Esercizi Geometria e algebra lineare

R R∈b) Si determini la dimensione una base di V al variare di k R. −2, −1,Sia V lo spazio vettoriale generato dai vettori v = (1, 4, 0), v = (2, 3, 1) eEsercizio 7.37. 1 2−1,v = (0, 3, 0):3 hv iV = , v , v1 2 3(1) Determinare la dimensione dello spazio vettoriale V .(2) Determinare se il vettore v = (3, 1, 3, 1) appartiene a V . In caso positivo esprimere v come4 4combinazione lineare di v , v e v .1 2 3 hv i.(3) Determinare la dimensione dello spazio vettoriale W = , v , v , v1 2 3 4SiaEsercizio 7.38. 2h −1), −2), − iV = (1, 1, 2, (2, k + 3, 4, (0, 1, 1, k 1)con k parametro reale. ∈a) Si determini la dimensione di V al variare di k R.∈ −3)b) Si stabilisca per quali valori di k il vettore v = (3, 3, k + 6, appartiene a V .R 4hv iSia V = , v , v lo spazio vettoriale generato dai seguenti vettori:Esercizio 7.39. 1 2 3 − −v = (1, 1, 2), v = (0, k 1, k 1), v = (2, 1, k + 5)1 2 3dove k è un parametro reale.a)

Determinare una base e la dimensione di V al variare del parametro k.

b) Stabilire per quali valori di k il vettore v = (1, 3, 4) appartiene a V. In caso positivo esprimere 4v come combinazione lineare di v, v e v.

Si considerino i seguenti vettori di R⁴:

Esercizio 7.40. R⁴

v = (1, 0, 3, 1), v = (-3, 0), v = (0, k + 1, k + 1, 0), v = (k - 1, 1, 3k - 5, 2k - 5),

h = (1, 2, 3, 4), v = (1, 2, 2, 4).

dove k è un parametro reale, e sia V = span{v, v, v, v}.

a) Si stabilisca per quali valori di k lo spazio V coincide con R⁴.

b) Si determini la dimensione e una base di V al variare di k.

Si consideri l'insieme

Esercizio 7.41. {v, v, v, v}

S = {(k + 1, k + 1, 0, 2k), (0, 2k, 0, 0), (1, 3k, 0, 1), (1, 5k, 1, k)}.

a) Si stabilisca per quali valori di k l'insieme S è una base di R⁴.

b) Posto k = -1 si trovino le coordinate del vettore v = (1, 1, 0, 1) rispetto alla base trovata.

100 7. RANGO: ROUCHÈ-CAPELLI, DIMENSIONE E BASI DI SPAZI VETTORIALI.

Sia W il sottospazio

di generato dai vettoriEsercizio 7.42. Rv = (k, 1, 1, 2), v = (0, 1, 0, 1), v = (k, 0, 1, 1).1 2 3

a) Al variare del parametro k, trovare una base di W .

b) Si completi la base trovata in a) ad una base di .R 4hv iSia V = , v , v il sottospazio di generato dai vettoriEsercizio 7.43. R1 2 3v = (k, 0, 0, 1), v = (2, 0, 0, 0), v = (2, 0, k, 0) (k parametro reale).1 2 3

a) Trovare una base di V al variare del parametro k.

b) Posto k = 0, completare la base trovata al punto precedente ad una base di .R−1,

c) Stabilire per quali valori di k il vettore w = (−3, 0, 1) appartiene a V .

SiaEsercizio 7.44. B { −1), −1, }= (−2, 0, 0), (1, k, (1, k)3Ba) Trovare i valori del parametro k per cui è una base di .Rb) Per il valore k = 3, determinare le coordinate dei vettori v = (−3, 2, 1) e w = (0, 1, 2) rispettoB.alla base 3 −1),

Si considerino i vettori di : v = (1, 2, 1), v = (1, 1, v = (1, 1, 3), w =Esercizio 7.45. R 1 2 3 1−1), −3).(2, 3, w = (1,

