Esercizio 6 prova 15 Gennaio 2018

Integrale per sostituzione

₀∫^log(2)₁∕(e^x+2) dx

Integrale per sostituzione

u = 2x du = 2dx

Estremi d'integrazione

x = 0 → u = 0

x = log(2)_∕2 → u = log(2)

Quindi

₀∫^log(2)₁∕(e^u+2) du

Integrale per sostituzione

s = e^u ds = e^u du

Estremi d'integrazione

u = 0 → s = 1

u = log(2) → s = e^log(2) = 2

₁∕₂∫²₁1∕(s+2)∕s ds

N.B. Calcolo della decomposizione della frazione

1∕(s(s+2)) = 㮁∕(s) + 㮂∕(s+2)

(Si moltiplicano entrambi i membri per s(s+2) poi si semplifica)

1 = 㮁(s+2) + 㮂(s) → 1 = 2㮁 + (㮁+㮂)s

→ 1 = 2㮁 → 㮁 = ∕2

0 = 㮁+㮂 → 㮂 = -∕2

∫₀^log(2) 1/(e^x+2) dx

Integrale per sostituzione

u = 2x

du = 2 dx

Estremi di integrazione

x = 0 → u = 0

x = log(2)/2 → u = log(2)

Quindi

∫₀^log(2) 1/(e^x+2) dx = 1/2 ∫₀^log(2) 1/(e^u/2+2) du

Integrale per sostituzione

s = e^u

ds = e^udu

Estremi di integrazione

u = 0 → s = 1

u = log(2) → s = e^log(2) = 2

1/2 ∫₁² 1/((s+2)s) ds

Nota: calcolo della decomposizione della frazione

1/(s(s+2)) = Θ₁/s + Θ₂/(s+2)

(Si moltiplicano entrambi i membri per s(s+2) poi si semplifica)

1 = Θ₁(s+2) + Θ₂s => 1 = 2Θ₁ + (Θ₁ + Θ₂) s => 1 = 2Θ₁

0 = Θ₁ + Θ₂

=> Θ₁ = 1/2

Θ₂ = -1/2

Integrali per sostituzione

Gli integrali per sostituzione sono integrali da calcolare mediante il metodo di sostituzione. Si passa ad una nuova variabile indipendente mediante una sostituzione del tipo t = g(x), in modo da semplificare la funzione integranda e gli estremi di integrazione.

Integrali definiti per sostituzione

Data una funzione f: I → ℝ e una funzione g: J → I derivabile, vale la prima formula del metodo di sostituzione

(prima forma) ∫_d^β f(g(t)) g'(t) = ∫_g(a)^g(b) f(x) dx

Nel caso in cui la funzione g sia anche invertibile

(seconda forma) ∫_a^b f(x) dx = ∫_g^-1(a)^g-1(b) f(g(t)) g'(t) dt

Come esempio calcoliamo

∫₀^log(2) (1)/(e^x+2) dx