Appunti di teoria: forme differenziali, Gauss-Green, Stokes, Integrali curvilinei e superficiali

Funzioni di classe C₁

Domini dell'integrale triplo

Il dominio V si definisce normale rispetto al piano xy se si può così descrivere:

(x,y) ∈ D normale in R²

α(x,y) ≤ z ≤ β(x,y)

Es: Paraboloide tagliato da piano

Inoltre, qualunque coppia (x,y) incontra prima la superficie minore e poi la maggiore.

L'integrale triplo

Sia F(x,y,z) una funzione limitata in un insieme V, considero il parallelepipedo

V = (a,b) x (c,d) x (e,f)

decompongo in "intervallini" regolarmente

• x: [a,b]
• y: [c,d]
• z: [e,f]

ed ottengo I_m = [x₀=a, ..., x_m=b], I_m [y₀=c, ..., y_m=d], I_k [z₀=e, ..., z_m=f].

Il prodotto cartesiano I_m x I_m x I_k individua il generico parallelepipedo V_m,m,k

DEFINIZIONE DI SOMME SUPERIORI ED INFERIORI

SOMME SUPERIORI:

S(f,V) = Σ mis V_n,m,k • max f(x,y,z)

SOMME INFERIORI:

s(f,V) = Σ mis V_m,n,k • min f(x,y,z)

All'aumentare della denominazione in intervallini le SOMME SUPERIORI

DECRESCONO mentre le SOMME INFERIORI CRESCONO.

Se queste convergono ad uno stesso valore, tale valore è

detto INTEGRALE TRIPLO di f(x,y,z) in V.

lim s(f,V) = lim S(f,V) allora esso è

∯ f(x,y,z) dx dy dz

COM'È SI RISOLVONO GLI INTEGRALI TRIPLI:

• Se un doppio descritto il prodotto di due semplici, l'integrale triplo si riduce al prodotto di un integrale doppio per un integrale semplice:

Sia f(x,y,z) integrabile in un dominio normale V

Allora:

∯ f(x,y,z) dx dy dz = ∮ dx dg ∮ dz • f(x,y,z)

FORMULA DI RIDUZIONE DI UN INTEGRALE TRIPLO

Ora vediamo come si modifica la struttura della riduzione

secondo che il DOMINIO D sia:

NORMALE RISPETTO ALL'ASSE X

NORMALE RISPETTO ALL'ASSE Y

PARZIALMENTE NORMALE

Esempio

(x,y) t.c.   x² + y² ≤ 1

0 ≤ z ≤ √(1-x²-y²)

Sono nella parte +

∬_D (x² + y²) dz = ∬_D (x² + y²) dx dy ∫₀^√1-x2-y2 z dz

Coordinante Cilindriche

x = ρcosθ

y = ρsenθ

0 ≤ ρ ≤ 2π

z = z

ρ = √(x² + y²)

det J = ρ

∬_Σ 1   ρ dρ   ∫_z z dz = 1/4 [2π - 0] ∫₀¹ ρ (1 - ρ²) dρ =

= (π/2)^{[ 1 ]₀   [ρ4/4][ 1 ]₀ =   π(1/2 - 1/4) = π(2-1)/4 = π/4}

NB: Abbiamo detto che per l'integrale triplo non vi è un vero e proprio significato geometrico, ma possiamofare delle considerazioni interessanti.

Se la funzione integranda g(x,y,z) = 1L'integrale triplo su questa funzione può essere considerato la misura dell'ampiezza.

Quando andrò a calcolare la lunghezza della curva come∫_Σ dΣ     anch'esso rappresenta un'ampiezza

∫₀^2π 3√cos(2t)·sen(t) dt = 3 ∫₀^2π (cos × sen t) dt =

= 1/3 ∫ √| sen 2(t) | dt

→ siccome tra 0 / π₁^{sen 2(t)} ≠ 0 uso quell'intervallo, ma per forza devo tirar fuori una costante

= 3/1 ∫ sen t dt = 6 · ∫₀^π sen 2t dt =

= 6/x ∫ sen (2t) dt - 3 [-cos 2t]^π₀ =

= 3 [-cos 2(0) + cos 2(π/2)] = [-3cos(2t)]^π₀

= [-3cos 0 - (-3cos × (π/2))] = = (3(1) - (-3(-1)) =

= -(-3-3) = 0

una APERTA o chiusa. una curva si dice chiusa se

r̅(t) = {x = x(t) y₀ = y(t)}t ∈ [a,b] ∈ r̅(a) = r̅(b) x_a = x_b y_a = y_b

(neg(a)) (x(b),y(b))

