Esercizi di Algebra lineare e geometria

Esercizio 11

Sia V un vettoriale e siano w₁, w₂, ..., w_n vettori di V. Siano W = <w₁, w₂, ..., w_n> e W' sottospazi vettoriali di V.

Dimostrare che W + W' = {w + w' | w ∈ W, w' ∈ W'} per ogni i = 1, ..., n.

Esercizio 12

Sia V un vettoriale e sia v₁, v₂, ..., v_n una base di V.

(a) Dimostrare che {v₁, v₂, ..., v_n, αv₁, αv₂, ..., αv_n} con α ∈ R, α ≠ 0 è una base di V.

(b) Dimostrare che {v₁, v₂, ..., v_n, v₁ + v₂, v₂ + v₃, ..., v_n-1 + v_n} è una base di V.

(c) Dimostrare che {v₁ + v₂, v₂ + v₃, ..., v_n-1 + v_n} è una base di V.

(d) Dimostrare che {2v₁, 2v₂, ..., 2v_n} è una base di V.

Dimostrare che , 2v , . . . , 2v è una base di V .1 2 n{v }(e)

Dimostrare che , v + 2v , . . . , v + 2v è una base di V .1 1 2 1 n{v }(f)

Dimostrare che , v + v , . . . , v + . . . + v è una base di V .1 1 2 1 n4 ultima riga: ∩= 1 + 2 - 3 = 0 W1 W2 = <0>λnultima riga: = 0

Foglio di esercizi 4R 5Esercizio 1 In , trovare una base del sottospazio W definito da−1, −1), −1, −1, −3), −1, −3, −3, −7)W =< (1, 0, 1, 0, 1), (2, 1, 1, (0, 1, (0, 1, 2, 3), (2, 3, > .� � R 5⊕Trovare un sottospazio W tale che W W = .R 6Esercizio 2 In , trovare una base del sottospazio U definito da − −x + y z u + v + w =0 − −2x + y z 2u + 2w = 06R{(x, ∈ | }.U = y, z, u, v, w) − −x + 2z u v + w = 0 −3x + y + 3z 3u + v + w = 0R 6Completare tale base ad una base di .R 4Esercizio 3 In , trovare delle equazioni cartesiane per il sottospazio−4, −3)V

< (1, 2, 1, 0), (1, 1, 2, 1), (−1, 1, > .

Calcolare dimV . � � �R 4 ≤Trovare un sottospazio V di tale che V V e dimV = dimV + 1; determinare delle equazioni�caresiane di V .

MEsercizio 4 In (R) , trovare una base del sottospazio W definito da2,2� � � � � � � � � �−1 −1 −32 1 3 1 1 0 1, , >.W =< , ,−1 −3 −11 0 0 2 2 0 1� �⊕ MTrovare un sottospazio W tale che W W = (R).2,2

MEsercizio 5 In (R), trovare una base del sottospazio U definito da2,3  −a − a + a + 2a + a = 0 11 12 13 21 23� �  −3aa a a + a + a + 3a + a + 3a = 011 12 13 11 12 13 21 22 23{ ∈ M | }.U = (R)2,3 − − − −a a a a a a + a a a = 021 22 23 11 12 13 21 22 23 − − − −2a 2a a a 2a = 011 13 21 22 23MCompletare tale base ad una base di (R).2,3MEsercizio 6 In (R), trovare delle equazioni cartesiane per il sottospazio2,2 � � � � �

1. Calcolare dimV:
   −13 1 1 0 2V =< , , >.1 4 1 2 1 1
2. Trovare un sottospazio V di (R) tale che V V e dimV = dimV + 1; determinare delle2,2�equazioni caresiane di V:
   R ≤3Esercizio 7 In [x] , trovare delle equazioni cartesiane nelle variabili a, b, c, d che siano verificate3 2se e solo se il polinomio ax + bx + cx + d appartiene al sottospazio3 2 3 2 3 2−xV =< + 4x + x + 3, x + 2x + x + 1, 2x + x + x > .Calcolare dimV . � � �R ≤3 ≤Trovare un sottospazio V di [x] tale che V V e dimV = dimV + 1. Determinare delle�equazioni lineari omogenee nelle variabili a, b, c, d che definiscano V .1Foglio di esercizi 54 3→Esercizio 1 Sia φ : l’applicazione definita daR R − −φ(x, y, z, w) = (x + y + 2z, y z + w, 2x + y w).(a) Verificare che φ è lineare.(b) Trovare una base di kerφ ed una base di Imφ. {(1,(c) Trovare la matrice associata a φ rispetto alle basi 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1), (0,

1. (a) Dire per quali valori di k reale esiste un'applicazione lineare φ: R⁴ → R⁴ tale che φ(v₁) = (1, 0, k, 0), φ(v₂) = (1, 1, 0, 0), φ(v₃) = (-1, k-3, 2k, 1-k), φ(v₄) = (2, k+1, 0, 0).
2. (b) Per tali valori calcolare la matrice associata a φ rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio.
3. (c) Calcolare il rango di φ.

