Esercizi Geometria e algebra lineare

Esercizi di Algebra Lineare

Claretta Carrara

Indice

Capitolo 1. Operazioni tra matrici e n-uple 1

1. Soluzioni 3

Capitolo 2. Rette e piani 15

1. Suggerimenti 19

2. Soluzioni 21

Capitolo 3. Gruppi, spazi e sottospazi vettoriali 47

1. Suggerimenti 48

2. Soluzioni 48

Capitolo 4. La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango) 55

1. Suggerimenti 56

2. Soluzioni 57

Capitolo 5. Dipendenza e indipendenza lineare (senza il concetto di rango) 67

1. Suggerimenti 69

2. Soluzioni 69

Capitolo 6. Determinante e inversa di una matrice 83

1. Suggerimenti 84

2. Soluzioni 85

Capitolo 7. Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. 95

1. Suggerimenti 106

2. Soluzioni 107

3. Soluzioni 155

Capitolo 8. Applicazioni lineari 179

1. Suggerimenti 186

2. Soluzioni 188

Capitolo 9. Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari 243

1. Suggerimenti 247

2. Soluzioni 249

Capitolo 10. Prodotto scalare, ortogonalitá e basi ortonormali 287

1. Suggerimenti 289

2. Soluzioni 290

Capitolo 11. Endomorfismi e matrici simmetriche 303

1. Suggerimenti 305

2. Soluzioni 305

Capitolo 12. Rette e piani con le matrici e i determinanti 321

1. Suggerimenti 322

2. Soluzioni 324

Capitolo 13. Coniche 337

1. Suggerimenti 339

2. Soluzioni 342

Capitolo 14. Quadriche 381

1. Suggerimenti 382

iii

iv INDICE

2. Soluzioni 385

Capitolo 15. Coordiante omogenee e proiezioni 407

1. Suggerimenti 408

2. Soluzioni 408

INDICE v

Avvertenze importanti.

• L’eserciziario è scaricabile gratuitamente dalla rete. Si tratta semplicemente di una raccolta di

esercizi. Sicuramente contiene errori di conto e di scrittura (e forse anche altro).

• Quasi ogni capitolo è cosı̀ strutturato:

Testo degli esercizi,

– Suggerimenti e brevi spiegazioni sulle tecniche utilizzate per la risoluzione,

– Soluzione di tutti gli esercizi proposti.

–

• L’eserciziario contiene sostanzialmente:

i Fogli di esercizi assegnati e parzialmente svolti nelle ore di esercitazione per i corsi:

– ∗ Geometria , c.l. in Ingegneria Edile / Architettura, dall’a.a 2002/03 all’a.a. 2009/2010.

∗ Geometria e Algebra, c.l. in Ingegneria e Scienze dell’Informazione e dell’Organiz-

zazione - Rovereto, dall’a.a 2002/03, all’a.a. 2006/2007.

∗ Geometria e Algebra, Ingegneria a-l, a.a. 2010/2011.

I corsi sono tenuti dal Prof. Alessandro Perotti, ad eccezione di Geometria e Algebra, c.l.

in Ingegneria e Scienze dell’Informazione e dell’Organizzazione - Rovereto, a.a. 2006/2007,

tenuto dal Prof. Gianluca Occhetta.

Alcuni esercizi (segnalati) sono presi dal libro di testo M.P. Manara - A. Perotti - R.

Scapellato, Geometria e Algebra Lineare (Teoria ed esercizi), ed. Esculapio, 2002.

La maggior parte degli esercizi degli appelli d’esame e delle provette dei precedenti corsi.

– CAPITOLO 1

Operazioni tra matrici e n-uple

Date le matrici

Esercizio 1.1.

3 0

1 2 B =

A = −1

−1 4

3 −

e dati λ = 5, µ = 2, si calcoli AB, BA, A + B, B A, λA + µB. ∈

Per ognuna delle seguenti coppie di matrici A, B e scalari λ, µ calcolare

Esercizio 1.2. R,

2

−

A + B, B A, λA + µB, AB, BA, A :

1

3 2

1 1 λ =

B =

A = , µ =0

−1 4

2 2 2

 

 

1 0 1 3 0 2

 

 

−1 −1 −1 −1

3 4 5

A = B = λ = 2, µ =

−1 −1

2 0 0 0

Date le seguenti matrici:

Esercizio 1.3. 



