Finanza aziendale - Appunti

FINANZA

AZIENDALE

1° PARZIALE

PRINCIPI DI VALUTAZIONE FINANZIARIA

Gran parte delle applicazioni in finanza d’impresa riguarda le valutazioni; si cerca spesso infatti di stimare il valore di progetti

di investimento, imprese, finanziamenti, obbligazioni e azioni.

CAPITALIZZAZIONE E ATTUALIZZAZIONE

Il denaro ha un valore temporale; infatti, un euro oggi vale più di un euro in futuro per i seguenti motivi:

1) l'inflazione erode il potere di acquisto del denaro;

2) anche in assenza di inflazione, gli individui preferiscono il consumo corrente al consumo futuro;

3) vi è incertezza (quindi il rischio) associata al flusso di cassa disponibile nel futuro.

Tre regole governano il valore nel tempo:

• Solo valori disponibili nello stesso istante nel tempo possono essere confrontati o combinati.

• Per spostare un flusso di cassa corrente in avanti nel tempo (cioè se lo si

vuole convertire nell’equivalente futuro) lo si deve capitalizzare.

• Per spostare un flusso di cassa futuro indietro nel tempo (cioè se lo si

vuole convertire nell’equivalente corrente) lo si deve attualizzare o

scontare.

Il tasso di attualizzazione (o di sconto, o di capitalizzazione) è il tasso di interesse al quale i flussi finanziari presenti e futuri

sono scambiati. Esso rappresenta:

− un costo opportunità (il ritorno ottenibile investendo altrove a parità di rischio);

− un rendimento atteso sull'investimento corrente.

VALORE FUTURO ➔ ➔ FV = PV × (1 + r)

Valore futuro = Valore corrente + Interesse FV = PV + (r × PV)

Esempio: Supponiamo di investire €1.000 a un tasso di interesse del 5% per un periodo (ad esempio, 1 anno):

Alla fine del periodo l'investimento avrà generato €50 di interessi (= €1.000 × 5%), e il valore futuro sarà €1.050:

€1.050 = €1.000 + 5% × €1,000.

• Se gli interessi di €50 sono prelevati alla fine del periodo e il capitale è mantenuto investito per un secondo periodo

allo stesso tasso, il regime di capitalizzazione è detto (interesse) semplice.

• Se, al contrario, sia il capitale che gli interessi sono mantenuti investiti, al termine del secondo periodo gli interessi

del primo periodo avranno generato ulteriori interessi, e il regime di capitalizzazione è detto (interesse) composto.

➔

FV = PV + Interesse periodo 1 + Interesse periodo 2 €1.102,50 = €1.000 + €50 + (€1.050 × 5%)

Interessi semplici

Utilizzando la stessa notazione: 2

➔ ➔ FV = PV × (1 + r)

FV = PV + PV × r + (PV + PV × r) × r FV = PV + PV × r + PV × r + (PV × r) × r

Investimento Interessi su interessi

(valore corrente)

Come possiamo vedere, il valore futuro, dopo 2 periodi, pari a €1.102,50, è composto da tre parti:

− il capitale iniziale (valore corrente): €1.000;

− gli interessi semplici sul capitale iniziale: €50 nel primo periodo, più €50 nel secondo periodo;

− gli interessi sugli interessi: €50 × 5% = €2,50.

Per determinare il valore futuro in regime di capitalizzazione composta quando il numero di periodi è superiore a 2 è

N

FV = PV × (1 + r)

sufficiente generalizzare:

• N è il numero di periodi di capitalizzazione, e ogni periodo è l'unità di tempo dopo la quale vengono pagati gli

interessi al tasso r. [N.B: il tempo a cui si riferisce il tasso deve sempre essere coerente con il periodo all’esponente;

quindi, se r è in anni, allora anche N deve essere valutato in anni]

• N

Il termine (1 + r) è il fattore di capitalizzazione, ossia il "tasso di cambio" tra valore corrente e futuro.

Esempio: Qual è il valore di €1.000, con interessi annui al 5%, tra 10 anni?