(a) kerφ = U ,R R−1, −1) −1, −k),φ(1, 1, = (2, 1), φ(1, 0, 0) = (−2, φ(0, 0, 1, 1) = (1, k). Quante ne esistono?

(b) Trovare la matrice A associata ad una tale φ rispetto alle basi canoniche di dominio ecodominio.

(c) Determinare il rango di A.−1

(d) Calcolare φ ({(1, 2)}).

Esercizio 4 In si considerino i sottospaziR − −x + 2y z 2w = 0U : e V =< (1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1) > .x + y + z + w =0 4(a) Scrivere la matrice rispetto alle basi canoniche di dominio e codominio (ossia ) dellaR4 4→proiezione π : lungo U su V .R R 4 4 4→(b) Scrivere la matrice rispetto alla base canonica di della simmetria σ : di asse UR R Re direzione V .

Esercizio 5 Sia A la matricek  −1 2 k 1−1 −k −3A =k  k 1 k +11(a) Dire per quali valori di k la matrice A ha rango 3.k(b) Per i valori di k per cui A non ha rango 3, determinare kerA e ImA .k k k−1(c) Per k = 0, determinare A ({(1, 0,

1. 0)}).0 −1 −4,(d) Per i valori di k per i quali A non ha rango 3, determinare A ({(2, 5)}).k k≤4 ≤4 ≤4 d→ P (x)Esercizio 6 In [x] , si consideri l’applicazione φ : [x] [x] tale che φ(P (x)) =R R R dx4 2 3(ad esempio φ(x + 2x ) = 4x + 4x).
2. (a) Verificare che φ è lineare.
3. (b) Determinare una base del nucleo ed una base dell’immagine di φ.2 3 4{1, }
4. (c) Determinare la matrice associata a φ rispetto alla base x, x , x , x sia nel dominio chenel codominio.M → M
5. Esercizio 7 Sia φ : (R) (R) l’applicazione tale che3,2 3,2   a a a + a a + a11 12 11 12 11 127−→a a a + a a + a21 22 21 22 21 22   a a a + a a + a31 32 31 32 31 32
6. (a) Verificare che φ è lineare.
7. (b) Determinare una base del nucleo ed una base dell’immagine di φ.M
8. (c) Determinare un sottospazio W di (R) tale che φ(W ) = Imφ e dim(W ) = rkφ.3,2
9. (d) Determinare la matrice associata a φ rispetto alla

base            0 0
     1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0, , , , ,
                0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 
di dominio e codominio. 2 ultima riga: d(v1) = (1 1 1) = 2/3 (1 2 1)- 1/3 (-1 1 1) + 2/3 (0 0 1)→ultima riga: (-1 2 -2 | -3) (0 6 0 | -6)→ (0 0 0 |0)

Foglio di esercizi 6
Esercizio 1 Al variare di k nei numeri reali si consideri il sistema lineare nelle incognite (x, y, z) x + y + z = 2k
 − −(k 1)x + y z = 1
x + ky + z = k + 1

(a) Studiare le soluzioni per k = 0.
(b) Determinare per quali valori di k si ha più di una soluzione e trovarle tutte.
(c) Trovare tutti i valori di k per cui si ha una sola soluzione e trovare tale soluzione.

Esercizio 2 3 −1) −1),
(a) Determinare un endomorfismo f di che abbia kerf =< (2, 0, > e Imf =< (2, 0, (2, 1, 2) >.
RTale f è unica? Perché?
(b) Se ne dia la matrice associata alla base canonica. −1,

1. (a) Per la f di cui al punto (a) si determini l'antimmagine di (1, 1, 1) e di (0,3∈Esercizio 3 Al variare di a siano dati gli endomorfismi di , f (x, y, z) = (ax, x + y + az, z).R R a(a) Dare la matrice di f rispetto alla base canonica.a(b) Per quali valori di a, f non è iniettivo? Per tali valori determinare una base del nucleo. Viasono altri valori di a dove f ammette nucleo non nullo?a {(1, −1, −1)}.(c) Nel caso a = 0 determinare la matrice associata a f rispetto alla base 1, 0), (−2, 0), (1, 0,aEsercizio 4 Al variare di h nei numeri reali si consideri l'insieme delle applicazioni lineari4 3→ϕ : rappresentate dalle matriciR Rh  −11 2 h− −0 h 1 0 1 hA =h  −h1 3 2(a) Per ogni valore di h si determini la dimensione del nucleo e dell'immagine.(b) Per ogni valore di h si determini Im e Ker.(c) Determinare per ogni valore di h l'antimmagine del vettore (1, h, 3) tramite ϕ .h3Esercizio 5