Appunti Finanza Quantitativa

Università degli Studi di Roma "Tor Vergata"

Facoltà di economia

Corso di laurea specialistica in Economia dei mercati e degli intermediari finanziari

Lezioni di finanza quantitativa

Prof. Tommaso Proietti

Anno accademico 2014/15

Indice

• Introduzione .......................................................................................................................................... 2
• I rendimenti degli asset .............................................................................................................4
• Ripasso di teoria della probabilità ...............................................................................................5
• Variabili casuali .................................................................................................................... 51
• Distribuzioni univariate ............................................................................................................ 71
• Normale ............................................................................................ 72
• Altre distribuzioni univariate .................................................................................8
• Distribuzioni multivariate .........................................................................................................9
• Valori attesi condizionati ......................................................................................................10
• Proprietà dei valori attesi condizionati ..........................................................................11
• Caratteristiche empiriche delle serie storiche dei rendimenti ......................................14
• Momenti ................................................................................................................................. 14
• Autocovarianza, autocorrelazione e volatility clustering...................................15
• Modelli per l’analisi delle serie storiche economiche .......................................................17
• Processi stocastici stazionari ......................................................................................................18
• ACF e densità spettrale .............................................................................................19
• White Noise ............................................................................................................. 21
• Il teorema di Wold .......................................................................................... 22
• L'algebra dell'operatore L .......................................................................................23
• Processi a memoria corta .......................................................................................................24
• Processi MA .................................................................................................................. 242
• Processi AR .................................................................................................................. 24
• Processi a memoria lunga .......................................................................................................27
• Stima ................................................................................................................................................ 29
• Test di casualità ......................................................................................................................... 34
• Processi non stazionari ................................................................................................................... 36
• Random Walk .............................................................................................................................. 362
• Martingala ................................................................................................................................. 37
• Teoria dei mercati efficienti ........................................................................................................... 39
• Previsione delle serie storiche ...................................................................................................43
• Previsione modelli .............................................................................................................................. 46
• Modelling & forecasting volatility .............................................................................................50
• Modelli ad eteroschedasticità condizionata .........................................................................51
• Modelli ARCH (p): Autoregressive Conditional Heteroscedastic Models; Engle, 1982 ...................52
• Caso particolare - Modello ARCH(1) ......................................................................53
• Proprietà ARCH(1) ........................................................................................................55
• Metodo di stima di max verosimiglianza .......................................................................58
• Test di omoschedasticità – Score test = Test gradiente = Test del rapporto del moltiplicatore di Lagrange .............................................................64
• Test di diagnosi .............................................................................................................. 66
• Previsione con i modelli ARCH (1) ............................................................................672
• Modello ARCH in media 0 ............................................................................................................ 68
• Modello GARCH (p,q) .................................................................................................................... 69
• Caso particolare: Modello GARCH (1,1) ..................................................................69
• Proprietà GARCH(1,1) ..................................................................................................70
• Previsione modelli GARCH (1,1) .................................................................................72
• Metodo di simulazione Monte Carlo .....................................................................73
• Modello GARCH integrato .......................................................................................................75
• Metodi non parametrici per stimare la volatilità ..................................................................77
• Modello GARCH in media ........................................................................................................... 79
• Modello EGARCH(m,s): Exponential Garch Model; Modello di Nelson, 1991 .................................79
• Caso particolare: EGARCH(1,1) ................................................................................81
• Modelli GARCH con una diversa distribuzione dell’errore .....................................82
• Modelli GARCH multivariati .............................................................................................................. 821
• Generalizzazione GARCH ......................................................................................................84
• Modello VEC .................................................................................................................... 84
• Modello DVEC – Diagonal VEC ...................................................................................86
• Modello BEKK (4 autori) ..............................................................................................87
• Modelli di correlazione condizionata ............................................................................88
• Modello CCC ................................................................................................................... 89
• Modello DCC ................................................................................................................... 89
• Versione di Tse Tsui ......................................................................................................89
• Versione di Engel .......................................................................................................... 90
• Metodo max verosimiglianza ....................................................................................911
• Modelli fattoriali .................................................................................................................... 92
• Factor GARCH ................................................................................................................. 92
• Componenti principali e O-GARCH ............................................................................92
• Modello a volatilità stocastica ...................................................................................................94
• Modelli a volatilità stocastica univariata di base .................................................................94
• Modelli state space ................................................................................................................... 99
• Modelli state space: caso particolare .....................................................................100
• Filtro di Kalman ................................................................................................................................. 101
• Smoothing ...................................................................................................................... 109
• Realized volatility ............................................................................................................................ 112
• Long memory in realized volatility ...................................................................................112
• Microstructure noise ............................................................................................................ 115
• I° Modello: HAR Model ............................................................................................................. 116
• Long memory in RV .................................................................................................................... 1173
• II° Modello: Fractionally Integrated Processes ................................................................119
• Fractional noise ....................................................................................................................... 119
• Autocovariance and spectrum .............................................................................120
• III° Modello: Fractional Exponential Spectral Model ..............................................122
• Inferenza ....................................................................................................................... 124
• Log periodogram regression ...............................................................................131
• Whittle likelihood estimation ...............................................................................134
• VAR ........................................................................................................................................................... 135
• VaR estimation: RiskMetrics ..................................................................................................139
• VaR estimation: Simulazione storica .................................................................................142
• VaR estimation: Econometric approach ...........................................................................144
• Backtesting ................................................................................................................................ 147
• Expected shortfall .......................................................................................................................... 1484

Introduzione

Vediamo rapidamente di cosa tratta il corso di finanza quantitativa: Cominceremo a guardare i dati finanziari: che caratteristiche hanno, e come si comportano.