N

PV × (1 + 5%) PV × 5% × N FV – PV – Inter. semplici

N PV FV Interessi semplici Interessi su interessi

€ 1.000,0 € 1.050 € 50,0 € 0,0

1 € 1.000,0 € 1.103 € 100,0 € 2,5

2 € 1.000,0 € 1.158 € 150,0 € 7,6

3 € 1.000,0 € 1.216 € 200,0 € 15,5

4 € 1.000,0 € 1.276 € 250,0 € 26,3

5 € 1.000,0 € 1.340 € 300,0 € 40,1

6 € 1.000,0 € 1.407 € 350,0 € 57,1

7 € 1.000,0 € 1.477 € 400,0 € 77,5

8 € 1.000,0 € 1.551 € 450,0 € 101,3

9 € 1.000,0 € 1.629 € 500,0 € 128,9

10

Se, invece, aumentassimo l’orizzonte temporale a 50 anni:

N PV FV Interessi semplici Interessi su interessi

€ 1.000,0 € 1.276,3 € 250,0 € 26,3

5 € 1.000,0 € 1.628,9 € 500,0 € 128,9

10 € 1.000,0 € 2.078,9 € 750,0 € 328,9

15 € 1.000,0 € 2.653,3 € 1.000,0 € 653,3

20 € 1.000,0 € 3.386,4 € 1.250,0 € 1.136,4

25 € 1.000,0 € 4.321,9 € 1.500,0 € 1.821,9

30 € 1.000,0 € 5.516,0 € 1.750,0 € 2.766,0

35 € 1.000,0 € 7.040,0 € 2.000,0 € 4.040,0

40 € 1.000,0 € 8.985,0 € 2.250,0 € 5.735,0

45 € 1.000,0 € 11.467,4 € 2.500,0 € 7.967,4

50

Quindi, mentre la crescita degli interessi semplici è lineare, la crescita degli interessi su interessi è esponenziale (si dice,

infatti, che la capitalizzazione composta sia una legge esponenziale).

TASSI D’INTERESSE NON COSTANTI:

Abbiamo ipotizzato fino a qui uno stesso tasso di interesse,

r. Possiamo però estendere il calcolo di un valore futuro

per ammettere tassi di interesse diversi nel tempo.

Ad esempio, supponiamo che un investimento di €10.000 paghi il 5% durante il primo anno e il 4% durante il secondo:

− Alla fine del primo anno, il valore è di €10.000 × (1 + 5%) = €10.500.

− Durante il secondo periodo, questi €10.500 generano interessi al tasso del 4%; perciò l valore futuro di €10.000 alla fine

del secondo anno è di €10.500 × (1 + 4%) = €10.920.

FV = PV × (1 + r ) × (1 + r ) × … × (1 + r )

Generalizzando, possiamo scrivere: 1 2 N

VALORE ATTUALE

N

➔ ➔ PV =

Dalla relazione base tra PV e FV FV = PV × (1 + r)

( + )

N

Il termine 1/(1 + r) è il fattore di sconto o di attualizzazione, poiché viene utilizzato per convertire un valore futuro nel suo

valore attuale equivalente.

Esempio: Qual è il valore corrente (o attuale) di un flusso di cassa pari a €5.000 disponibile tra 2 anni?

Se è possibile ottenere un interesse annuo del 5% su investimenti alternativi a 2 anni e con lo stesso grado di incertezza, allora:

− il valore futuro, FV = €5.000; €.

− il numero di periodi, N = 2; N 2

➔ ➔

FV = PV × (1 + r) €5.000 = PV × (1 + 5%) PV = = €4.535,15

( + %)

− il tasso di interesse annuo, r = 5%.

Pertanto, saremmo disposti a scambiare oggi €4.535,15 in cambio di €5.000 tra 2 anni, a un tasso di interesse del 5% all'anno.

FLUSSI DI CASSA MULTIPLI

Nelle applicazioni (in finanza e in valutazione) è pressoché sempre necessario determinare il valore attuale di una serie di flussi

di cassa, anziché di un solo flusso di cassa.

Esempio: Supponiamo di considerare i seguenti tre flussi di

cassa a un tasso di interesse del 5% all'anno:

Qual è il valore futuro, all'anno 2, di questa sequenza di flussi di cassa, al tasso del 5% all'anno?

Qual è il valore attuale, all'anno 0, di questa sequenza di flussi di cassa, al tasso del 5% all'anno?

