Matematica, prima parte - funzioni

FUNZIONE

Una funzione f dall'insieme D in C è una legge che ad ogni elemento dell'insieme D fa corrispondere uno e un solo elemento dell'insieme C.

Insieme D su cui è definita f -> dominioInsieme C -> codominio

D ---f---> C

Si può anche indicare come: x|--------->f(x)

y = f(x) e C è l'immagine di x tramite f

INSIEME IMMAGINE DI f

Im f = f(D) = { y ∈ C | y = f(x) per un certo x ∈ D }

sottoinsieme del codominio che comprendegli elementi immagine del dominio

FUNZIONE INIETTIVA

f: D -> C si dice iniettiva se elementi distinti del dominiohanno (immagini distinte)

se due elementi del dominio sono diversi, anchele immagini sono diverse

∀ x₁,x₂∈D con x₁ ≠ x₂ => f(x₁) ≠ f(x₂)

D ---f---> C

non si può rendere iniettiva una funzione che non lo è

FUNZIONI SURRIETTIVE

F : D → C

Si dice suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di un elemento del dominio

L'insieme immagine è tutto il codominio

∀ y ∈ C ∃ x ∈ D, y = f(x)

Quindi: f è suriettiva ⇔ Imf = C

(immagini delle illustrazioni non trascritte)

Si può rendere suriettiva una funzione anche se non lo è

FUNZIONI DI NUMERI REALI DI VARIABILE REALE

Sia il dominio che il codominio sono sottoinsiemi di ℝ

F : D → R , D ⊆ R

D è il dominio naturale cioè il sottoinsieme più grande di R su cui ha senso l'espressione analitica della funzione

Si possono rappresentare graficamente

GRAFICO DI UNA FUNZIONE

F : D ⊆ R → R Il grafico di f (Graf(f)) è il sottoinsieme del piano costituito dai punti di coordinate (x, f(x)) con x ∈ D

Graf(f) = {(x, y) ∈ R × R : y = f(x), x ∈ D}

b ≠ 0

^α/_β x + ^γ/_β y + ^δ/_β = 0 → y = -^α/_βx - ^δ/_β → y = ax + b

Funzione lineare

b si dice intercetta

• ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse y

b = 0 retta passa x 0

a si dice coefficiente angolare

• pendenza della retta

a > 0 a < 0

Come si calcola il coefficiente angolare:

y = ax + b

Siano (x₁, y₁) e (x₂, y₂) punti che appartengono alla retta (se sulla retta, soddisfano le coordinate delle stesse uguaglianze)

y₁ = ax₁ + b

y₂ = ax₂ + b

Sottraiamo la prima equazione alla seconda

Osservazione: Se x_m e x_M sono punti di minimo e massimo assoluti allora

f(x_m) ≤ f(x) ≤ f(x_M)

f è limitata   Non può superare o andare   sotto al valore minimo

Composizione di funzioni

f: A → B

g: B → D

(g ∘ f)(x) = g(f(x))

f: A → B

g: C → D

D_{g ∘ f} = {x ∈ D_f | f(x) ∈ D_g}

x deve appartenere al dominio di f

f(x) deve anche appartenere al dominio di g

Esempio

f(x) = 1/x

g(x) = x - 7

D_f = {x ∈ ℝ | x ≠ 0} = ℝ/{0}

D_g = ℝ

y = 2xⁿ

*y = 2x²ⁿ⁺¹

Legge di una potenza

f(x) = α x^β

α, β ∈ ℝ

x > 0

Esempio

BMI = ^p/_h²

Considero la funzione BMI come funzione del solo peso che funzione ho? → Una retta → Funzione lineare

(la variabile è p)

y = ^C/₁ p

h² → costante

Considero la funzione BMI come funzione della sola altezza che funzione ho? → Funzione potenza

y = C ¹/_h²

peso h² → variabile

costante

Non confondere f^-1 e f^-1

f(x) = 2x + 1

¹⁄₃ y = f strettamente crescente ⇒ iniettiva ⇒ inversibile

f^-1 = ^{y - 1}⁄₂

TRASFORMAZIONI DI GRAFICI

TRASLAZIONI VERTICALI

(x) + 2 traslazione verticale al c

verso l'alto (grafico)

y = f(x) + c c > 0

f¹_x - 2 traslazione verticale verso il

basso di grafico (f)

y = f(x) - c verso il basso al c

Esempio: y = x² - 1

y = x²

f(x)

Funzioni Esponenziali

P(x) = a^x a > 0

a = 1 ⇒ F(x) = 1 ⇒ x ∈ ℝ

a > 1 F : ℝ ➝ (0, +∞) DF = ℝ Im F = (0, +∞) ⇒ a^x > 0 ∀ x ∈ ℝ

Strettamente crescente

0 < a < 1

Strettamente decrescente

F : ℝ ➝ (0, +∞) DF = ℝ Im F = (0, +∞) ⇒ a^x > 0 ∀ x ∈ ℝ

a^x ≠ a

Funzione potenza

L_p Funzione esponenziale

e = costante al Nepero ≈ 2,7

y = e^x Funzione esponenziale con base naturale

y = e^-x

Esempio legge esponenziale

• Capitale iniziale 1000 e
• Tasso annuo 1%
• Scrivere la legge che descrive il valore del capitale in funzione del tempo
• C(t) valore del capitale dopo t anni
• C(0) = capitale iniziale

C(1) = C(0) + ¹/₁₀₀ C(0)

C(2) = C(1) + ¹/₁₀₀ C(1) = C(0) ^{(1 + 1/₁₀₀)}(1 + ¹/₁₀₀)

= C₀ ^{(1 + 1/₁₀₀)2}

Data una popolazione che evolve con legge esponenziale e il k che in 10 anni diminuisce del 20%, calcolare dopo quanti anni si dimezza

y(t) = y(0) . e^kt ➔ k sarà negativo dato che la popolazione decresce

(y(10) = y(0) . e^10k) = 80 ➔ _y(0)¹⁰⁰ = 80, y(0) = ₄⁵y(0)

y(10) = y(0) . e^10k

➔ y(0) . e^10k = ₁⁵y(0) ➔ ln e^10k = ln (₄⁵) ➔ 10 k = ln (₁⁵)

k = ₁¹⁰ ln (₁⁵) è un valore negativo

Calcolare t tale che y(t) = ₁² y(0)

y(t) = y(0) . e^kt

➔ y(0) . e^kt = ₁²y(0) ➔ ln (ek^t) = ln (₁²)

⇒ kt = ₁^k) ln (₁²)

t = ₁^k ln (₁²)

Trovare i valori di x che risolvono:

₁⁾ 16^x = 4^x-2

(4²)^x = 4^x-2 ➔ 4^2x = 4^x-2 ➔ 2x = x-2 ➔ x = -2

Verifica 16^-2 = ₁⁴? (4²)^-2 = 4^-4 = 4^-1 ➔ 4^-1

Applicando i logaritmi

log₄ 16^x = log₄ (4^x-2)

x log₄ (16) = (x-2) log₄ (4)

₁⁾ x = (x-2) log₄ (4)

x log₄ 16 = 4 = 16 = 16^₁2, log₄ 4 = log₄ (16^₁2) = 1/2

➔ x = (x-2) ₁² ➔ 2x = x-2 ➔ x = -2

Alternativamente: pongo lo 0 (zero) nel 2009

y(t) = 100000 e^0,001

2019 -> calcolo y(10) = 10⁵ e^10∙0,001

1999 -> calcolo y(-10) = 10⁵ e^-10∙0,001