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Esercizi Analisi 3
13/02/2015
- Esamina la coordinata polare: calcolare(x4 + y4)
∬ arccos ∬arccos x ∬ arccos cos(θ + sin(θ)) ρθ dθ ∬ arccos sin(θ + cos(θ)) ρdθ e dθ
arccos
- f = arccos(cos θ)
- fθ = θ
- dθ = - tan θ
d = 1/(1 - cos θ)
∫ arccos(t) arccos(t) [arccos(t)] dt
(cos θ = t)
limθ = dt limθ = arccos(t) ∫1 arccos(t) = d ∫1 d
∫5 ds
x2 - ∫5 ds
x2 - Δ/2 = x2/2 - 1/2 arccos(t) = 1/2 arccos2(cos θ)
∫5 ∫2 1/2 arccos2 (cos θ) dθ
1/2 ∫ arccos2 (cos θ) dθ
∫e |η2 - θ| dθ
1/2 e ∫ ∅ = 1/2 η2(1/2 (θ - θ)) = ξη
3) Usando la formula di inversione di calcolo:
∫-10 ∫-xx 2y4 + 1 dy dx + ∫01 ∫1+x2 2y4 + 1 dy dx
D1= { f(x,y) ∈ &R | -1 ≤ x ≤ 0 ; 1-x ≤ y ≤ 2 }
D2= { f(x,y) ∈ &R | 0 ≤ x ≤ 2 ; 1+x ≤ y ≤ 2 }
∫12 ∫1/2e t4 dt dx = ∫01 ∫1x t4 dt dx
logq(g) ∫2q(x+1) 1/3 - ∫02 x + ∫-10 1/3 - 3x
Calcolare l'integrale curvilineo
∮🝖
−➦
✓
∫
√
−√
√2 √t+2
−
−
√
√2
√2/3
=
=
√
Calcolare l'area di piano interna alla curva:
x = 1 + sen⁴t , y = 1 + sen²(t)
Una formula per il calcolo dell'area del (4): M(O) = 1/3 ∮(xdy - ydx)
= 1/2 ∫02π [(1 + sen⁴t) cos t - (1 + sen²t)(-sen t)] dt
= 1/2 ∫02π (1 + sen⁴t) cos t - sen t - sen²t dt
= 1/2 ∫02π (1 + sen⁴t) [1 - sen²t] dt
= 1/2 ∫02π (1 + sen⁴t) (cos² t) dt = (1 + sen⁴t)(-sen t - sen²t - sen²t)
= 1/2 ∫02π (1 - sen²t) sen t + sen³t dt
= 1/2 ∫02π sen t + sen t dt
= 1/2 ∫02π sen t + 2 sen²t + sen³t dt
= 1/2 [-cos t]02π + 2 ∫02π sin² t dt + ∫02π sen³t dt
sin ²t = ∫0t sen²t dt = sent (-cos t) - ∫ - cos ² t
∫ 0t sen²t = - sen t cos t + ∫ - sin ² t dt
∫ sen²t dt = -sen tcos t - t - ∫sen²t dt
- ∫sin ²t = -sen tcos t - t + ∫sin ²t dt = - x²
= [- sin tcos t - t]2π0 = ∏
∫02π(1 - cos ² x) sen t dt = ∫02π sin t dt - ∫02π cos ² t sen t dt
= -cos t ∫02π - ∫02π cos²t sen t dt
= -∫0x²dx = - x³ / 3
= [cos³t]02π - 1/3 + 1/3 = 0
SOLUZIONE
∏
Stav: (μ, ν) ∈ ℝ⁻: {(μ, ν) ∈ ℝ²
Calcolo l'integrale superficiale
∫ √(x² + 4y² + 9z²) dz
≤ 2: 3 ≤ ν ≤ 3 + μ²
∂p/∂μ = (5, 2μ, ν)
J = Jμ Jν = (4, 0, -μ)
∂p/∂ν x ∂p/∂μ
= (-2μi, ν-5μj, -2kμ)
= -√(νμ⁴+i)/2 -10 μν + 25μ²
∫ 1/μ²ν²
√(4μ² + ν² -10 μν + 25μ²)
vdu
√(4μ² + ν²)
1/μ²ν²
dν) du
∫ (3 - μ)/μ² 1/V
2 ∫ 1/μ² (3 - μ) dμ
du ∫ k/μ² dx
1/3 ∫ 1/u
∫ 1/3
= ∫ 1/(3μ+3)
2/x² dν
3/9 = ∫ 1/(cμ+3)²
= ∫ 1/(9 - (9/x²)) dx
4/9
4/9
x cos⁻¹
Calcolate la lunghezza di γ
Scrivere la curva esplicitamente con lo stesso verso ed espresso in termini del parametro curvilineo
γ : t ∈ [0,1] → (0, et √(2 - t)) ∈ ℝ2
L(0) = ∫01 ‖γ'(t)‖ dt
= ∫01 √(02 + e2t + 22(-t)) dt
= ∫01 √(e2t + 1) dt
= ∫01 et + 1 dt
= ∫01 et dt
= [et - e-t]01 = (e1 - 1) - (1 - 1) = e - 1
γ[0,1] (γ(s)) ds = ∫01 ‖γ(ζ)‖ dζ = (e - e-t) ∈ [0, e - 1]
h : s ∈ [0, e - 1] → s = (s + √(s2+4))/2-1](0, −e-1)
c ∈ [0, e 0 e] e → φ = [s + √(s2+4))/2-1]
log (s + √(s2 + 4))/2-1] e
= [log (s + √(s2 + 4))/2] e = log ( 2log s + √(s2+1)/2 )
NOTA:
S = et - e - t → S = et - e - t
= S = e2t -1
÷ ≤ et e-1 -39
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