Esercizi su integrali curvilinei, forme differenziali

Esercizi su integrali curvilinei e forme differenziali

Calcolo della lunghezza della curva cartesiana

Si consideri la curva data dalle seguenti equazioni parametriche: \( \phi(t) = (t^2, \log(1-t), t) \) con \( t \in [0, 1] \). Si calcoli la lunghezza della curva cartesiana.

Innanzitutto, si calcola la derivata della curva, ossia \( \phi'(t) = (2t, \frac{-1}{1-t}, 1) \). Considerando che il modulo della derivata di una curva cartesiana è \(\sqrt{|f'(t)|^2}\), per la curva in questione, essa è uguale a \(\sqrt{4t^2 + \left(\frac{1}{1-t}\right)^2 + 1}\).

Poiché l’intervallo risulta positivo, si fa l’integrale:

\[ L = \int_{0}^{1} \sqrt{4t^2 + \left(\frac{1}{1-t}\right)^2 + 1} \, dt \]

Che è uguale a:

\[ L = \log(1 + t) - \log(1 - t) + \log 3 \]

Il risultato è \(\log(3)\).

Calcolo della lunghezza della curva \(\phi(t) = (t^2, t, t^3)\)

Ora si prenda la curva \(\phi(t) = (t^2, t, t^3)\), con \( t \in [-1, 1] \), e si calcoli la sua lunghezza. Va innanzitutto calcolato \(\phi'(t) = (2t, 1, 3t^2)\), quindi si fa il modulo della derivata, uguale a \(\sqrt{4t^2 + 1 + 9t^4}\).

Si fa l’integrale per scoprire la lunghezza:

\[ \int_{-1}^{1} \sqrt{4t^2 + 1 + 9t^4} \, dt \]

Ma si nota da subito che la funzione integranda è pari e l’intervallo è simmetrico, quindi si fa il doppio dell’integrale da 0 a 1:

\[ 2 \int_{0}^{1} \sqrt{4t^2 + 1 + 9t^4} \, dt \]

Essendo la funzione positiva nell’intervallo considerato, il risultato è \( \frac{13}{2} - 8 \).

Calcolo dell'integrale curvilineo

Si calcoli ora l’integrale curvilineo sulla curva \(\phi(t) = (\cos t, \sin t, t)\) con \( t \in [0, \pi]\). Ricordando che la formula del calcolo di un integrale curvilineo è:

\[ \int_a^b f(\phi(t)) |\phi'(t)| \, dt \]

Considerando che la norma della derivata della curva è uguale a 1, l’integrale finale sarà:

\[ \int_0^\pi \cos t \, dt = \sin t \Big|_0^\pi = 0 \]

Rappresentazioni parametriche

Date due rappresentazioni parametriche della stessa curva, ad esempio, \(\phi(t)\) e \(\psi(s)\) sono la stessa curva, ma si possono avere diverse espressioni parametriche per rappresentarla.