Esercizi su integrali curvilinei, forme differenziali

ESERCIZI SU INTEGRALI CURVILINEI E FORME

DIFFERENZIALI [ ]

1

( )

( )

2

( )= ∈

φ t t , log 1−t ,t 0,

Si calcoli la lunghezza della curva cartesiana .

2

( )

2 t

' ( ) =

φ t 1,−

Innanzitutto, si calcola la derivata della curva, ossia , e quindi,

2

1−t

considerando che il modulo della derivata di una curva cartesiana è

√

| |

| | 2

( ) ( )=f

' ' (t )

, con della curva, essa è uguale, per la curva in

y t

( ) ( )

=

φ t 1+ f t 2

1+ t

questione, a , la radice si annulla e i moduli sono uguali ai valori stessi

2

1−t

poiché l’intervallo risulta positivo, quindi si fa l’integrale:

1 1

b 2 2 1

2 −1

1+t 2

| |

| |

∫ ∫ ∫ [ ]

' 2

( ) ( ) ( )−log ( )

=L = = −1+ = +

φ t dt φ dt dt log 1+t 1−t 0

2 2 2

1−t 1−t

a 0 0

−1 + log 3

Che è uguale a .

2 ( )

2 3

Ora si prenda la curva , si calcoli la sua lunghezza. Va

( )= ∈[−1,1]

φ t t , t ,t 2

innanzitutto calcolato , uguale a , quindi si fa il modulo della

φ '( t) (2 )

t , 3 t 1 √

∫

√ 2

derivata, uguale a , quindi si fa l’integrale per

2 ¿ ∨

t 4+ 9t dt

¿ t∨ 4+ 9 t −1

scoprire la lunghezza, ma si nota da subito che la funzione integranda è pari e

l’intervallo è simmetrico, quindi si fa il doppio dell’integrale da 0 a 1 e si

elimina il modulo, essendo la funzione positiva nell’intervallo, diventando

1 3

2

√

∫ 2 α 2

, che può essere del tipo , il risultato è .

( )

2 t 4+ 9t dt [13 −8]

∗f (x)

f x ' 27

0 ❑ x

∫ ds

Si calcoli ora l’integrale curvilineo sulla curva

2

1+ y

φ

π

( )=( ) ∈[0, ]

φ t cos t ,sin t ,t . Ricordando che la formula del calcolo di un integrale

2

❑

∫ ( )

f x , y ds

curvilineo è:

φ

b | |

| |

∫ ( ) '

( ) ( )

f φ t φ t dt

a

Considerando che la norma della derivata della curva è uguale a 1, l’integrale

π ' ( )

f x π

2 π

cos t 2

[ ]

finale sarà , che è del tipo , quindi viene .

∫ =

arctan x

dt 2

[ ] 0

( ) 4

1+ f x

2

1+ sin t

0

Date due rappresentazioni parametriche della stessa curva (ad esempio

( ) e sono la stessa curva, ma con verso di percorrenza

(sin )

cos t ,sin t t , cos t

diverso), l’integrale curvilineo resta quello (così come la lunghezza

ovviamente), intuibile dall’interpretazione geometrica di integrale curvilineo.

❑

∫ ( )

+

x y ds

Adesso si voglia calcolare l’integrale curvilineo , con la frontiera

φ

γ

( ) ( )

del triangolo di vertici , si veda subito il sostegno:

0, 0 , 0, 1 ,(1, 0)

La curva è regolare a tratti, quindi l’integrale si può dividere lungo i tre diversi

cammini che rappresentano i lati del triangolo, quindi:

❑ ❑ ❑ ❑

∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( ) ( )

+ +

x y ds= x y ds+ x+ y ds+ x+ y ds

γ γ γ γ

1 2 3 [ ]

( ) ∈

γ : t ,0 , t 0,1

Si possono rappresentare parametricamente i tre cammini: ,

1

| | | | | | √

' ' '

( ) ( )

∈[0, ∈[0,1]

γ : 0, t , t 1] γ : t ,1−t , t

, , . Quindi il risultato

= =1, =

γ γ γ 2

2 3 1 2 3

dell’integrale è:

