Matematica - Esponenziali e Logaritmi

Espenziali: Intro

Sono funzioni esponenziali quelle che si presentano come y = a^x con a reale. Esempi:

• y = 2^x
• y = 3^x
• y = (1/2)^x
• y = π^x

Il numero reale a è detto base dell'esponenziale. Si esclude a = 1 perché si avrebbe y = a^x = 1, ∀x ∈ ℝ.

Nel descrivere le caratteristiche delle esponenziali conviene 0 < a < 1 vs. a > 1

• Funzioni strettamente positive (interamente sopra asse-x)
• Il grafico passa per (0,1)

Differenze:

• Gli esponenziali 0 < a < 1 sono strettamente decrescenti, quelli a > 1 sono crescenti.
• Comportamento simmetrico tra (1/a)^x e a^x.

Proprietà delle Potenze

• a^x · a^y = a^x+y
• a^x : a^y = a^x-y
• (a^x)^y = a^xy

• (a · b)ⁿ = aⁿ · bⁿ
• (a/b)^m = a^m/b^m

Equazioni esponenziali elementari

Le equazioni esponenziali elementari si presentano nella forma:

a^x = b con a > 0 e a ≠ 1

Quante soluzioni ci sono?

• Nessuna se b = 0 o negativo
• Unica soluzione se b > 0

a^x = b  ⇒  x = log_ab

• Es. 1:   2^x = 8    x = log₂8 = 3

• Es. 2:   3^x = ⅓  ⇒  3^x = 1/3¹  ⇒  3^x = 3^-1  ⇒  x = -1
• -3^x = 1/9  ⇒  x = log₃4/9

• Es. 3:   10 = 21    21 = 10???

• Es. 4:   5^3x = 3^-3    x = 8/3

• Es. 5:   9⁴ = 1/3   (3²)^x = 1/3²  ⇒  3^2x = 3^-2  ⇒  2x = 1/2  ⇒  x = -2
• 2^5-3x = 2^-3

Proprietà dei Logaritmi

1. _loga(xy) = _logax + _logay

   Dim: _logax = m y = ^ma

2. _loga(x/y) = _logax - _logay

   Dim: _logax = m _loga(x/y) = _logax - _logay

3. _logax^y = y _logax

   Dim: _logax = m y _logax = _logax^y

NB: Tutte le proprietà sono valide a condizione che la base > 0 e x = 1 e che gli argomenti siano tutti positivi.

NB2: Non farsi indurre in tentazione...

1. _loga(x+y)

2. Ess1: scrivere come unico log. _log56 + ¹/_{2 log5}3 + _log52

3. Ess2: scrivere come unico log. ¹/₂ (_logx + _logy) – 2 _log(x-y)

_logab = ^logc b / ^logc a

Es: _log413 = ²/₇ ^log4 7