1. Per far questo riprenderemo alcuni concetti, come ad esempio:
   • Processi stocastici; quello che analizzeremo sono serie che riguardano i rendimenti di attività finanziarie: vale a dire le variazioni relative di prezzo.
   • Stazionarietà.
   • White Noise; guarderemo, infatti, a sequenze che si comportano come WN e quindi ne studieremo le caratteristiche e vedremo come verificare l’ipotesi che le nostre serie finanziarie sono WN. Come vedremo, il WN è un modello molto elementare che ci dice che quello che avviene oggi non è collegato, non è prevedibile da quello che è successo ieri, perlomeno in media. Inoltre esso è un modello per l’efficienza dei mercati finanziari.
   • Non stazionarietà.
   • Random Walk.
   • Martingala.
   • Teoria della previsione ottimale; è molto importante, perché, per quanto riguarda i rendimenti, quello che abbiamo è una sequenza di osservazioni passate e vogliamo dire qualcosa sul futuro. Il futuro è incerto, quindi possiamo trattare il rendimento futuro (o, come vedremo, la volatilità futura) come una variabile casuale e prevederla utilizzando il previsore ottimale rispetto a certi obbiettivi. Illustreremo, dunque, alcuni metodi di previsione, fra cui presenteremo quello noto come Livellamento esponenziale.
2. Nella parte centrale ci concentreremo sulla misura e sull’analisi della volatilità. Quindi introdurremo dei modelli che guardano alla varianza condizionata dei rendimenti rispetto al loro passato, e che, quindi, non guardano al loro valore atteso, perché, se il mercato funziona, esso è pari a 0. La varianza è prevedibile dal passato, perché il rischio è persistente (ci sono periodi di alta volatilità che si alternano a periodi di bassa volatilità, con qualche persistenza). Questi modelli sono noti come modelli a eteroschedasticità condizionata (ARCH, GARCH).
3. In fine tratteremo i modelli a eteroschedasticità stocastica, che sono leggermente più sofisticati dei precedenti e richiedono metodi di stima più articolati. Anch’essi cercano di modellare la volatilità delle serie dei rendimenti e, attraverso quest’ultima, di prevedere il rischio di mercato.
4. Concluderemo il corso parlando di Value At Risk e di altre misure di rischio di mercato.

I rendimenti degli asset

L’analisi delle serie finanziarie si basa sui prezzi e sui rendimenti degli asset. Indichiamo con P_t, con t = 1, .. , n, la sequenza dei prezzi di un’attività finanziaria. Noi ci interesseremo ad una trasformazione dei prezzi, che chiamiamo rendimento netto semplice uniperiodale e che è espresso dalla variazione relativa del prezzo dell’attività finanziaria in un arco di tempo unitario:

R_t = (P_t - P_t-1) / P_t-1, che moltiplicato per 100 ci fornisce il rendimento percentuale.

P(1+R) fornisce il rendimento lordo, cioè quel fattore moltiplicativo che applicato a P_t-1 ci fornisce P_t. Se guardiamo ad un orizzonte temporale più ampio e ci chiediamo qual è il rendimento k-periodale (in generale rendimento lordo multi periodale), possiamo definirlo attraverso la seguente uguaglianza:

\(\prod_{j=0}^{k-1} (1+R_{t-j}) = (1+R_{t})\)

Da ciò discende che il rendimento netto multi periodale è pari alla radice k-esima della media geometrica (prodotto, e non somma) dei rendimenti uni periodali:

\(R_{k}(t) = \sqrt[k]{\prod_{j=0}^{k-1} (1+R_{t-j})} - 1\)

Più che utilizzare questi rendimenti, noi utilizzeremo quelli che vengono chiamati log returns, che sono espressi come la variazione logaritmica dei prezzi: \(r_{t} = \ln(P_{t}) - \ln(P_{t-1}) = \ln(P_{t}/P_{t-1})\). Il log return r_t è un’approssimazione di R_t ed è tanto più buona, quanto più il rendimento netto semplice è piccolo, prossimo a zero. Questa approssimazione vale perché, se facciamo un’espansione di Taylor intorno a zero, il termine principale di questa espansione è R_t; e se R_t è piccolo, la formula di Taylor si annulla dopo il primo termine perché i successivi diventano trascurabili.

Comunque trattiamo il log return r_t piuttosto che il rendimento netto semplice R_t, perché il primo è più facile da manipolare.

Ripasso di teoria della probabilità

Variabili casuali

I rendimenti costituiscono una serie storica. Questa serie storica è stata generata da un processo stocastico. Un processo stocastico può essere definito come una successione ordinata di variabili casuali indicizzate al parametro t, che, nel nostro caso, è il tempo. Ciò significa che al tempo t, questo processo stocastico si manifesta come una variabile casuale. Una variabile casuale è un modo di descrivere il comportamento di un fenomeno casuale. L’insieme dei valori che può assumere questa variabile casuale è detto supporto della variabile. Nel proseguo assumeremo che i rendimenti siano una variabile casuale continua, che può assumere tutti i valori da −∞ a +∞, anche se ci aspettiamo che siano più plausibili valori intorno allo zero, piuttosto che valori molto alti o molto bassi. Questa plausibilità è espressa dalla funzione di densità di probabilità. Essa ha le seguenti caratteristiche:

\(f(y) \geq 0\)

\(\int_{a}^{b} f(y) \, dy = P(a \leq Y \leq b) \quad a < Y < b\)