Finanza quantitativa e derivati

Contratti a Termine

I contratti a termine "Forward" sono contratti bilaterali di compravendita in cui le parti convengono alla data corrente di scambiarsi un determinato "bene" ad una convenuta data futura e ad un prezzo prefissato. Il bene oggetto dello scambio, sottostante o underlying, può avere la forma di una azione, obbligazione, indice, settore, prezzo, metallo prezioso, ha data T in cui avviene effettivamente lo scambio = data di consegna = delivery date. Il prezzo pattuito è indicato e si pone in F_C(t, T) per ricevere il sottostante. Il prezzo a termine si pone a forward o comprato. Il prezzo forward fissato in t per consegna in T

Sarà indicato con F_C(t, T): il prezzo forward fissato in t per consegna in T.

Ossia il prezzo a termine pattuito in t per consegna in T da uno scambio con scadenza T = t_s è rappresentato nella forma (C_L(t, t_s)).

La parte che effettua l'acquisto a termine, il compratore, resta impegnata a pagare l'importo F_C(t, T) in T per ricevere contestualmente il sottostante. Il venditore, nella corrispondente imposa a consegnare il sottostante, incassando il prezzo a termine. Il compratore assume una long position, il venditore short.

Il contratto nel mercato

Un mercato si dice perfetto se soddisfa le ipotesi di non fiziosità e competitività. Si suppone che il sottostante del contratto a termine sia un bene scambiato in un mercato perfetto a un prezzo P_C(t). Alla data corrente il prezzo P_C(t) è osservabile, mentre il prezzo P_C(T) è una variabile aleatoria.

Si assumerà inoltre che il contratto preveda la possibilità per il venditore di versare alla controparte il quotazione P_C(T), invece che consegnare fisicamente il bene, liquidazione per contanti.

Nel caso particolare si ha F_C(t, T) = P(t) il prezzo forward si riduce cioè ad una locazione di prezzo a pronti

Nessuno scambio monetario avviene in t, tuttavia la data di stipula del contratto ha grande rilevanza dato che la specificazione del prezzo a termine F_C(t, T) avverrà sulla base dell'informazione disponibile alla parti in t.

Schema Contratto

• Long: Paga il prezzo forward F_C(t,T) e riceve il valore aleatorio del sottostante P_C(T)
• Short: Riceve il prezzo forward F_C(t,T) e consegna il sottostante che vale P_C(T)

Si ipotizza inoltre un mercato dove siano precluse possibilità di arbitraggio non rischiosi e che non esista possibilità di insolvenza.

Oss. 1: Si definisce base del contratto alla data t la differenza P(t) - F_C(t, T)

Oss. 2: Nella pratica non esiste un mercato ufficiale dei contratti forward propriamente detti. I contratti vengono scambiati direttamente fra le parti ove the counter e le parti stabiliscono così i termini dei contratti in uniane e flessibile.

esclusa la possibilità di default, l'unica differenza che distingue la posi- zione di un oper altro è acquistare un determinato bene in prompt e quello di un oper che lo ha acquistato a termine per consegna. T consiste solo nella eventuali dividendi che il bene produce fino t. I termini DIVIDENDI

anche in senso ammpo come l’usuf di benefici/costi che sono di competenza del solo possessore materiale del bene.

Con riferimento ad un generico contratto forward si indicherà, genericamente con (DC_t, T) il valore di un contro t di tutti i dividendi pagabili nel sottomoste T individuati determinazione di (DC_t) attraverso un modello di mercato potrà risultare anche notevole complic si tratti nel cope nome dividendi di

tipo deterministico, cioè non t. D’una una semplice espressione esplicita

Nel caso di un flusso discreto e finito di dividendi distaccati alle date tn si ha:

(DC_t,T) = ∑_(k=l..m) v(t,tk,s)D _k

dove v(t,s) è il prezzo di mercato in t dello ZCB unitario con maturity s, cioè il fattore di sconto “risk-free” in vigore in t sul mercato per la scadenza s.

Il Diagramma di Payoff

Un contratto a termine ha valore nullo alla data di stipula t. Si indichi con L(t) il valore in t del contratto per il compratore, si ha:

L(t)=0 mentre alla scadenza si ha:

L(T) = P(T) - F(t,T) (4,3)

Il DIAGRAMMA DI PAYOFF per il compratore è la rappresentazione grafica di L(T) in funzione del prezzo P(T) del sottostante. Il diagranma di payoff ha forma lineare. Naturalmente P(T) (ed LCT), non è nota t. Tuttavia il diagramma di payoff è utile per evidenziare la forza della dipendenza deterministica che lege la variabile aleatoria che rappresenta il valore finale

del contratto col corrispondente valore uniciato del bilio del prodotto limitato. E(T,t) fe resulta (Pcr), P(T)

(NC) - F(t,T) altera i aspet pi possibili di questo. attraverso l’unizione dei

contratti forward in quanto per loro natura, la coratte inglesi) che mi elevato grado di leve finanzioo

(LEVERAGE) che consente a assumere una posizione e esposto al rischio senza

agogico ordi esboro iniziale

Angelo che sà dovuto rappresentando l’advamento della funzione -L(T) in funzione di P(T)

Prezzi a Termine e Aspettative

Nella determinazione dei contratti q termine sono rilevanti le aspettative prevalenti sul mercato, sul valore futuro dei prezzi p,pratic. Si parla di contrattiq: - IN NATUALI BACKWARDATION l’aspettativa del prezzo alla coisegen é più alto del formo

E(L(P(T)) < F(t,T)⁾

- A CONTANGO l’aspettativa del pezzo alla consigre è uguale del prezzo forward

E(L(P(T)) > F(t,T)⁾

- Contratti HO la CONTANGO impliicono per il compratore l’accettazione di un’operazione

si giudice a base negativa, cioè che risulta E(LCR(t)) < 0.

Dato che P(t) rappresenta il piu valutario del VE che sarà richiesto in T per ottenere una unità di VE, il valore V(E_t,PCT_t) rappresenta il prezzo in VE della data t del sottostante denominato e pagato ad una unità di VE alla data t.

Se si chiude questo punto per il valore P(t) del cambio in t si ottiene il prezzo totale VE di una unità di VE esigibile in T, cioè:

V(E_t,PCT_t =

^F(E_t,ti)

PCT_t)

Ricavando V(E_t,PCT_t) e sostituendo nella (1.5) si ottiene la relazione di PARITÀ

COPERTA DEI TASSI DI INTERESSE:

F(E_t,T) =

^{C (1.5)}

siccome F

C(t,T)

P(E_t) =

(C_1,1)

C(t,ti)

Il cambio collegato sulla base del principio del arbitraggio. Il n rapporto tra cambi, e cambi a termine col livello relativo dei tassi di interesse delle valute scambiate. Esprimendo infatti il tutto direttamente termine il faso o di intensità di interesse e a C(t.5) si può scrivere nei della forma:

C(t,T) ^{[c(r_t) - r* (E,т )] C° (T*t)} =

L(I + c(r,,)r^{* (e,т)})

(C 1.5)

Ragionando in termini di intensità di interesse, la determinazione del n rapporto tra cambio a termi и C / Ccavo