  5 0

−1 −3

2 5 

 −1

−2 2

0 5 



 

−1

3 0 2 ;

; A =

A = ; A = 



2

1 3

−3 4 5

4 2

−2

4 0 0 −1

5

 

 

−2 4 1

3 5 −3 −1

1

 

  −4

−1 4 4

10 ; A =

; A = ;

A = 6

5

4 −8 5 3

−2 0 0 0

0 ·

calcolare, quando possibile, i prodotti A A per i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

i j

Date le matrici

Esercizio 1.4.  

1 0 0 0

 

0 1 0 0

 

1 2 3 4

A = I =  

4 0 0 1 0

0 0 0 1

T

calcolare i prodotti AI e I A .

4 4

Date le matrici

Esercizio 1.5.

1 2

−2 −3

3 1 1 1

A = B =

2 3

T

−

calcolare 3A 2B e AB . 3

Calcolare la potenza A della matrice

Esercizio 1.6.  

−1

1 2

 

0 3 1

1 0 1

Data la matrice

Esercizio 1.7.

1 1

A = −3 2

calcolare, se esiste, l’inversa di A (cioè determinare se esiste la matrice B tale che AB = BA = I).

Date le seguenti matrici A, calcolare, se esiste, l’inversa di A (cioè determinare se

Esercizio 1.8.

esiste la matrice B tale che AB = BA = I).

−1

1 1 1

A = A = −3

3 3 2

1

2 1. OPERAZIONI TRA MATRICI E n-UPLE

Date le matrici

Esercizio 1.9.

−2

2 0 1 3 0

A = B = C =

0 3 0 3 0 3

calcolare AB, BA, BC e CB.

Si consideri il seguente insieme (matrici triangolari superiori di M (R))

Esercizio 1.10. 2×2

a b | ∈

a, b, c

I = R

0 c

Si verifichi che I è chiuso rispetto al prodotto e alla somma di matrici, ovvero che presi due elementi

di I anche il loro prodotto e la loro somma sono elementi di I.

Mostrare attraverso un esempio che esistono matrici A, B non nulle tali che AB = 0.

Esercizio 1.11. Sia

Esercizio 1.12.

1 1

A = 0 1

e B una matrice tale che AB = BA. Si dimostri che

0 x

B = λI +

2 0 0

∈

dove λ, x R. Date le matrici

Esercizio 1.13.  

 

−2

1 3 1 2 0

 

 

−6 −1

0 5 5 2

A = e C =

−1

2 4 2 1 3

determinare la matrice B tale che A + B = C.

Date le matrici

Esercizio 1.14.

−1 0 1

1

2 1

1 2 , D =

, C =

, B =

A = −1

−1 2

2 3

1 1

3

stabilire se D è combinazione lineare di A, B, C.

Date le matrici

Esercizio 1.15.

3 6

2 3

1 k , C =

, B =

A = 1 3

1 2

0 1

stabilire se esistono valori di k per cui C è combinazione lineare di A, B. In caso positivo esprimere tale

combinazione lineare. Si considerino le seguenti n-uple di numeri reali, con n = 2, 3 o 4:

Esercizio 1.16.

1 −2

,

u = (1, 0) u =

1 2 2

1

1 −5 − −2

−3, , u = 0, ,

u = 4

3 4 2

1

−2) − −3

u = (−1, 1, 2, u = 0, 0, ,

5 6 3

Si calcoli quando possibile Tj

· · −2,

u + u , u u , λ u , con λ = 0, 2, i, j = 1, . . . 6

i j i i

Dimostrare che un numero complesso coincidente con il proprio coniugato è neces-

Esercizio 1.17.

sariamente reale. Si risolva il sistema Ax = b dove

Esercizio 1.18.

1 3 x 2

1

A = , x = b = −2

x

2 4 2

×

Siano A e B matrici 3 3 tali che

Esercizio 1.19. ∀B ∈

AB = BA M 3×3

Si dimostri che deve necessariamente essere: ∈

A = λI per qualche λ R

3 1. SOLUZIONI 3

Si risolva il sistema Ax = b nei seguenti casi

Esercizio 1.20.  





  2

x

1 3 2 1  





  −3

0 3 6 x b =

, x =

a) A = 2 4

x

0 0 2 3 



 



 3

4 33 2 x 1 



 



 4

0 1 6 x b =

b) A = , x = 2 −4

x

0 0 0 3 









 −1 3

x

3 1 1 









 4

x

0 1 1 b =

, x =

c) A = 2 0

0 0 0 x 3

∈

Si dica per quali valori di k il sistema Ax = b dove

Esercizio 1.21. R 



 





−1 0

1 2 x 1 



 



 1

0 1 1 x b =

A = , x = 2 −1

x

0 0 k +1 3

ammette soluzione. In caso positivo si determinino esplicitamente tali soluzioni.