2, 2), w = (1, 1,2 3 hv i, hw i.a) Si calcoli la dimensione dei sottospazi V = , v , v W = , w , w1 2 3 1 2 3∩b) Si trovi una base del sottospazio intersezione V W .3Si considerino i seguenti sottospazi di :Esercizio 7.46. R3{(x, ∈ | −U = y, z) x 2y + z = 0}Rh(1,V = 0, 1), (1, 2, 1), (1, 0, 1)ia) Determinare una base e la dimensione di U e di V .∩b) Determinare una base e la dimensione di U V .b) Determinare una base e la dimensione di U + V . 4Si considerino i seguenti sottospazi di :Esercizio 7.47. R{(0, | ∈U = 1, 1, 0)a + (0, 0, 0, 1)b a, b R}4{(x, ∈ |V = y, z, w) x + y = 0, z = 2x}Ra) Determinare una base e la dimensione di U e di V .∩b) Determinare una base e la dimensione di U V .c) Determinare una base e la dimensione di U + V .4In con il prodotto scalare canonico sia U il sottospazio dei vettori ortogonali alEsercizio 7.48. R−1, −2, −4), −3,vettore (1, 0, 0) e sia V il sottospazio generato dai vettori (1, 0, 3), (−1,

1. 1, 1, (1, 1, 2).
2. Si trovino la dimensione e una base di U, V, U ∩ V, U + V.
3. Siano U e V i sottospazi di ℝ³ definiti da:
4. Esercizio 7.49. ℝ³ ∈ |U = {(x, y, z) | x + z = 0}, V = {(1, -1, -1), (1, 1, a)}.
5. Determinare la dimensione e una base dei due sottospazi U e V.
6. Determinare la dimensione e una base dei due sottospazi U + V e U ∩ V.
7. Siano U e V i sottospazi di ℝ³ definiti da:
8. Esercizio 7.50. ℝ³ ∈ |U = {(x, y, z) | x + z = 0}, V = {(2, -1, -2), (-3, 4, 3)}.
9. Dimostrare che U = V.
10. Si consideri il sottoinsieme S di ℝ⁻ costituito dai vettori v della forma:
11. Esercizio 7.51. ℝ⁻ ∈ |v = (a₁, a₂, a₁ + 2a₂, 2a₁ + a₂, a₁ + 3a₂ + a₃), dove a₁, a₂, a₃ e a₄ sono parametri reali.
12. S è un sottospazio vettoriale di ℝ?
13. In caso di risposta affermativa ad a), trovare una base di S.
14. Si consideri il sottoinsieme S di ℝ⁻ costituito dai vettori v della forma:
15. Esercizio 7.52. ℝ⁻ ∈ |v = (a₁, a₂, a₁ + 2a₂, 2a₁ + a₂, a₁ + 3a₂ + a₃, a₁ + 2a₂ + 3a₃), dove a₁, a₂, a₃ e a₄ sono parametri reali.

−v = (a a + 2a , a , 2a a , a + 3a + a )1 2 3 1 1 2 1 2 4dove a , a , a e a sono parametri reali.

a) S è un sottospazio vettoriale di ?R

b) In caso di risposta affermativa ad a), trovare una base di S.

Si consideri il sottoinsieme S di costituito dai vettori v della forma

Esercizio 7.53. R− −v = (a a + 2a + a , a , 2a a , a + 3a )1 2 3 4 1 1 2 1 2dove a , a , a e a sono parametri reali.

a) S è un sottospazio vettoriale di ?R

b) In caso di risposta affermativa ad a), trovare una base di S.

Si consideri il sottoinsieme S di costituito dai vettori v della forma

Esercizio 7.54. R− − −v = (2a + a , a a 3a , a a , a + 3a + a , a )1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 2dove a , a e a sono parametri reali.

a) S è un sottospazio vettoriale di ?R

b) In caso di risposta affermativa ad a), trovare una base di S.

Si consideri il sottospazio W di costituito dai vettori w della forma

Esercizio 7.55. R− − − −w = (2a a a , 2a a , a , a ,

a 4a + a )1 2 3 1 3 1 2 1 2 3dove a , a e a sono parametri reali.

1 2 3a) Trovare una base di W .

-2) ∈b) Determinare le coordinate del vettore v = (0, 1, 1, 1, W rispetto alla base trovata al puntoa). Sia

Esercizio 7.56. 3∈ |S = (x, y, z) x + y + (k + 1)z = k, 2x + y + z = 0R 3a) Stabilire per quali valori di k l’insieme S è un sottospazio di .Rb) Per il valore di k trovato al punto precedente determinare una base di S.

