Analisi matematica - potenza e logaritmi

Funzione potenza

Esponente intero. Siano m, n interi. Si ottiene: 1. yⁿ = x^n/m, n, m ∈ ℕ 2. radice, m^√x = x^1/m, m a denominatore 3. 1/xⁿ = x^-n Proprietà: 1^. x^m * xⁿ = x^m+n 2^. (x^m)ⁿ = x^m*n = x^n*m 3^. x^m/xⁿ = x^m-n 4^. (M * y)ⁿ = mⁿ * yⁿ Attenzione: (x*y)ⁿ ≠ xⁿ * yⁿ Se n*x² > 0 se x pari Se n*x² ≤ 0 se x dispari, x pari 5. ∑ cos(x) ⇒ xⁿ ≤ yⁿ ⇒ ≥ Grafico di funzione in potenza con n intero x³ pari x⁽³⁾ dispari

Funzione simmetrica rispetto all'asse delle ordinate (y)

• Crescente nell’intervallo [0;+∞)
• Decrescente nell’intervallo (-∞;0]
• Crescente se m₁ ≤ n₂ f(m₁) ≤ f(n₂)
• Decrescente se m₁ ≥ n₂ f(m₁) ≥ f(n₂)

∆q(m) = f(n)

Funzione potenza

Esponente intero:

Siano m, n ∈ ℤ

∀ x ∈ ℝ

xⁿ = x^n-1 ⋅ x,

n ≠ 0,

Base x ≠ 0,

x⁰ = 1

x^-n = ¹/_xⁿ ∀ x ∈ ℝ

√x ∈ ℝ

x^m ⋅ xⁿ = x^m+n

Proprietà:

1. (x^m)ⁿ = x^{m ⋅ n}

2. x^m ⋅ y^m = (x ⋅ y)^m

3. xⁿ = ¹/_x^1/n

4. (m⋅y)ⁿ = n ⋅ y^m = x^m = ¹/_m^-n

Attenzione:

(n ⋅ y)ⁿ ≠ nⁿ ⋅ yⁿ

Se n⋅n>0 se n è pari ∀ n ∈ ℝ

Se n²y → yⁿ < y

Grafico di funzione potenza con n intero:

"n"pari y = xⁿ

"n"dispari

y = xⁿ

funzione simmetrica rispetto all'asse y, simmetrica rispetto all'origine

funzione ordini x

crescente nell'intervallo (0; +∞)

decrescente nell'intervallo (-∞;0]

crescente se n₁ < n₂ f(m₁) ≤ f(m₂)

decrescente se n₁ < n₂ f(m₁) ≤ f(m₂)

∀ q(m) = f(¬n)

Funzione Pari

f(n) = f(-n)

Funzione Dispari

f(n) = -f(-n)

∀n ∈ ℝ

f(0) = -f(0) = 0

Tutte le funzioni dispari passano per zero (0,0)

Radici e n-esimo

n intero: o codici. inversa o decodifica. a potenza

\(\sqrt[n]{n^n} = (n^m)^{n/m} \)

\(y = \sqrt[n]{y^n} = y\)

\( \sqrt[n]{y^n} \leftrightarrow y \Leftrightarrow y^n = n \)

Se n è dispari

\(\sqrt[n]{n^n} = y\) ; \(y^n=n\)

\( \left\{ \begin{array}{c} y^n = n^n \\ -y^n = n^n \end{array} \right. \) se \(n \notin \mathbb{R}\) non distanti

Perchè sa una funzione

Potenza ad esponente frazionario

\(a^{b/c} \cong (a^b)^{1/c}\) con \(\large{a \in \mathbb{Z}}\)

a = \(\sqrt[3]{2} \sqrt[5]{2} \)= 2

a = \(\sqrt[3]{4} \)= 2

= \(\left( \frac{2^{5/2}}{2} \right)^{1/4} \)

Equazioni e disequazioni esponenziali

1. \(\sqrt[n]{a(n)} = b(n)\)

   • \(a(n) > 0\)
   • \(b(n) > 0\)
   • \(a(n) = [b(n)]^{n}\)
   • \(n\) pari e non nullo

2. \(\sqrt[n]{a(n)} = b(n)\)

   • \(a(n) = [b(n)]^{n}\)
   • \(n\) dispari

Esempio: \(\sqrt[3]{n+1} = -2\)

Definita \(\forall n \in \mathbb{R}\)

\(n+1 = (2)^{3}\)

\(n+1 = 8 \quad \Rightarrow \quad n = 9\)

Disequazioni (pari ed \(n\) pari non nullo)

1. \(\sqrt[n]{a(n)} \leq b(n)\)

   • \(a(n) \geq 0\)
   • \(b(n) \geq 0\)
   • \(a(n) \leq [b(n)]^{n}\)

2. \(\sqrt[n]{a(n)} > b(n)\)

   • \(a(n) > 0\)
   • \(a(n) > [b(n)]^{n}\)
   • 1. \(0
     2. \( 0

        n² + 9 < 0

        -n² + 16 - n² ≤ 0

        (4+n)(4-n)

        -4 < n < 4 ^n/k 4

        Funzioni esponenziali

        Funzioni di potenza

        Funzione esponenziale

        1.

