Analisi matematica II - esercizi

Appunti di ESERCIZI del corso di

ANALISI II

Beatrice Meucci

Appunti di ESERCIZI ed ESEMPI del corso di Analisi II tenuto dal professor Franco Fiandoli presso l'Università di Ingegneria di Pisa (corso di Ingegneria Biomedica). Negli appunti vi sono molti esercizi tratti da prove d'esame. Gli argomenti trattati sono i seguenti:

• Limiti e continuità delle funzioni in una variabile

  Concetti di base, intorni sferici: “norma”, “distanza”, “disuguaglianza triangolare”, teorema di Bolzano-Weierstrass. Limiti e continuità di funzioni: nozione di “funzione limitata”, “funzione continua, teorema di Heine-Cantor, funzione “lipschitziana”. Curve parametrizzate: immagine, sostegno di una curva, equazioni parametriche di una curva. Calcolo dei limiti: concetto di “punto di accumulazione”, limiti in coordinate polari.

• Calcolo differenziale per funzioni con più variabili

  Derivate direzionali e parziali di funzioni a valori scalari: concetti di “versore”, “direzione”, “rapporto incrementale in una certa direzione”, derivabilità di funzioni con più variabili, proprietà elementari e “regola della catena”. Differenziabilità di funzioni a valori scalari: teoremi sulla differenziabilità, “piano tangente”, direzione di massima e minima crescita, teorema del differenziale totale.

• Derivate di ordine superiore

  Derivate del secondo ordine: derivata parziale del secondo ordine, “funzioni k volte differenziabili”, derivate miste, teorema di Schwarz, matrice Hessiana. Polinomio di Taylor: “polinomio di Taylor di ordine 2”. Insiemi convessi e funzioni convesse: combinazione convessa, funzione concava e funzione convessa, teoremi su differenziabilità, convessità, concavità. Estremi liberi di funzioni a valori scalari: definizione di “punto critico” (o “punto stazionario”), punto di “estremo locale”, “punto di sella”. Derivabilità, differenziabilità di funzioni a valori vettoriali: definizioni, matrice Jacobiana, teorema vari.

• Curve, integrali curvilinei

  Curve in Rⁿ: definizione di curva “semplice”, “chiusa”, “piana”, “curva cartesiana”, coordinate polari di una curva, concetto di “orientatore”, “curva di Jordan”, “vettore velocità”, “retta tangente al sostegno di una curva”, “versore tangente” e “vettore tangente”, “vettore accelerazione”, “velocità e accelerazione scalare”, definizione di “curva di classe C¹¹ a tratti”. Cambiamento di parametro: curve equivalenti, cambiamenti di parametrizzazione. Integrabilità di funzioni vettoriali. Curve rettificabili e lunghezza: definizioni e teoremi. Integrali curvilinei di 1 specie: definizioni e teoremi, “ascissa curvilinea” o “parametro d'arco”. Integrali curvilinei di 2 specie e forme differenziali: definizioni, teoremi, campo di forze. Forme differenziali lineari esatte e chiuse: concetto di differenziale, “funzione potenziale”, teorema fondamentale del calcolo integrale, campo di forze “conservativo”, forma differenziale “chiusa”, concetto di “rotore” e di “campo vettoriale irrotazionale”, costruzione del potenziale. Insiemi semplicemente connessi: definizioni, teoremi.

• Funzioni implicite, estremi vincolati

  Sistemi lineari e non lineari: concetto di “linearizzazione una funzione nell'intorno di un punto”, matrice jacobiana. Curve di livello: funzione implicita relativa ad un’equazione, concetto di “punto regolare”, curva di livello, retta tangente ad una curva di livello, gradiente di una funzione (ortogonale alla tangente alla curva di livello di una funzione), “piano tangente”. Estremi vincolati di funzioni di due variabili: concetto di “vincolo” e di “punto di minimo vincolato”, “punto di estremo vincolato”, “punto stazionario vincolato”, “moltiplicatori di Lagrange”, “metodo dei moltiplicatori di Lagrange”.

