filtraggio frequenze

Filtraggio nel dominio delle frequenze

Il filtraggio nel dominio delle frequenze lo possiamo schematizzare nei seguenti passi:

1. Zero-padding dell'immagine

Questa operazione è dovuta al fatto che il filtraggio nel dominio delle frequenze corrisponde a un prodotto puntuale rispetto al filtraggio nel dominio spaziale, che corrisponde a una convoluzione circolare. Effettuare il padding consente di evitare l'arrotolarsi di un lato verso quello opposto e quindi di ottenere dei pixel contaminati. L'operazione di padding produce un'immagine di dimensione PxQ con P = 2M e Q = 2N.

2. Moltiplicazione dell'immagine paddata

Moltiplicare l'immagine paddata per una quantità pari a (-1)^x+y in modo da centrare la trasformata nel punto [P/2, Q/2] e in modo che questa assuma valori compresi tra [0, P-1] e [0, Q-1].

3. Trasformata discreta

Si passa al dominio delle frequenze calcolando la trasformata discreta del risultato del passo 2. Tale trasformata sarà data da:

F(u,v) = ∑_x=0^P-1 ∑_y=0^Q-1 fp(x,y) * e^{-2πi(xu/P + yv/Q)}

4. Calcolare la funzione filtro H(u,v)

Calcolare la funzione filtro H(u,v) che si intende applicare. Tale funzione avrà anch'essa dimensione PxQ e sarà quindi centrata nel punto (P/2, Q/2). Per eliminare le alte frequenze, utilizziamo i filtri passa-basso, il cui risultato consente di ottenere immagini con riduzione di rumore comportando sfocatura.

Il filtro utilizzato è il Gaussiano in quanto questo gode della proprietà che una gaussiana resta tale anche nel dominio delle frequenze. Ciò consente di ottenere risultati più tenui rispetto all'applicazione di un PB ideale o di Butterworth, in quanto questi comportano il cosiddetto fenomeno del ringing (sfocatura ad anello).

Nel dettaglio, un PB ideale comporta sfocatura a causa del netto taglio delle frequenze che non rientrano nella circonferenza delle frequenze da mantenere di raggio D₀, dove tale raggio indica la frequenza di taglio. Un PB ideale è definito come:

H(u,v) = { 1 se D(u,v) ≤ D₀ { 0 altrimenti }

D₀ è la frequenza di taglio, D(u,v) è la distanza di quel punto dal centro della circonferenza. Il PB di Butterworth, pur facendo dipendere la frequenza di taglio da un fattore N, tende comunque a presentare del ringing al crescere di tale fattore in quanto si va ad ottenere lo stesso risultato di un'applicazione di un PB ideale. Il PB di Butterworth è definito come:

H(u,v) = 1 / (1 + (D(u,v)/D₀)²ⁿ)

Quindi, per il nostro scopo, utilizziamo il gaussiano che è definito come:

H(u,v) = e^{-(D2(u,v) / 2D₀2)}

Passa-alto per eliminare basse frequenze

Per eliminare le basse frequenze utilizziamo i filtri passa-alto, il cui risultato è quello di enfatizzare i dettagli e i punti di interesse nell'immagine. I PA sono ottenuti dall'equazione:

H(u,v) = ... (Il testo termina; l'equazione completa potrebbe trovarsi altrove nel documento originale)