Vi è una relazione tra valore futuro e valore attuale: l'uno è semplicemente l'altro a cui applichiamo il fattore di

capitalizzazione o di attualizzazione appropriato:

BOND: Esso è un titolo a reddito fisso

Esempio: Consideriamo al 1 settembre 20x0 il BTP-1St20x0+10, con cedola annua del 2,5%.

Supponendo che il rendimento annuo richiesto dal mercato, ossia il tasso di attualizzazione, sia il 2,7%, qual è il valore attuale

del BTP? E se, invece, è del 2,8%?

Coupon = 2,5 Coupon = 2,5

Tasso = 2,70% Tasso = 2,80%

2,5 / 2

2,5 / 2

(1 + 2,8%/2)

(1 + 2,7%/2) Tempo CF DCF

Tempo CF DCF 1 1,250 1,233

1 1,250 1,233 2 1,250 1,216

2 1,250 1,217 3 1,250 1,199

3 1,250 1,201 4 1,250 1,182

4 1,250 1,185 5 1,250 1,166

5 1,250 1,169 6 1,250 1,150

6 1,250 1,153 7 1,250 1,134

7 1,250 1,138 8 1,250 1,118

8 1,250 1,123 9 1,250 1,103

9 1,250 1,108 10 1,250 1,088

10 1,250 1,093

11 1,250 1,079 11 1,250 1,073

12 1,250 1,064 12 1,250 1,058

13 1,250 1,050 13 1,250 1,043

14 1,250 1,036 14 1,250 1,029

15 1,250 1,022 15 1,250 1,015

16 1,250 1,009 16 1,250 1,001

17 1,250 0,995 17 1,250 0,987

18 1,250 0,982 18 1,250 0,973

19 1,250 0,969 19 1,250 0,960

20 101,250 77,432 20 101,250 76,672

PV = 98,257 PV = 97,399

100 + CF 100 + CF

RENDITE PERPETUE COSTANTI (PERPETUITY)

In diverse applicazioni, specialmente nella valutazione d'impresa, si prevede che i flussi di cassa siano perpetui. Una serie di

flussi di cassa a intervalli regolari, per sempre, è una rendita perpetua (o perpetuity).

Il valore attuale di una perpetuity, il cui flusso di cassa periodico costante è CF, a un tasso di attualizzazione di r per periodo è

CF CF CF CF CF

➔ ➔ ➔

+ + + . .. + + + . .. PV =

PV = PV × (1 + r) = CF + PV + PV × r = CF + PV

2 3 2 3

(1+ (1 (1 (1 (1 (1

) + r) + r) + ) + r) + r)

Esempio: Supponiamo di considerare un investimento che promette un flusso di cassa di €100 all'anno per sempre, e che il

tasso di interesse annuo sia il 5%. €

Il valore attuale di questa perpetuity è: PV = = €2.000

% Numericamente, possiamo verificare la correttezza di questa

formula calcolando il valore attuale per N "grande":

QUASI-PERPETUITY:

Esempio: Il 1 settembre 2014 il governo spagnolo ha emesso un'obbligazione a 50 anni, raccogliendo €1 miliardo a un tasso

cedolare del 4% (3,969% arrotondato) all'anno. Il prezzo di emissione è stato pari a 100,67.

1 CF × fatt. sconto

(1+3,969 %)

Anni CF Fattori di sconto PV

1 4 0,962 3,85

2 4 0,925 3,70

3 4 0,890 3,56

4 4 0,856 3,42

5 4 0,823 3,29

6 4 0,792 3,17 86,39 ➔

% valore = = 0,85812 86%

7 4 0,762 3,05 100,67

8 4 0,732 2,93

9 4 0,704 2,82 50 cedole annuali, pari a 4 ciascuna, rappresentano circa l'86% del prezzo

10 4 0,678 2,71

11 4 0,652 2,61 corrente dell'obbligazione. Il nominale dopo 50 anni vale (solo) il 14% del prezzo

12 4 0,627 2,51 corrente.

