che nel tempi restino costanti modulo,

,

direzione e verso di si dimostra il TEOREMA DELLE ACCELERAZIONI RELATIVE.

′ ′ ′ ′

( )

= + + ∗ ∗ + ∗

Le accelerazioni del punto P viste dai due sistemi non coincidono, ma sono correlate. Il termine

′ ′

( )

= + ∗ ∗

Si chiama ACCELERAZIONE D