Matematica, prima parte - funzioni

Funzione

Una funzione f dall'insieme D in C è una legge che ad ogni elemento dell'insieme D fa corrispondere uno e un solo elemento dell'insieme C. Insieme D su cui è definita f → dominio. Insieme C → codominio. D -f-> C. Si può anche indicare come: x → f(x), y = f(x) e C immagine di x tramite f.

Insieme immagine di f

Imf = f(D) = {y è C, y = f(x) per un certo x è D} è un sottoinsieme del codominio che comprende gli elementi immagine del dominio.

Funzione iniettiva

f: D -> C si dice iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte. Se due elementi del dominio sono diversi anche le immagini sono diverse. ∀x₁, x₂ è D con x₁ ≠ x₂ → f(x₁) ≠ f(x₂). Non si può rendere iniettiva una funzione che non lo è.

Funzioni

Una funzione f dall'insieme D in C è una legge che ad ogni elemento dell'insieme D fa corrispondere uno e un solo elemento dell'insieme C. Insieme D su cui è definita f → dominio. f : D → C. Insieme C → codominio. Si può anche indicare come: x ∈ D → f(x) ∈ C, y = f(x) ∈ C immagine di x tramite f.

Insieme immagine di f

Im f = f(D) = {y ∈ C, y = f(x) per un certo x ∈ D} è un sottoinsieme del codominio che comprende gli elementi immagine del dominio.

Funzione iniettiva

f : D → C si dice iniettiva se elementi distinti del dominio hanno immagini distinte. Se due elementi del dominio sono diversi, anche le immagini sono diverse. ∀x₁, x₂ ∈ D con x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂). Non si può rendere iniettiva una funzione che non lo è.

Funzioni suriettive

F: D→C si dice suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di un elemento del dominio. L'insieme immagine è tutto il codominio. ∀y∈C ∃ x∈D. y = f(x). Quindi F è suriettiva ⇔ Imf = C. È suriettiva (ma non è iniettiva). Non è suriettiva. Si può rendere suriettiva una funzione che non lo è.

Funzioni da numeri reali a variabile reale

Sia il dominio che il codominio sono sottoinsiemi di R. F: D→R D⊆R. D è un dominio naturale cioè il sottoinsieme più grande di R su cui ha senso l'espressione analitica della funzione. Si possono rappresentare graficamente.

Grafico di una funzione

F: D→R. Il grafico di f (Grafc(f)) è il sottoinsieme del piano costituito dai punti di coordinate (x, f(x)) con x ∈ D. Graf(F) = {(x, y)∈R x R | y = f(x), x ∈ D}. Non può essere una funzione perché ad una x sono associati più y.

Criterio grafico per l'iniettività

∀x₁, x₂ ∈ D, x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂). Iniettiva: qualsiasi retta parallela all'asse x interseca il grafico in un unico punto. Non iniettiva: le rette intersecano il grafico in 2 o più punti. Criterio grafico: se ogni retta orizzontale parallela all'asse x interseca il grafico della funzione in esattamente un punto o non lo interseca affatto, allora la funzione è iniettiva ⇒ se esiste una retta orizzontale che interseca il grafico di f in due o più punti distinti, allora la funzione non è iniettiva.

Criterio grafico per la suriettività

f: D → R. ∀y ∈ R ∃ x ∈ D⟺ y = f(x). Se qualsiasi retta orizzontale interseca almeno in punto di y la funzione è suriettiva. Criterio grafico: una funzione è suriettiva se e solo se ogni retta orizzontale interseca il grafico della funzione in almeno un punto. Non è suriettiva. C'è un modo per renderla suriettiva? Sì, se la funzione la definisco come: f: D → [y_m, +∞]. Si modifica il codominio in modo tale che coincida con l'insieme immagine di f.

Funzione costante

f(x) = C, C ∈ ℝ per ogni x ∈ ℝ, la funzione associa sempre lo stesso valore. Graf(A) = {(x,y) y = f(x), x ∈ D}.

Funzione costante a tratti

Assume valori costanti in sottointervalli di D. f(x) = { 1 x > 2 0 x ∈ (-2, 2) -1 x

Funzioni lineari

f : ℝ → ℝ, y = ax + b, a,b ∈ ℝ. Il grafico è una retta non verticale. Eq. retta ax + by + γ = 0, a,b,γ ∈ ℝ. b = 0 ax + γ = 0 => x = - γ / a. equazione di una retta verticale // all’asse y.

P ( - γ / a ; y ) → tutti i punti hanno la stessa ascissa. β ≠ 0 -^α/_β x + y + -^γ/_β = 0. y = -^α/_β u -^γ/_β, a = -^α/_β.