Esercizi Algebra e geometria lineare

Esercizio 1

Studiare al variare di h, k, R la mutua posizione delle rette:

• x + y - 2 = 0
• x + y + Rz - k = 0
• x - hy = 0

Suggerimento

Due rette possono essere complanari o sghembe.

• Se complanari: possono essere coincidenti, parallele.
• Se sghembe: mai appartenenti allo stesso piano.

Quando le rette sono scritte in forma cartesiana e abbiamo dei parametri, conviene utilizzare un sistema.

Metto tutte e 3 le equazioni in un sistema:

• Seleziono di questo sistema x, y, z e direzioni.
• Studio la matrice associata a questo sistema mettendo in una matrice i coefficienti davanti x, y, z, il modulo e calcolo.

Applico la riduzione di Gauss

Riposiziono

La matrice è stata ridotta a scala.

Dobbiamo discutere il caso in cui la matrice sia 0 e il caso in cui sia diversa da 0, perché stiamo nella diagonale principale.

Se k = 0, allora si decide qui cosa scrivere perché la matrice è già ridotta a scala.

R₃ = 0 R₂ = R₂

Quindi: rank(A) = 2 perché si conta se il minore non nullo nella riduzione di Gauss

rank(A|B) = 3 se k ≠ 0 2 se k = 0

Pertanto, k = -1 ∧ K = 0 ⇒ rank(A) = rank(A|B) = 2 Quindi il sistema ha soluzione

La soluzione è data con infiniti gradi di libertà

Perché: 3 - 2 = 1 ⇒ D il sistema ha infinite soluzioni che dipendono da un parametro libero. I k₁ R₁, I₂ considerati per accé con metodo

k... 1 ∧ k ≠ 0 ⇒ rank(A) = 2 rank(A|B) = 3 D il sistema non è risolubile... di rette fra di loro solo compensativa, perché il rapporto delle matrice dei coefficienti rank(A). Se mi fossero compilatori, rank(A), scambio 3 e D R_n, R₂ suo parallelo

La direzione di r è giusto da v

e calcolate del vettore

La retta passa per (0,0,0)

d(5T, 7h) = |(P-O) Λ v|= Area parallelogramo

(P: P)

base

(P-O) Λ v = det

= λ i - o j - 5t k. (2-2h) = vettore (P-O)

n vettore v

|(P-O) Λ v| = √(T² (5)² + (2-2h)²)

U2,5Tg 5th √⁴ 6h - t4Ktr

V5T √ 4,5

Vogliamo trovare gli h tali che E distanto (P: P)

T2 g² -8h+29 : 5h² 4,5

h² -8 h +26=0

(h+ th)²=0

h=-4

molteplicità algebrica di un autovalore = tutte le volte che appare come

soluzione del polinomio caratteristico

molteplicità geometrica di un autovalore = dimensione dello spazio

relativo a di V_λ

Ricordarsi poi che 1 ≤ molt_g (λ) ≤ molt_a (λ), ∀ λ : A_n × _n

e quindi se T fa M = dim V autovalori distinti si rializzotto se

diagonizzabile

SVOLGIMENTO: Scelgo una base di R³ (i .s. v.u.c. una base

di R^N devo scegliere per fare i, j, k)

Scelgo la base canonica α₁ = (1, 0,0) t α₂ = (0,1,0) α₃ = (0,0,1) t

Per calcolare la matrice A rispetto alla base canonica,

devo calcolare le immagini dei vetori della base tramite ^R₂.

f(α₁) = f(1,0,0)t = (3, 2 -2)t = 3e₁ + 2e₂ - 2e₃

f(α₂), f(0,1,0)t = (6, 2, 1)t = 6e₁ + 2e₂ + 2e₃

f(α₃), f(0,0,1)t = (18, -9,9)t = 18e₁ - 9e₂ + 9e₃

Quindi la matrice A è:

A = (

(-3 6 18 )

2 1 6 )

2 2 9 )

Calcolo il polinomio caratteristico di A:

P_A(t) = det (A - t I₃)

det (

(-3 - t 6 18 )

2 1 - t 6 )

-2 2 9 - t)

- (t+3) det ( 1 - t 6 ) - 2 det ( 6 18 ) - 2 det ( 6 18 )

2 9-t 2 9-t 1-t -6 )

= -(t+3) ( 1-t )(9-t) +12) - 2 ( t( 1-t )- 6) - 2 (-36 - 38 + 18t)

= -(t+3) [ ( 1-t )(9-t)+12] - 2 [54-6t- 36- 38+18t]

= -(t+3) [ t² - 10t + 9+12] - 2 (72 - 2t - 36 )

= -(t+3)(t² - 10t + 21) - 2 (2t - 21 = 36)

Esercizio 1

Siano V, W ⊂ ℝ³ versori ortogonali, consideriamo f: ℝ³ → ℝ³ tale che f(x) = V ∧ (x ∧ W).