• Integrali doppi su rettangoli

  Integrali doppi su rettangoli: concetti di “somma superiore” e di “somma inferiore”, suddivisione di un insieme, “funzione integrabile secondo Riemann”, interpretazione geometrica degli integrali doppi su rettangoli, criterio di integrabilità, proprietà dell'integrale, formula di “riduzione su rettangoli”, formula di “scambio dell'ordine di integrazione”. Integrali doppi (caso generale): integrabilità di una funzione, concetto di “somma superiore” e di “somma inferiore”, suddivisione di un insieme, “funzione integrabile secondo Riemann”, interpretazione geometrica degli integrali doppi su rettangoli, criterio di integrabilità, proprietà dell'integrale, formula di “riduzione su rettangoli”, formula di “scambio dell'ordine di integrazione”.

Esercizio - Esempio

Facciamo la continuità e i limiti negli estremi del dominio delle funzioni

f(x,y) = (x + y) / (x - y)

Continuità

g(x,y) = x b(x,y) = y

x e y sono funzioni di piú variabili che si possono scomporre in somme di n variabili e costanti. E se verifichiamo che sia continua rispetto che la somma fra e attraverso le x e y sono continue Allora si può applicare il teorema già visto in Analisi

Sappiamo che x e y sono funzioni continue, quindibasta fare la loro differenza e la loro somma e trovare

f(x,y) = (x + y) / (x - y) è una funzione continua

Limiti negli estremi del dominio

In genere si calcolano i limiti per x → ±∞. In tal case agli estremi del dominio abbiamo la retta y = x x = {0,0} è un punto di accumulazione (Ha stesso fino la continuità) ma non è nel dominio (non ha stesso fino la continuità)

y = x ESCLUSA dal dominio

Allora riprendo dei punti x,y vicini alla zero, ma differenti differenti da zero e essi non sono situati suivant une retta (inpiedi del dominio)

{(y,x) ≠ 0, y, x ≠ 0

y, x ≠ y

In simboli...

Esercizi di esn.3

1

Capire e tracciare il grafico di f(x,y) = sin x

Insiemi di livello f(x,y) = c ovvero: sin x = c

^N.B: La y non compare

• C=0 → x=kπ, k∈Z

Cerco tutte le coppie (x,y) tali che la x ha un valore fissato

Gli insiemi di livello sono delle rette parallele all'asse y

Il grafico (ovvero la superficie) sarà ondulato e verrà aumentato o diminuito parallelamente all'asse di y

2

Piano ξ = ax + by → passa per l’origine (manca il termine noto)

ax + by + z = 0_x

<a,b,-1>•<x,y,z> = 0_x

Il more e il luogo dei punti (perpendicolarmente a (a,b,-4)

SEMPLIO: z = 3x

luogo dei punti perpendicolari a: (3,0,-4)

Altro esempio

y(x,y) = { xy / (x² + y²) se (x,y) ≠ (0,0) 0 se (x,y) = (0,0)

Dominio: ℝ² (tutto)

Se lim→(x₀, y₀) f(x,y) = f(x₀, y₀), in quei punti la funzione è continua. In (0,0) tutto ciò è verificato?

Uso il teo del differenziale totale

Derivabilità

Se f derivabile in un intorno sferico del punto x₀ . . . derivabile f (x,y) continua in (x₀, y₀), . . . la parziale derivata

Per semplicità controlliamo verificando che la funzione è derivab. in 0 e le sue derivate sono continue.

La f è derivata intutti fuori dal disco intorno ℝ² (escludendo in quelli dentro lo zero

Fis.xy qualsivolore . . . parametra

x = xy / (x² + y²) . . . ↗ per x≠0 è derviabile al caso particolare y = 0

Analogo a prima → ↙ per x = 0 . . .

Derivabile è la funzione nell'interno

x→0 per x≠0 derivata ( 0 per x = 0 ) derivata

Se la funzione sulle assi x è derivabile sempre in quei y . . .

Sulle assi y è derivabile

Per ogni x è stato la funzione sulle assi yi è derivabile

f continua e derivabile in tutto il dominio

sol devo . . . verificare differenziabilità

(x,y) ≠ (0,0)

r . è derivabile