13 4 0,603 2,41

14 4 0,580 2,32

15 4 0,558 2,23

16 4 0,536 2,15

17 4 0,516 2,06

18 4 0,496 1,99

19 4 0,477 1,91

20 4 0,459 1,84

21 4 0,442 1,77

22 4 0,425 1,70

23 4 0,409 1,63

24 4 0,393 1,57

25 4 0,378 1,51

26 4 0,363 1,45

27 4 0,350 1,40

28 4 0,336 1,35

29 4 0,323 1,29

30 4 0,311 1,24

31 4 0,299 1,20

32 4 0,288 1,15

33 4 0,277 1,11

34 4 0,266 1,06

35 4 0,256 1,02

36 4 0,246 0,99

37 4 0,237 0,95

38 4 0,228 0,91

39 4 0,219 0,88

40 4 0,211 0,84

41 4 0,203 0,81

42 4 0,195 0,78

43 4 0,188 0,75

44 4 0,180 0,72

45 4 0,174 0,69

46 4 0,167 0,67

47 4 0,161 0,64

48 4 0,154 0,62

49 4 0,148 0,59

50 4 0,143 0,57

86,39

RENDITE PERPETUE CRESCENTI:

Un altro caso di perpetuity rilevante in finanza e in valutazione è quella in cui i flussi di cassa sono crescenti.

I flussi di cassa crescono al tasso g e CF è il flusso di cassa atteso al termine del prossimo periodo.

Il valore attuale di questa perpetuity è: 2 2

(1+g) (1+) (1 + g) (1 + )

➔ ➔

+ CF × + CF × +. .. + CF ×

PV = PV × (1 + r) = CF + CF× PV + PV× r = CF + PV + PV×g

2 3 2

(1+ (1 (1 (1 (1

) + r) + r) + ) + r)

PV = ( − )

Minore è la distanza fra r e g e maggior tempo ci impiegherà a convergere. Queste tipologie di rendite sono principalmente

posticipate, cioè arrivano alla fine dell’anno (tuttavia, posso essere anche anticipate).

Esempio: Supponiamo di considerare un investimento che promette un flusso di cassa di €100 al termine del prossimo anno, e

in seguito i flussi saranno crescenti a un tasso annuo del 3%. Il tasso di attualizzazione è del 5% all'anno.

€100

Il valore attuale di questa perpetuity è: PV = = €5.000

(5% − 3%)

N.B: Questo valore attuale è uguale a quello che avrebbe una perpetuity costante in cui il tasso di attualizzazione fosse del 2%

€100

all'anno: PV = = €5.000

2%

1 100 100 × (1 + 0,03) 1

−( ) ×

(1 (1

+ 5%) (0,05 − 0,03) 0,05 − 0,03 + 5%)

# di CF Fattori di sconto PV

€

0 1,000 -

€

10 0,614 875

€ Numericamente, possiamo verificare la correttezza di questa formula

20 0,377 1.596

€

30 0,231 2.192 calcolando il valore attuale per N "grande".

€

40 0,142 2.683

€

50 0,087 3.089

€

60 0,054 3.423

€

70 0,033 3.699

€

80 0,020 3.926

€

90 0,012 4.114

€

100 0,008 4.269

€

110 0,005 4.397

€

120 0,003 4.503

€

130 0,002 4.590

€

140 0,001 4.661

€

150 0,001 4.721

€

160 0,000 4.770

€

170 0,000 4.810

€

180 0,000 4.843

€

190 0,000 4.871

€

200 0,000 4.893

€

480 0,000 5.000

MODELLO A DUE STADI:

Il valore di un'impresa può essere espresso come il valore attuale dei flussi di cassa futuri attesi attualizzati a un costo

opportunità del capitale.

Per calcolare questo valore attuale, è molto comune suddividere il valore dell'impresa in due parti:

• la somma dei primi 3-5 flussi di cassa (periodo di stima puntuale dei flussi di cassa);

• un "valore terminale", calcolato attraverso una formula di perpetuity.

