Esercizio 6 prova 15 Gennaio 2018

₀∫^log(2)₁∕(e^x+2) dx

Integrale per sostituzione

u = 2x du = 2dx

estremi d'integrazionex=0 → u=0x=log(2)_∕2 → u=log(2)

Quindi

₀∫^log(2)₁∕(e^u+2) du

Integrale per sostituzione

s = e^u ds = e^u du

estremi d'integrazioneu = 0 → s = 1u = log(2) → s = e^log(2) = 2

₁∕₂∫²₁1∕(s+2)∕s ds

* N.B. Calcolo della decomposizione della frazione

1∕(s(s+2)) = 㮁∕(s) + 㮂∕(s+2)

(Si moltiplicano entrambi i membri per s(s+2) poi si semplifica)

1 = 㮁(s+2) + 㮂(s)→ 1 = 2㮁 + (㮁+㮂)s→ 1 = 2㮁 → 㮁 = ∕20 = 㮁+㮂 → 㮂 = -∕2

∫₀^log(2) 1/(e^x+2) dx

Integrale per sostituzione

u = 2xdu = 2 dx

estremi di integrazionex = 0 → u = 0x = log(2)/2 → u = log(2)

Quindi

∫₀^log(2) 1/(e^x+2) dx = 1/2 ∫₀^log(2) 1/(e^u/2+2) du

Integrale per sostituzione

s = e^uds = e^udu

estremi di integrazioneu = 0 → s = 1u = log(2) → s = e^log(2) = 2

1/2 ∫₁² 1/((s+2)s) ds

* Nota Calcolo della decomposizione della frazione

1/(s(s+2)) = Θ₁/s + Θ₂/(s+2)

(Si moltiplicano entrambi i membri per s(s+2) poi si semplifica)

1 = Θ₁(s+2) + Θ₂s=> 1 = 2Θ₁ + (Θ₁ + Θ₂) s=> 1 = 2Θ₁0 = Θ₁ + Θ₂=> Θ₁ = 1/2Θ₂ = -1/2

INTEGRALI PER SOSTITUZIONE

Gli integrali per sostituzione sono integrali da calcolare mediante il metodo di sostituzione. Si passa ad una nuova variabile indipendente mediante una sostituzione del tipo t = g(x), in modo da semplificare la funzione integranda e gli estremi di integrazione.

INTEGRALI DEFINITI PER SOSTITUZIONE

• Data una funzione f: I → ℝ e una funzione g: J → I derivabile, vale la prima formula del metodo di sostituzione

(prima forma) ∫_d^β f(g(t)) g'(t) = ∫_g(a)^g(b) f(x) dx

Nel caso in cui la funzione g sia anche invertibile

• (seconda forma) ∫_a^b f(x) dx = ∫_g^-1(a)^g-1(b) f(g(t)) g'(t) dt

Come esempio calcoliamo∫₀^log(2) (1)/(e^x+2) dx