——————————————————————————————————————————————-

1. Soluzioni

Date le matrici

Esercizio 1.1.

1 2 3 0

A = B =

−1 −1

3 4

−

e dati λ = 5, µ = 2, calcolare AB, BA, A + B, B A, λA + µB.

Soluzione:

· · · ·

1 3 + 2 (−1) 1 0+2 4 1 8

AB = =

· · · · −4

3 3 + (−1) (−1) 3 0 + (−1) 4 10

· · · · 3 6

3 1+0 3 3 2 + 0 (−1) =

BA = −6

−1 · · −1 · · 11

1 + 4 3 2 + 4 (−1)

1+3 2+0 4 2

A + B = =

−1

3 + (−1) + 4 2 3

−2

− − 2

3 1 0 2

− =

B A = −4

−1 − − 5

3 4 (−1)

5 10 6 0 11 10

5A + 2B = + =

−5 −2

15 8 13 3

∈

Per ognuna delle seguenti coppie di matrici A, B e scalari λ, µ calcolare

Esercizio 1.2. R,

2

−

A + B, B A, λA + µB, AB, BA, A :

1

1 1 3 2 , µ =0

A = B = λ =

−1

2 2 4 2

 

 

1 0 1 3 0 2

 

 

−1 −1 −1 −1

3 4 5

A = B = λ = 2, µ =

−1 −1

2 0 0 0

Soluzione:

4 1. OPERAZIONI TRA MATRICI E n-UPLE

Comiciamo dalla prima coppia di matrici:

4 3 2 1

−

A + B = B A = −3

1 6 2

1

1

1

1 2 6

2 2

· · AB =

A +0 B = A =

λA + µB = 4 12

1 1

2 2

7 7 3 3

2 ·

BA = A = A A =

7 7 6 6

Analogamente per la seconda coppia di matrici:

 

 

4 0 3 2 0 1

 

 

−4

−

2 3 4 5 6

A + B = B A =

−1 −3

1 0 0 1

   

−1 0 0 2 0 2

   

−6 −7 −4

− 7 11 1

λA + µB = 2A B = AB =

−2

5 0 7 0 4

   

7 0 1 3 0 0

   

2

−4 −10 −2

·

21 1 5

BA = A = A A =

−1 −1

0 0 0 3

Date le seguenti matrici:

Esercizio 1.3. 



  5 0

−1 −3

2 5 

 −1

−2 2

0 5 



 

−1

3 0 2 ;

A = ; A = ; A = 



1 2 3

−3 4 5

4 2

−2

4 0 0 −1

5

 

 

−2

3 5 4 1 −3 −1

1

 

 

−1 −4

10 4 4

A = ; A = ; A = ;

4 5 6 −8 5 3

−2 0 0 0 0

·

calcolare, quando possibile, i prodotti A A per i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

i j

Soluzione: ×

Ricordiamo che una matrice è detta n m se ha n righe e m colonne. Inoltre è possibile moltiplicare due

matrici A e B solamente se

• ×

A è del tipo n m

• ×

B è del tipo m k

(cioè se il numero delle colonne di A è uguale al numero delle righe di B). Il risultato è una matrice C del

×

tipo n k.

Scriviamo solo i prodotti che è possibile effettuare:

 

−2 32

 

−4

· 26

A A =

1 3 10 2

−8

−8 −20

−14 8 8

14 2 0 ·

·

· A A =

A A =

A A = 2 5

2 4

2 1 −8

−10

−5 −22 4 4

11

11 20 

 

 −15 −5

−10 5

0 25 

 

 −13

−4 −1 9 7

8 

 

 ·

· A A =

A A = 

 

 3 6

3 2 −52

−23 29 11

20 30 −7 −8

−4 −7 0

23 





 −49

−21 28 12

20 25 





 −77

−28 ·

· 49 31

40 15 A A =

A A = 4 6

4 2 −2

−10 6 2

0 4 









 −12

−12

−8 −10 8 14

30

18 12 









 −8

−24

−12 −20 ·

·

· 0 12

20

32 12 A A =

A A =

A A = 5 5

5 4

5 1 0 0 0

0 0

0 0 0 0

−7 −15 −8 −5 −8

2 13 2 1

· · ·

A A = A A = A A =

6 1 6 4 6 5

−21 −40 −35 −4 −12

35 28 10 12

1. SOLUZIONI 5

Date le matrici

Esercizio 1.4.  