MBA Corp.: Free cash flow projections (EUR m) Number of shares outstanding 198.86 m

Column1 20x1e 20x2e 20x3e 20x4e 20x5e

EBIT (Margine operativo) 119,5 129,8 135,0 140,2 143,5

(-) Tax expense 41,8 45,4 47,3 49,1 50,2

Tax rate 35,0% 35,0% 35,0% 35,0% 35,0%

(=) NOPLAT (Reddito operativo dopo le imposte) 77,7 84,4 87,8 91,1 93,3

(+) D&A (Ammortamenti) 25,8 27,8 29,7 31,2 29,8

(=) OCF (Flusso di cassa operativo) 103,5 112,2 117,5 122,3 123,1

(-) CAPEX (Investimenti in conto capitale = increm. Immobiliz. lorde) 33,0 33,2 30,8 32,0 30,3

(-) Change in NWC (Variazioni nel capitale circolante netto operativo) 15,9 2,2 2,9 -5,3 -1,7

(=) FCFF (Flusso di cassa stimato disponibile) 54,6 76,8 83,8 95,6 94,5

MBA Corp.: DCF analysis

Column1 Column2 Column3 Column4 Column5 Column6

Perpetual growth rate (Tasso di crescita perpetuo) 2,0%

WACC (Costo medio ponderato del capitale) 7,4% ( in questo caso è il nostro tasso di sconto)

Terminal value TV = CF6 / (r - g) 1784,5 94,5 × (1 + 2,0%) / (7,4% - 2,0%)

Discount factor of terminal value 1 / (1 + r)^5 0,700

×

Discounted terminal value 1784,5 0,700 1248,8 ➔ V =

(+) Cumulated discounted FCFF 323,0

5

(+) Financial assets as of 31/12/20x0 36,7 ∑

(1 + )

Enterprise value (EUR m) 1608,5

(-) Net financial debt as of 31/12/20x0 (EUR m) 381,4

Equity value (EUR m) 1227,1

Value per share (EUR) 1227,1 / 198,86 6,17

RENDITE COSTANTI (NON PERPETUE)

Alcuni problemi di valutazione richiedono di valutare una serie di flussi di cassa costanti disponibili a intervalli regolari ma

per un tempo limitato. Una tale serie di flussi di cassa è una rendita (temporanea).

Esempio: Supponiamo di considerare 4 flussi di cassa annui costanti e pari a €2.000 con tasso di interesse del 5% all'anno. Quali

sono il valore futuro e il valore attuale di questa serie di flussi di cassa?

Una scorciatoia è utilizzare un fattore di rendita. Una

rendita costante può essere vista come la differenza tra

due perpetuity; quindi bisogna sottrarre al valore attuale

della prima perpetuity il valore attuale della seconda

prepetuity (che è una perpetutiy differita, cioè che inizia

al periodo T + 1):

La prima perpetuity ha un valore attuale pari a CF/r.

La seconda perpetuity ha un valore al tempo T pari a T

CF/r, e di conseguenza un valore attuale di (CF/r)/(1 + r) .

Quindi, a differenza tra il valore attuale della prima

perpetuity e il valore attuale della seconda perpetuity è:

(/)

(/) × [ − ]

➔ ➔

PV = CF × A(r; T)

−

( + )

(1 + )

− ×

=

Nell'esempio precedente, A(5%; 4) = 3,54595, e il PV è pari a €2.000 × 3,54595 = €7.091,90

% % ( + %)

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 14% 16% 18% 20%

1 0,9901 0,9804 0,9709 0,9615 0,9524 0,9434 0,9346 0,9259 0,9174 0,9091 0,8929 0,8772 0,8621 0,8475 0,8333 1

2 1,9704 1,9416 1,9135 1,8861 1,8594 1,8334 1,8080 1,7833 1,7591 1,7355 1,6901 1,6467 1,6052 1,5656 1,5278 1−

(1 + )

3 2,9410 2,8839 2,8286 2,7751 2,7232 2,6730 2,6243 2,5771 2,5313 2,4869 2,4018 2,3216 2,2459 2,1743 2,1065

4 3,9020 3,8077 3,7171 3,6299 3,5460 3,4651 3,3872 3,3121 3,2397 3,1699 3,0373 2,9137 2,7982 2,6901 2,5887

5 4,8534 4,7135 4,5797 4,4518 4,3295 4,2124 4,1002 3,9927 3,8897 3,7908 3,6048 3,4331 3,2743 3,1272 2,9906

6 5,7955 5,6014 5,4172 5,2421 5,0757 4,9173 4,7665 4,6229 4,4859 4,3553 4,1114 3,8887 3,6847 3,4976 3,3255

7 6,7282 6,4720 6,2303 6,0021 5,7864 5,5824 5,3893 5,2064 5,0330 4,8684 4,