SiaEsercizio 7.57. 3∈ | − − − −2x −S = (x, y, z) x 2y + kz = k 1, x 2y + z = 0, + 4ky 2z = 0R 3a) Stabilire per quali valori di k l’insieme S è un sottospazio di .Rb) Per il valore di k trovato al punto precedente determinare una base di S.

5Sia S il sottoinsieme diEsercizio 7.58. R 5∈ | −S = x x x + 2x = k, x + x + kx = 0 .R 1 2 5 1 3 4 5a) Per quali valori del parametro reale k l’insieme S ée un sottospazio vettoriale di ?Rb) Per i valori determinati al punto a), trovare una base di

S.5 Sia W il sottinsieme di ℜ^5 definito da Esercizio 7.59. R 5∈ − −W = = {(x , x , x , x , x ) : x x + kx + x = 0, x 3x = k,x R1 2 3 4 5 1 3 4 5 2 4− − }x x x + 3x + x = 01 2 3 4 55 Stabilire per quali valori di k l’insieme W è un sottospazio vettoriale di ℜ^5 e calcolarne una base e laRdimensione.

Esercizio 7.60. 5a) Trovare una base del sottospazio V di ℜ^5 cosı̀ definito:R5{x ∈ ℜ^5 | − − − −V = {(2x , x , x , 0, 0) : x x + x x = 0, x x 2x + 2x = 0}.R 1 2 3 4 1 3 4 55b) Determinare una base di ℜ^5 contenente la base di V trovata in a).

Esercizio 7.61. 4∈ ℜ^4 |x − − −S = {(x , 4x , x + 2kx) : k + 1, 2x kx + kx = 2k + 2,R 1 2 3 4 1 3 4− }3x 4kx + 9x + 3x = 01 2 3 44∈a) Stabilire per quali valori di k l’insieme S è un sottospazio di ℜ^4.R Rb) Per i valori di k trovati al punto precedente determinare la dimensione e una base di S.

Sia S l’insieme delle

soluzioni del seguente sistema lineare:

Esercizio 7.62.

 −x −+ (k 1)x = 0

 1 4

 −x −+ 2x + (k + 1)x + (k 1)x = 0

1 2 3 4 (k parametro reale)

 − −2x + 2x + (2 2k)x = k 2

1 3 4

 − − −x + 4x + (2k 2)x + (1 k)x = 2 k

1 2 3 4

a) Stabilire per quali k l’insieme S è uno spazio vettoriale e in tali casi determinarne una base.∈

b) Esplicitare S al variare di k R.

Sia A la matrice reale seguente:

Esercizio 7.63.

 

−k −1k 0

 

−21 1 0

A = 0 1 k 1

a) Determinare il rango di A al variare del parametro reale k.

b) Calcolare una base del nucleo di A, cioé dello spazio delle soluzioni del sistema lineare omogeneo

Ax = 0, nel caso k = 1.

Esercizio 7.64.

a) Sia h iV = (1, 2, 1), (−1, 3, 0), (3, 1, 2)

Si determini la dimensione e una base di V .

b) Sia 3∈ | −S = (x, y, z) x y + 3z = 0, 2x + 3y + z = 0, x + 2z = 0

RSi determini la dimensione e una base di S.

c) Si confrontino i metodi

risolutivi e i risultati dei due precedenti punti.

Sia W il sottospazio di generato dai vettori:

Esercizio 7.65. Rv = (0, 1, 2, 0, 1), v = (k, 1, 2, 0, 2), v = (0, 0, 0, k, 1)

1 2 3

a) Al variare del parametro k, trovare una base di W .

5b) Si completi la base trovata in a) ad una base di .R −2)

Dati i vettori linearmente indipendenti v = (3, 0, 1) e v = (1, 4, completare

Esercizio 7.66. 1 23{v }l’insieme S = , v in modo da ottenere una base di .R1 2 Siano

Esercizio 7.67. 4−1, −1, −1) ∈v = (1, 1), v = (k, 1, 1, R1 2a) Si trovino i valori del parametro k per i quali v e v sono indipendenti.1 2 4{v }