1 0 0 0

 

0 1 0 0

 

1 2 3 4

A = I =  

4 0 0 1 0

0 0 0 1

T

calcolare i prodotti AI e I A .

4 4

Soluzione:

Notiamo che la matrice quadrata I è detta matrice identica di ordine 4. In generale le matrici identiche

4

(dei differenti ordini) vengono indicate I.

1 2 3 4

AI = = A

4 





 1

1 





 2

2 





 T

T · = A

=

I A = I 







4 4 3

3 4

4

Date le matrici

Esercizio 1.5.

2

1 −3

−2 3 1 1 1

B =

A = 2 3

T

−

calcolare 3A 2B e AB .

Soluzione:

43 15 23

3 −6 −8

−6 −

− 9 3 2 2 1

=

3A 2B = 2 2 3

 

1

 

−3

 

1 1

T −2 −

·

3 1

AB = =

 

2

2 2

3

1

12

−

Notiamo che la matrice è detta matrice scalare.

3

Calcolare la potenza A della matrice

Esercizio 1.6. 

 −1

1 2 

 0 3 1

1 0 1

Soluzione:

Si tratta di eseguire due prodotti: 

 

 

 −15

−1

−4 6 5

1 2

3 3 

 

 



3 ·

· · 5 26 15

0 3 1

1 9 4 =

A = A A A = −5

−1 5 6

1 0 1

2 3

Data la matrice

Esercizio 1.7.

1 1

A = −3 2

calcolare, se esiste, l’inversa di A (cioè determinare se esiste la matrice B tale che AB = BA = I).

Soluzione: ×

Sia B la matrice cercata. Per potere effettuare i prodotti AB e BA, la matrice B deve essere 2 2. Sia

quindi

x y

B = z w

6 1. OPERAZIONI TRA MATRICI E n-UPLE

×

la generica matrice 2 2 e calcoliamo il prodotto AB:

1 1 x y x + z y + w

·

AB = =

−3 −3x −3y

2 z w + 2z + 2w

Dalla condizione AB = I segue

   25

−

x + z =1 x =1 z x =

  

  

  

   1

−

−w y =

y + w = 0 y = 5

⇒ ⇒ 3

  

−3x −3(1 − z =

+ 2z = 0 z) + 2z = 0

  

   5

   1

−3y −3(−w) w =

+ 2w = 1 + 2w = 1 5

Di conseguenza perché B verifichi la condizione AB = Ideve essere

15

2 −

5

B = 3 1

5 5

E’ immediato verificare che tale matrice B soddisfa anche la condizione BA = I, di conseguenza B è la

matrice inversa di A cercata.

Metodi più efficaci per calcolare l’inversa di una matrice verranno introdotti successsivamente.

Date le seguenti matrici A, calcolare, se esiste, l’inversa di A (cioè determinare se

Esercizio 1.8.

esiste la matrice B tale che AB = BA = I).

−1

1 1 1

A = A = −3

3 3 2

Soluzione:

Consideriamo la matrice

1 1

A = 3 3 ×

Per potere effettuare i prodotti AB e BA, la matrice B deve essere 2 2. Sia quindi

x y

B = z w

×

la generica matrice 2 2. Si ha

x + z y + w

x y

1 1 · =

AB = 3x + 3z 3y + 3w

z w

3 3

Dalla condizione AB = I segue 



 −

− x =1 z

x =1 z

x + z =1 



 



 



 



 −w

−w y =

y =

y + w = 0 ⇒

⇒ 



 − 3=0

3(1 z) + 3z = 0

3x + 3z = 0 



 



 



 0=1

3(−w) + 3w = 1

3y + 3w = 1

La terza e la quarta equazione sono impossibili, di conseguenza tutto il sistema non ammette soluzione.

Questo indica che la matrice A non ammette inversa.

Consideriamo ora la matrice

−1

1

A = −3 2

e sia

x y

B = z w

×

la generica matrice 2 2. Si ha

−1 − −

1 x y x z y w

·

AB = =

−3 −3x −3y

2 z w + 2z + 2w

1. SOLUZIONI 7

Dalla