Appunti di teoria: forme differenziali, Gauss-Green, Stokes, Integrali curvilinei e superficiali

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Revisionato il 18/05/2026

di martimelis

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Appunti da me scritti seguendo le lezioni ed approfondendo gli argomenti da vari libri e altre fonti. Appunti basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni della prof. Marras …

Esame Analisi matematica 2

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Marras Monica

Università Università degli Studi di Cagliari

A.A. 2016-2017

56 pagine

Appunto

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Estratto del documento

FUNZIONI DI CLASSE C1

DOMINI DELL'INTEGRALE TRIPLO

Il dominio V si definisce normale rispetto al piano xy se si può così descrivere:

(x,y) ∈ D normale in R² → es: paraboloide tagliato da piano

α(x,y) ≤ z ≤ β(x,y) → z compreso tra due funzioni

Inoltre, qualunque coppia (x,y) incontra prima la superficie minore e poi la maggiore.

L'INTEGRALE TRIPLO

Sia f(x,y,z) una funzione limitata in un insieme V, considero il parallelepipedo

V = (a,b) x (c,d) x (e,f)

decompongo in "intervallini" regolarmente

[a,b], [c,d], [e,f]

ed ottengo Im = [x₀=a, ..., xₘ=b], Iₘ [y₀=c, ..., yₘ=d], Iₖ=[z₀=e, ..., zₖ=f].

Il prodotto cartesiano Iₘ x Iₘ x Iₖ individua il generico parallelepipedo Vₘ,ₘ,ₖ

FUNZIONI DI CLASSE C1

DOMINI DELL’INTEGRALE TRIPLO

Il dominio V si definisce normale rispetto al piano xy se si può così descrivere:

(x,y) ∈ D normale in IR² → z compresa tra due funzioni
α(x,y) ≤ z ≤ β(x,y)

es: PARABOLOIDE TAGLIATO DA PIANO

Inoltre, qualunque coppia (x,y) incontra prima la superficie minore e poi la maggiore.

L’INTEGRALE TRIPLO

Sia f(x,y,z) una funzione limitata in un insieme V, considero il parallelepipedo

V = (a,b) x (c,d) x (e,f)

decompongo in “intervallini” regolamente

[a,b], [c,d], [e,f] in m, m, k

ed ottengo I_m = [x₀=a, …, x_m=b],

I_m [y₀=c, …, y_m=d],

I_k [z₀=e, …, z_m=f].

Il prodotto cartesiano I_m x I_m x I_k individua il generico parallelepipedo V_m,m,k

DEFINISMO LE SOMME SUPERIORI ED INFERIORI

SOMME SUPERIORI = S(f,V) = Σ mis V_n,m,k • max f(x,y,z)SOMME INFERIORI = s(f,V) = Σ mis V_n,m,k • min f(x,y,z)ALL'INFINITÓ DELLA DECOMPOSIZIONE IN INTERVALLINI LE SOMME SUPERIORI DECRESCONO , MENTRE LE SOMME INFERIORI CRESCONO.

SE QUESTE CONVERGONO AD UNO STESSO VALORE, TALE VALORE È DETTO INTEGRALE TRIPLO DI f(x,y,z) IN V.

lim s(f,V) = lim S(f,V) ➨ allora esso è

∭_V f(x,y,z) dx dy dz

COME SI RISOLVONO GLI INTEGRALI TRIPLI:

SE UN DOPPIO DESTUTARA IL PRODOTTO DI DUE SEMPLICE, L'INTEGRALE TRIPLO SI RIDUCE AL PRODOTTO DI UN INTEGRALE DOPPIO PER UN'INTEGRALE SEMPLICE:

SIA f(x,y,z) INTEGRABILE IN UN DOMINIO NORMALE V

Allora:

∭_V f(x,y,z) dx dy dz = ∬_D dx dy ∫_α(x,y)^β(x,y) dz • f(x,y,z)

FORMULA DI RIDUZIONE DI UN INTEGRALE TRIPLO.

Ora vediamo come si modifica la struttura della riduzione secondo che il dominio D sia:

NORMALE RISPETTO ALL'ASSE x
NORMALE RISPETTO ALL'ASSE y
COMPLETAMENTE NORMALE

Dominio normale rispetto all'asse x

V = { _{a ≤ x ≤ b}

_{α(x) ≤ y ≤ h(x)}
_{d(x,y) ≤ z ≤ β(x,y)} }

∫∫∫ f(x,y,z) dx dy dz =

= ∫_a^b dx ∫_f(x)^β(x,y) dy ∫_d(x,y)^f(x) F(x,y,z) dz

Esempio

V = { _{1 ≤ x ≤ 2}

_{3x ≤ y ≤ 5x}
_{3xy ≤ z ≤ 4x y} }

f(x,y,z) = 4x + 3y + z

∫∫∫ (4x + 3y + z) dx dy dz =

= ∫₁² 4x dx ∫_3x^5x 3y dy ∫_3xy^{4x y} (4x + 3y + z) dz

Dominio normale rispetto all'asse y

V = { _{c ≤ y ≤ d}

_{g(y) x ≤ h(x,y)}
_{d(x,y) ≤ z ≤ β(x,y)} }

∫∫∫ f(x,y,z) dx dy dz =

= ∫_c^d dy ∫_g(y)^h(y) dz ∫_α(x,y)^β(x,y) F(x,y,z) dz

Dominio polarmente normale

θ₁ ≤ θ ≤ θ₂

V = { _{r(θ) x ≪ r(θ)} }

∫∫∫ f(x,y,z) dx dy dz =

= ∫_θ₁^θ₂ dθ ∫_r(θ)^ρ(θ) ρ dρ ∫_α(r,θ)^β(r,θ) f(r,θ,z) dz

Ove

α(x,y) = α(ρ,θ)
β(x,y) = β(ρ,θ)
F(x,y,z) = F(ρ,θ,z)

dx dy dz → ρ dρ dθ dz

Significati geometrici:

Con il passaggio da integrali semplici, a doppi fino all'integrale triplo, quello che abbiamo fatto è noto aumentare di una dimensione per ogni incremento di integrazione, così facendo siamo passati dalla descrizione di una dimensione alla descrizione di spazi tridimensionali, andando a definire i vari significati geometrici:

∫ Variabile e 1 dimensione - Area

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