Esercizi Algebra e geometria lineare

Revisionato il 08/07/2026

di stefanodenti06

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Esercizi completi con svolgimento e spiegazione necessari per il superamento dell'esame di Geometria del Primo Anno di Ingegneria Meccanica.Argomenti: -Spazi vettoriali -Geometria analitica …

Esame Geometria

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Battaglia Fiammetta

Università Università degli Studi di Firenze

A.A. 2021-2022

73 pagine

Esercitazione

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Estratto del documento

Esercizio 1 dall'uso Riduzioni (esercitazione 2)

Studiare al variare di h, k ∈ ℝ la mutua posizione delle rette:

x + y - 2 = 0
x + y + 2 = 0
x + y + h·z = k
x - h·y = 0

SUCCEDENDO

Due rette possono essere complanari o sghembe.Nel caso siano complanari, possono essere:

coincidenti
parallele

oppure:

se appartenenti allo stesso piano
se non appartenenti allo stesso piano

Quando le rette sono scritte in forma cartesiana è abbastanza diretta con “ε” utilizzo un sistema:

x + y - 2 = 0
x + y + 2 = 0
x + y + h·z = k
x - h·y = 0

Noto queste 4 equazioni, uno sistema e poi studio lasoluzioni di questo sistema.

Svolgo la matrice associata a questo sistemamettendo in una matrice i coeff. davanti ax y z in matrice chiamato

APPICO LA RIDUZIONE DI GAUSS

1 1 1 0
1 1 0 0
1 k 1 k
1 0 -h 0

R₄ → R₄ - R₁R₃ → R₃ - R₁R₂ → R₂ - R₁R₃ → R₃ - R₁

0 0 2 0 |
0 0 k |
0 -h h 0

Facciamo una combinazione lineareper togliere d (hx) sotto di:

R₄ → h R₄ - (hx) R₃
R₁→ R₄ (hx) 0 qui vi è sempre un coefficiente 0

es R₄ → h R₁ + R₃→ Non avendo → slab

Scansito con CamScanner

Esercizio 1 Dal tuo Rudin (esercitazione 2)

Studiare al variare di h, k R la mutua posizione delle rette:

x + y - 2 = 0
x + y + 2 = 0

x + y + Rz - k = 0
x - hy = 0

Soluzione

Due rette possamo essere complanari o sghembe.

Se complanari: possono essere coincidenti, parallelle.
Se mai appartenaggono allo stesso piano.

Quando le rette sono scritte in forma cartesiana è abbastanza particolare continuare utilizzando un sistema.

Metto tutte e 4 le equazioni in un sistema e poi studio le soluzioni di questo sistema.

x + y - 2 = 0
x + y + 2 = 0
x + y + Rz - k = 0
x - hy = 0

Studio la matrice associata a questo sistema mettendo in una matrice i coefficienti davanti a x, y, z in modo da chiarirlo:

Applico la riduzione di Gauss

1 1 0 1 0
2
h
1
0

Posto interno R12 primo passo

Faccio una combinazione lineare per togliere (1 k) sotto 0.

R4 = mR4 - (h 1 k 1) R3
R1 questo dovrebbe essere 0

C'è sempre un coefficiente 0.

Esempio: R4 = R1 x 1 + R3 0 non ridotto il blue

A sinistra è stata ridotta a scala

Dobbiamo discutere il caso in cui k sia = 0 e il caso in cui k sia ≠ 0, perché stiamo nella direzione principale

se l₃ = 0 allora

succede quello che c'è scritto qui, cioè che la matrice è ridotta a scala

β₃ - 1 · β₂ = β₂

Quindi:

rank(Δ) = 2 perché si conta, ci sarà sempre un minimo nulla nella rottura di Gauss

rank(Δ|B) = β₃≠0 per k≠0

k = 0

Pertanto

k = -1 ∧ k = 0 → rank(A) = rank(A|B) = 2 Quindi c'è la simbolica ha soluzione

La soluzione è data da:

perchè

z = x, y, z

k = -1 ∧ k = 0 → rank(Δ) = 2 rank(A|B) = 3 e il sistema non è risolubile e tutte le nulle di zero sono comparisate perdi il ragione della matrice dei ie coeff. di rank(Δ)=2. Se mi fossero complementi rank(Δ|B) sarebbe 3. Di t₂, t₃ suo parabolale

se _r₁ = _r₂ allora il matrice è ridotta perde R₁ ⇔

e quindi rank(A) = 3 rank(ĀB) = 3 se k = 0

(=) k ≠ 0

Dunque

p₁ ≠ l ₁ k < 0 → rank(A) = rank(ĀB) = 3,0 l _i sistema ha un'unica

soluzione p = l₁,l₂ sono incidenti e si deve calcolare il punto di

intersezione. (Se il sistema lo prendo dalla matrice ridotta)

x + y - z = 0
y - z = 0
z = 0

⎧x = 0

⎪y = 0

⎩z = 0

0 = (0, 0, 0)^T

P₁ punto di intersezione e l'origine

•k ≠ 1 k < 0 → rank(A) = 3 rank(ĀB) = 4 → o _i sistema

non ammette soluzioni p = r₂ sono rette skewperché rank(A) = max =

numero calcolatrice.

_____________

Rematica

tr di Rouché-Capelli in due tra come A X B ammazza
r = rank(A) ≡ rank(ĀB) sistema omaggio con
rank(A) = rank(ĀB) ≡ m m m _n introduce tei sist. (in media n/mm
____ __ __ __ _ albero di sist. ha ∞
____ _____ li perdi di fonti soluzion. (R_i) mentre e

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