Algebra lineare e geometria - esercizi

1)

E' data la matrice:

M =

• 2  0  1
• k  1  0
• k -1  k

1.1)

Determinare tutti quei valori di k∈R per i quali la matrice M è diagonalizzabile.

Si ha:

M_T =

• 2-T  0  1
•   k  1-T  0
•   k  -1  k-T

e quindi: p(T) = (2-T)(1-T)(k-T)-k(k-1-T) = ... = -T(T²-(k+3)T+2(k+1)) = 0.

Autovalori: T₁=0, T₂=2, T₃=k+1.

Se k+1≠0 e k+1≠2, gli autovalori sono tutti distinti e quindi M è diagonalizzabile.

Se k=-1 => Autovalori: T₁=0 (con molteplicità 2), T₂=2.

Autospazio V(0):

• 2  0  1
• -1  1  0
• -1  -1  -1

x =

• Y = x
• z = -2x

dim V(0) = 1 => M non diagonalizzabile.

Se k=1 => Autovalori: T₁=0, T₂=2 (con molteplicità 2).

Autospazio V(2):

• 0  0  1
• 1  1  0
• 1  -1  -1

x =

• x = y
• z = 0

dim V(2) = 1 => M non diagonalizzabile.

In definitiva:

k≠-1 e k≠1 ⇔ M diagonalizzabile.

1.2)

Determinare, per k=1, la matrice P che diagonalizza la matrice M, la sua inversa P^-1 e la matrice diagonale D = P^-1M.P.

Per quanto visto prima, per k=1 la matrice M non è diagonalizzabile.

Per esercizio svolgiamo il seguente quesito.

1.2*)

Determinare, per k=0, la matrice P che diagonalizza la matrice M, la sua inversa P^-1 e la matrice diagonale D = P^-1M.P.

M =

• 2  0  1
• 0  1  0
• 0 -1  0

M_T =

• 2-T  0  1
•   0  1-T  0
•   0  -1 -T

Autovalori: T₁ = 0, T₂ = 2, T₃ = 1; M è diagonalizzabile.

Ricerca di una base di autovettori.

Autospazio V(0):

2 0 0 | z = -2x 0 1 0 | y = 0 -> Base di V(0)= {(1,0,-2)}; 0 0 1

Autospazio V(2):

0 1 0 | z = 0 1 0 0 | y = 0 -> Base di V(2)= {(1,0,0)}; 0 0 2

Autospazio V(1):

1 0 0 | x = -z 0 0 1 | y = -z -> Base di V(1)= {(1,1,-1)}; 0 -1 -1

Base di autovettori: {(1,0,-2), (1,0,0), (1,1,-1)}.

Le matrici cercate sono:

0 0 0 1 1 1 D= 0 2 0 ; P= 0 0 1 0 0 1 -2 0 -1

Per determinare la matrice P^-1, indichiamo con X,Y,Z le righe di P^-1 e, posto E₁ = (1,0,0), E₂ = (0,1,0), E₃ = (0,0,1), risolvendo il sistema seguente si ha:

X + Y + Z = ₁ Z = ₂ -> X = (0,-1/2,-1/2), Y = (1,-1/2,1/2), Z = (0,1,0) => P^-1 = -2X - Z = ₃ | 0 -1/2 -1/2 | | 1 -1/2 1/2 | | 0 1 0 |

2) In R⁴ sono assegnati i vettori:

w₁ = (1,3,1,-2), w₂ = (-1,-1,5,10), w₃ = (1,1,-3,8)

g(w₁) = (2k², 6k, 2, -4), g(w₂) = (8k⁴,4, 4,-4), g(w₃) = (k-5k², -4, 0, 8) V = L(w₁, w₂, w₃)

2.1) Determinare quel valore di k ∈ R per il quale la corrispondenza g definisce un endomorfismo su V.

Determiniamo l'equazione caratteristica di V:

|1 3 1 -2| |1 3 1 2| |1 3 1 2| |1 -1 5 10| -> |0 -4 4 12| -> |0 -1 1 3| |1 1 -3 8| |0 2 -4 -6| |0 1 2 3| x y z t 0 -3x + y - x + z 2x + t 0 -3x + y - x + z

Autovalori: T₁=0, T₂=2, T₃=1, M è diagonalizzabile.

Ricerca d'una base di autovettori.

Autospazio V(0):

[ 2 0 0 ] x = 0 → Base di V(0)={(0,1,1)}; [ 0 1 -1 ] y = z [ 1 0 0 ]

Autospazio V(2):

[ 2 0 -1 ] { x = 2z → Base di V(2)={(2,-1,1)}; [ 0 -1 1 ] { y = -z [ 0 0 2 ]

Autospazio V(1):

[ 1 0 -1 ] { x = 0 → Base di V(1)={(0,1,0)}; [ 0 1 0 ] { z = 0 [ 1 0 1 ]

Base di autovettori: {(0, 1, 1), (2, -1,1), (0,1,0)}.

Le matrici cercate sono:

[ 0 0 0 ] [ 0 2 0 ] D = [ 0 2 0 ]; P = [ 1 -1 1 ] [ 0 0 1 ] [ 1 1 0 ]

Per determinare la matrice P^-1, indichiamo con X,Y,Z le righe di P^-1 e, posto E₁=(1,0,0), E₂=(0,1,0), E₃=(0,0,1), risolvendo il sistema seguente si ha:

{ 2Y = E₁ { X - Y + Z = E₂ → X={1/2, 0, 1}, Y={1/2, 0, 0}, Z={1, 1, -1} → P^-1= [ -1/2 0 1 1/2 0 0 1 1 -1 ] { X+Y+Z=E₃

2) In R⁴ sono assegnati i vettori:

• u₁=(0,-2,2,6), u₂=(1,-1,5,10), u₃=(3,3,3,0)
• φ(u₁)=(3k²,-1,1,0), φ(u₂)=(8k²,4,4,-4), φ(u₃)=(k+5k²,6,6,0)
• V={L(u₁,u₂,u₃)

2.1) Determinare quel valore di k∈R per il quale la corrispondenza φ definisce un endomorfismo su V.

Determiniamo l'equazione caratteristica di V:

[ 0 -2 2 6 ] x [ 0 -1 1 3 ] x [ 0 -1 1 3 ] x [ 1 -1 5 10 ] y [ 1 0 4 7 ] y [ 1 0 4 7 ] y [ 3 3 3 0 ] → z x [ 1 1 0 0 ] → z x [ 1 0 2 3 ] → z ................... t.................... t.................... t [ 0 -1 1 3 ] [ 0 -1 1 3 ] [ 0 -1 1 3 ] [ 1 0 4 7 ] → [ 1 0 4 7 ] → [0 0 1 2 ] → [ 0 -2 -4 0 ] [0 0 1 2 ] .. [0 0 1 2] .. [ 0 0 -4x+y+z -7x+3y+t ] [0 0 -4x+y + z -7x+3y+t]