Appunti di teoria: forme differenziali, Gauss-Green, Stokes, Integrali curvilinei e superficiali

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Author: martimelis

Revisionato il 04/09/2026

di martimelis

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Appunti da me scritti seguendo le lezioni ed approfondendo gli argomenti da vari libri e altre fonti. Appunti basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni della prof. Marras …

Esame Analisi matematica 2

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Marras Monica

Università Università degli Studi di Cagliari

A.A. 2016-2017

56 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Funzioni di classe C1

Domini dell’integrale triplo

Il dominio V si definisce normale rispetto al piano xy se si può così descrivere:

(x,y) ∈ D normale in R² → es: paraboloide tagliato da piano

α(x,y) ≤ z ≤ β(x,y) → z compreso tra due funzioni.

Inoltre, qualunque coppia (x,y) incontra prima la superficie minore e poi la maggiore.

L’integrale triplo

Sia f(x,y,z) una funzione limitata in un insieme V, considero il parallelepipedo.

V = (a,b) x (c,d) x (e,f)

Decompongo in “intervallini” regolarmente:

[a,b], [c,d], [e,f]

Ed ottengo Iₘ = [x₀=a, ..., xₘ=b], Iₘ [y₀=c, ..., yₘ=d], Iₖ=[z₀=e, ..., zₖ=f].

Il prodotto cartesiano Iₘ x Iₘ x Iₖ individua il generico parallelepipedo Vₘ,ₘ,ₖ.

Funzioni di classe C1

Domini dell’integrale triplo

Il dominio V si definisce normale rispetto al piano xy se si può così descrivere:

(x,y) ∈ D normale in IR² → z compresa tra due funzioni.

α(x,y) ≤ z ≤ β(x,y)

Es: paraboloide tagliato da piano.

Inoltre, qualunque coppia (x,y) incontra prima la superficie minore e poi la maggiore.

L’integrale triplo

Sia f(x,y,z) una funzione limitata in un insieme V, considero il parallelepipedo.

V = (a,b) x (c,d) x (e,f)

Decompongo in “intervallini” regolarmente:

[a,b], [c,d], [e,f] in m, m, k.

Ed ottengo I_m = [x₀=a, …, x_m=b], I_m [y₀=c, …, y_m=d], I_k [z₀=e, …, z_m=f].

Il prodotto cartesiano I_m x I_m x I_k individua il generico parallelepipedo V_m,m,k.

Definiamo le somme superiori ed inferiori

Somme superiori = S(f,V) = Σ mis V_n,m,k • max f(x,y,z)

Somme inferiori = s(f,V) = Σ mis V_n,m,k • min f(x,y,z)

All’infinito della decomposizione in intervallini le somme superiori decrescono, mentre le somme inferiori crescono.

Se queste convergono ad uno stesso valore, tale valore è detto integrale triplo di f(x,y,z) in V.

lim s(f,V) = lim S(f,V) ⟹ allora esso è ∭_V f(x,y,z) dx dy dz

Come si risolvono gli integrali tripli

Se un doppio destutara il prodotto di due semplice, l’integrale triplo si riduce al prodotto di un integrale doppio per un’integrale semplice:

Sia f(x,y,z) integrabile in un dominio normale V.

Allora:

∭_V f(x,y,z) dx dy dz = ∬_D dx dy ∫_α(x,y)^β(x,y) dz • f(x,y,z)

Formula di riduzione di un integrale triplo

Ora vediamo come si modifica la struttura della riduzione secondo che il dominio D sia:

Normale rispetto all’asse x
Normale rispetto all’asse y
Completamente normale

Dominio normale rispetto all’asse x

V = { _{a ≤ x ≤ b} _{α(x) ≤ y ≤ h(x)} _{d(x,y) ≤ z ≤ β(x,y)} }

∫∫∫ f(x,y,z) dx dy dz = = ∫_a^b dx ∫_f(x)^β(x,y) dy ∫_d(x,y)^f(x) F(x,y,z) dz

Esempio

V = { _{1 ≤ x ≤ 2} _{3x ≤ y ≤ 5x} _{3xy ≤ z ≤ 4x y} }

f(x,y,z) = 4x + 3y + z

∫∫∫ (4x + 3y + z) dx dy dz = = ∫₁² 4x dx ∫_3x^5x 3y dy ∫_3xy^{4x y} (4x + 3y + z) dz

Dominio normale rispetto all’asse y

V = { _{c ≤ y ≤ d} _{g(y) x ≤ h(x,y)} _{d(x,y) ≤ z ≤ β(x,y)} }

∫∫∫ f(x,y,z) dx dy dz = = ∫_c^d dy ∫_g(y)^h(y) dz ∫_α(x,y)^β(x,y) F(x,y,z) dz

Dominio polarmente normale

θ₁ ≤ θ ≤ θ₂

V = { _{r(θ) x ≰ r(θ)} }

∫∫∫ f(x,y,z) dx dy dz = = ∫_θ₁^θ₂ dθ ∫_r(θ)^ρ(θ) ρ dρ ∫_α(r,θ)^β(r,θ) f(r,θ,z) dz

Ove α(x,y) = α(ρ,θ)

β(x,y) = β(ρ,θ)

F(x,y,z) = F(ρ,θ,z)

dx dy dz → ρ dρ dθ dz

Significati geometrici

Con il passaggio da integrali semplici, a doppi fino all’integrale triplo, quello che abbiamo fatto è noto aumentare di una dimensione per ogni incremento di integrazione, così facendo siamo passati dalla descrizione di una dimensione alla descrizione di spazi tridimensionali, andando a definire i vari significati geometrici:

∫ Variabile e 1 dimensione - Area

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