1 1 1

❑ 12 12

∫ ∫ ∫ ∫

√ √ √

( )

+ (t +1−t )dt= + +

x y ds= tdt+ tdt+ 2 2=1+ 2

γ 0 0 0

Adesso si voglia calcolare l’integrale curvilineo

√

❑ 2 2

y y

∫ 2 2 . Il modulo della curva

( ) ( ) ∈[0,

+ + =1→ ]

4 x ds , γ : x γ t : cos t , 2 sint , t 2 π

4 4

γ √

derivata è , così come la funzione calcolata sulle coordinate

2 2

+4

sin t cos t

della curva, quindi, dalla definizione di integrale curvilineo, si avrà:

2 π 2 π 2 π 2 π

∫ ∫ ∫ ∫

2 2 2 2 2 2

(sin )dt= (4 +4 )dt=4

t+ 4 cos t sin t cos t−3 sin t dt−3 sin t dt

0 0 0 0

1−cos 2 t

2

sin t=

Ricordando che , il tutto viene:

2 [ ]

2 π 2 π

( )

1 cos 2 t sin 2 x

∫

−3 − −3 =5 −0=5

8 π dt=8 π−3 π π π

2 2 4 0

0 ❑ √

∫ ( )

2 2 t

( ) ∈[0,

− +1 ]

x y ds , γ t ; e , sin t ,t π

Si voglia calcolare l’integrale curvilineo . Il

γ

procedimento è analogo all’esercizio di prima: sia la radice dell’integrando che

quella del modulo della curva derivata si eliminano facendo il prodotto e alla

2 π −1+

e π

fine il risultato viene .

2 ( ) ( ) ∈[0, ]

Adesso si prenda la curva , può essere

φ t : t−sin t ,1−cos t , t 2 π

rappresentata tramite l’ascissa curvilinea? Si sa dalla definizione di ascissa

t | |

∫ '

( )= ( ) ∀

curvilinea che , la derivata della curva è (t): (1−cos

s t φ τ dτ , t φ ' t , sin t)

0 t ¿

1−cos

¿

, mentre il suo modulo è . Quindi per definizione

¿

2

| | √

| | 2

' 2

( ) ( )

= +sin ¿

φ t 1−cos x x= √

t

∫ √

( )=

l’ascissa curvilinea è , tenendo presente che

)dτ

s t 2(1−cos τ

0 τ

2

1−cos τ=2 sin

2 , allora , quindi il tutto è uguale a

=1−cos

2 sin t 2 t 2

√ √

t t

τ τ

∫ ∫

2 2 , e dato che l’intervallo è positivo, si può trasformare

=2

4 sin dτ sin dτ

2 2

0 0

la radice del quadrato nel semplice seno, quindi

[ ]

t t

τ τ t

∫ . Ma da qui si vuole esplicitare la per

=4 −cos =4−4 t

2 sin dτ cos

2 2 2

0

0

poterla sostituire nella curva con l’ascissa curvilinea, si ha che

t t s

( )=4 (1−cos ) =1−

s t cos

, quindi , adesso si inverta il coseno, operazione

2 2 4

∈[0,2 ]

t π

possibile poiché per , si hanno gli estremi calcolati in uguali

s

[ ]

rispettivamente a 0 e 8, quindi , il coseno è invertibile poiché il

s : 0, 2 π →[0, 8] ( )

s

t=2 arccos 1−

suo argomento è compreso fra 0 e , quindi .

π 4

[ ] ( )

( )=φ ( )

∀ ∈

Ricapitolando, , quindi:

s 0,8 →ψ s t s

{ ( )

4−s 4−s

( ) =2 −sin

x s arccos 2 arccos

4 4 ∈[0,

ψ : , s 8]

( )

4−s

( )=1−cos

y s 2 arccos 4

Ricordando che il suo vettore tangente ha modulo unitario.

FORME DIFFERENZIALI IN DUE VARIABILI

Date due funzioni e definite in un insieme aperto di

A

a( x , y) b( x , y)

( ) ( )

2 +b

, è detta forma differenziale definita in , indicata

a x , y dx x , y dy A

R

con , le due funzioni sono dette coefficienti, essa è il risultato del prodotto

ω