        _a¹ = a

        2.

        _aⁿ = _aⁿ ∀ n ∈ ℝ

        Se a ≥ 0 e n ∈ ℕ a² > 0

        Se a ≤ 0 e n ∈ 2ℕ a^r = a^n-1({a}^n)' > 0

        3.

        _aⁿ × _aⁿ = _aⁿ × _aⁿ

        4.

        _(aⁿ)¹ = _aⁿ

        5.

        _a^n-y = _aⁿ / _a^y

        6.

        _a^n-r = _{1 / a^m-r}(a)^{1/n} &neq; 0

        8.

        8.1. Se 0 < a < 1 allora se n > y allora _aⁿ > _a^y

        8.2. Se a > 1 allora se n > y → _{a^{2(a)(1 logan > logay (>= decres)}}

     3. 6.2 Se a > 1 allora o x y => log_an < log_ay (cresc)

0 < ^y⁄_n < 1

delucidante

∀ _n1 ∈ ℝ, log_an₁ ≥ log_an₂

Equazioni esponenziali e logaritmiche

Metodo algebrico

• Incognita all'esponente

1. a^(f(n)) = b^(g(n))
1. (stessa base) ⇒ f(n) = g(n) Eq. algebrica
2. (stesso esponente) ⇒ f(n) = 0 Eq. algebrica
2. a^(f(n)) = a^(g(n))
1. (stesso esponente) ⇒ f(n) = g(n)

(usi le proprietà dei log) ⇒ f(n) log_a = g(n) log_b Eq. algebrica

Esercizio:

n + 2. 2n - 1 =5 = 0n = 3 = 0 n = 3n = era

Esercizio

³⁄_uⁿ + ^u⁄₃ⁿ = ²⁵⁄₁₂

³⁄_uⁿ + ³⁄_u^-n = ²⁵⁄₁₂

³⁄_u²ⁿ + ³⁄_u⁰ = ²⁵⁄₁₂ [3⁄u]ⁿ

³⁄_u²ⁿ - ²⁵⁄₁₂[3⁄u]ⁿ + 1 = 0

[³⁄_u]ⁿ = t

t² - ²⁵⁄₁₂t + 1 = 0

t² - 25t + 12 = 0

Δ = 625 - 576 = 49

t_1,2 = ^{25 ± √49}⁄_2u = ^{25 ± 7}⁄₂₄

³²⁄₂₄ = ^u⁄₃

¹⁸⁄₂₄ = ³⁄₈

1. [³⁄_u]ⁿ = ^u⁄₃ => n = 1
2. [³⁄_u]ⁿ = ³⁄_u => n = 1

Esercizio

^{2 + √16}⁄_{1 - √16} = ¹⁄₂

^{2 + 2√n}⁄_{1ⁿ * 2^√2n} = ¹⁄₂

e ²⁄_{u + 2t} = t

^{2 + 2√n}⁄_{u - t} - ¹⁄₂ => ^{2 + t(2)}⁄_2(u-t) = (^{u - t}⁄₂)

2t + t = 10 = 0

Δ = x + 80 - 81

t = ^{u + 9}⁄₄ - ⁹⁄₂

Equazioni Logaritmiche

log_a f(n) = log_a g(n) <=> f(n) = g(n)

• f(n) > 0
• g(n) > 0

non si possono calcolare log dei numeri negativi o zero

n² + u > 0 ∀ n ∈ ℝ

5n > 0 n > 0

Esercizio 1

log (n² + u) = log 5n

n² + u = 5n

n² - 5n + u = 0

n = 5 ± √9 / 2

n₁ = 1 ok

n₂ = 4 ok

log (n²-1) / log (2n-n²) = 1/2

m² - 1 > 0

2n - n² > 0

log (2n-n²) ≠ 0

(n+1)(n-1)>0

(∀n-1)(∪) (∀2-n)(∪2,n,n) > 0

2-1 n ≠≥ 1

n² - 1 > 0