Trovare autovalori, autovettori di f. Dire se f diagonabile reale con metodi.

Svolgimento:

Scelgo la base B: e₁, e₂, e₃ così:

e₁: = V e₂: = W e₃: = V ∧ W

Dato che V, W sono versori ortogonali implica che B sia una base ortonormale, positivamente orientata.

Nota in particolare:

• e₁ ⦷ e₁ = 1, e₁ ⦷ e₂ = 0, e₂ ⦷ e₃ = 0
• e₁ ⦷ e₂ = e₃ ⦷ e₁ = e₃ ⦷ e₂ = 0
• e₁ ⦷ e₃ = e₂ ⦷ e₁ = e₃ ⦷ e₃ = 1

Dunque calcoliamo la matrice A associata a f rispetto alla base B:

f(e₁) = e₁ ∧ e₁ = 0, f(e₂) = e₂ ∧ e₂ = 0

f(e₂) = e₂ ∧ e₁ - (e₂ ⦷ e₁) e₂

= -e₃ - 0 = -e₃ e₂

f(e₃) = e₃ ∧ e₁ + (e₃ ⦷ e₂) e₂

= 0 - e₃ e₂ = +e₃ e₂

Pertanto:

A =

• ⎛ 0 0 0 ⎞
• ⎜ 0 1 -1 ⎟
• ⎝ 0 1 0 ⎠

3) A = (2, 3, 5)_t B = (0, 2, 5)_t C = (1, 1, 3)_t D = (0, 1, 3)_t

B - A = (-2, -1, 0)_t

C - A = (-1, -2, -2)_t

C - B = (1, -1, 0)_t

D - C = (-1, 0, 0)_t

D - A = (-2, -2, -2)_t

Area = |(B - A) Λ (C - A)| =

|i j k|

|-2 -1 0| = √(26 + 4 + 9)

|-1 -2 -2|

= √39

4) A = (2, 3, 5)_t B = (0, 2, 5)_t C = (1, 1, 3)_t D = (0, 1, 3)_t

U = (B - A) Λ (C - A) =

(B - A) = (-2, -1, 0)_t

(C - A) = (-1, -2, -2)_t

|i j k|

|-2 -1 0| = (2i + 3j + k)

|-1 -2 -2|

α = √(4 + 9 + 9) = √22

SISTEMI LINEARI OMOGENEI

1) Ax = 0

A = 2 1 3 01 2 7 12 5 6 -1

• R₂ → 2R₂ - R₁
• R₃ → 2R₃ - R₁

2 1 3 00 3 1 10 3 3 1

• R₃ → R₃ - R₂

2 1 3 00 3 1 10 0 2 0

rank(A) = 3 → è un'unica delle soluzioni, cioé il sistema omogeneo Ax = 0, che coincide con Ker di L2 in R³, ha dim 5 - 2 = 3

2) Ax = 0

A = 1 0 2 32 1 0 11 1 2 3

• R₂ → R₂ - 5R₁
• R₃ → R₃ + R₁

1 0 0 00 1 -2 -40 0 2 0

rank(A) = 3le infinite delle soluzioni è un sottospazio vettoriale di R³ di dim 5 - 2 = 2

3) Ax = b

A = 3 1 2 51 0 2 12 1 1 6

B = 212

• R₂ → 3R₂ + R₁
• R₃ → 2R₃ - R₁

3 1 3 1 20 1 5 1 10 5 36 11

• R₃ → R₃ - 2R₁

0 7 36 21

rank(A) < 3

rank(A|B)2 < 3 per il sistema di Rouché-Capelliil sistema ammette soluzioni.il sistema ammette soluzioni → rank(A) = rank(A|B)

26)

A = ( 1 -1 0 )

( A ) = ( 0 5 0 )

( 0 0 1 )

pa det (A - A I) = det ( ( A -I ) - )

= - ( -1 ( I ) )

det ( 1- -1 0 )

( 0 5 - )

( 1 0 1 )

( 1- ) ( 5 - ) = 1 = 1

( 1-2) ( - ) ( - 1) = -

R =

= a - a a

T = a + = ( a

D= = a+

2

1 = a + 1

5

1-

2

1 + 5

1- 1

A = 1

A ha a

t a ha a

se

A

in

s a

o o

per

e

A A a a

e