ES

f(x,y) = ∫_γ ^{y2 + x}/_{8 + x²} ds

γ è l'unione dei lati di un triangolo con vertici

• A (1,0)
• B (0,1)
• C (0,-1)

γ = γ₁ + γ₂ + γ₃ → regolare a tratti

• γ₁ = (1,0) ∪ (1,1) → (x, 1-x)
• γ₁ = [t, 1-t] → 0 ≤ t ≤ 1 - γ₁
• X=0 → [0, t] → -1 ≤ t ≤ 1 - γ₂
• y = x-1 → [t, t-1] 0 ≤ t ≤ 1 γ₃

∫_{γ1 ∪ γ2 ∪ γ3} → - ∫ from 0 to 1 - ∫ from -1 to 1 + ∫ from 0 to 1

Sfruttando la proprietà di additività del dominio.

L'AREA DI UNA SUPERFICIE Σ

Sia Σ una superficie regolare, si definisce area della superf.

Σ il numero reale non negativo definito da

S = ∬_A ||r_u ∧ r_v|| du dv = ∬_A √(A² + B² + C²) du dv

Con A, B, C componenti del prodotto vettoriale →

cos’è dΣ? L’elemento infinitesimo di area

Se Σ: z in FORMA CARTESIANA

z = F(x,y) → x, y ∈ D

L'area di Σ è

∬_D √(1 + F_x² + F_y²) dx dy

Se la superficie Σ è data in forma implicita

F(x, y) = 0

con F_z = 0, per il teorema del Dini è localmente esplicitabile

in z = f(x,y).

L'area di Σ in questo caso è

S = ∬_D √(1 + (F_x/F_z)² + (F_y/F_z)²) dx dy

coordinate polari

1 < ρ < √2

0 < θ < 2π

ρ = x² + y²

jacobiano

=

∫₀^2π dθ ∫₁^√2 √1 + 4ρ² ρ dρ =

= ^π/₆ [ (1 + 4(√2)²)^3/2 - (1 + 4)^3/2 ] =

= ^π/₆ [ 27 - 5√5 ]

Esempio:

Calcolare ∬_D dxdy _1/√(1-x²)

con D: = {  xy≤1/4  x≥y  0≤y≤√3/2 }

F(x,u) = 1/√(1-x²) = arcsin x

∬_D dxdy _1/√(1-x²) = ∫ arcsin x dy _+FD

con +FD= ƴ₁∪ƴ₂∪ƴ₃

ƴ₁: x=√3/2 [ √3/6 ≤ y ≤ 1/2] → dy=0

ƴ₂: y=x [1/2 ≤ x ≤ √3/2] → dg=d(x)=1dx → da percorrere al contrario

ƴ₃: y=1/4x [1/2 ≤ y ≤ √3/2 ] → dy=-1/4x

Quindi le ƴe danno da contributo.

∫_ƴ1 arcsin x dy = 0

∫_ƴ2 arcsin x dg = ∫ arcsin x dx = -| x arcsinx-∫_1/2^√3/2 x/√1-x² dx |

= -| x arcsinx - √1+x²_√3/2^1/2 - √3/2 . arcsin √3/2 + √1+3/4 +

- √2 arcsin 1/2 +√1+1/4 | = [ √3/2 π/6 + 1/2 1/4 + 1/3 - √3/2 ]

ƴ₃⇒ ∫_ƴ3 arcsin x dg = ∫_√3/2 arcsin x - (-1/4_x dx)

= -∫_ƴ2 arcsin x/4g dy = y arcsin y 1/4 - ∫ y 1/√1-y² (-1/4y²) dy =

Esempio:

Calcola il flusso del campo F uscente dalla superficie T:

F = (1, x² y, y² z), T: {(x, y, z) ∈ ℝ³ | 2√x²+y² ≤ z ≤ 1 + x²+y²}

1º mi calcolo il vettore div F, che so è il vettore avente come componenti la derivate parziali rispetto a x, y, z sommate tra loro.

div F = f_1x + f_2y + f_3z = (0, x², y², 1) = (0 + x² + y²)

Quindi il flusso del campo F sarà dato:

∬ x² + y² dx dy dz

Ora individuiamo T:

Parametrizzazione:

• x = ρ cos θ
• y = ρ sen θ

√x²+y² ≤ z ≤ 1 + x² + y²

2√ρ² ≤ z ≤ 1 + ρ²

0 ≤ θ ≤ 2π

F(x, y, z) = x² + y²

2ρ ≤ 2 / 1 + ρ²

ρ² + 2ρ - 1 = 0

(ρ - 1)² = 0

ρ = 1

0 ≤ ρ ≤ 1

Ora posso integrare:

∫₀^2π dθ ∫₀¹ dρ ∫_2ρ^1+ρ2 ρ² ρ dz