Esercizi di Analisi I con soluzioni

Esercizi

1. Si calcoli l'integrale curvilineo

   ∫(2x - y) dx + x dy

   dove γ ha rappresentazione parametrica

   • x(t) = r(t - sen t)
   • y(t) = r(1 - cos t)

   t ∈ [0, 2π]

   ⇒

   = ∫₀^2π [2r - r(1 - cos t)] r(1 - cos t) + t(t - sen t) r sen t dt =

   = ∫₀^2π [(2r - r + r cos t)(r - r cos t) + (t - r sen t)(r sen t)] dt =

   = ∫₀^2π [r² - r² cos t + r² cos²t - r² cos t + r²t sen t - r² sen²t] dt =

   = -r²∫₀^2π (1 - cos t)² + 2 r²∫₀^2π t sen t dt =

   = r²∫₀^2π (sen t - sen²t + t sen t) dt =

   = t²∫₀^2π t sen t dt =

   = r²(∫₀^2π t cos t + cos t dt)

   = r²[-t cos t + sen t]₀^2π

   = -2π r²

2. Si calcoli l'integrale curvilineo

   ∫ ½((x+y) dx - (x-y) dy)

   Su: (x² + y²)

   γ = la circonferenza x² + y² = a² percorsa in senso antiorario.

   Parametrizzazione di γ

   • x(t) = a cos t
   • y(t) = a sen t

   t ∈ [0, 2π]

∫₀^2π(a cos t + a sen t) ∙ a (sen t) - (a cos t - a sen t) ∙ a cos t dt =

∫₀^π/2 (a² cos t + sen t) ∙ (a² sen t) dt =

(3) Si calcoli l'integrale curvilineo

∫_γ(x + y) ds

dove γ = γ₁ ∪ γ₂ ∪ γ₃

Parametrization

γ₁ { x(t) = 0 g(t) = t t ∈ [0, 1]

γ₂ { x(t) = t g(t) = 0 t ∈ [0, 1]

γ₃ { x(t) = t g(t) = -t + 1 t ∈ [0, 1]

ds di: γ₁ ⇒ √(x'(t)² + g'(t)²) dt = b dt

∫₀¹t dt = -∫₀¹t dt = [ t²/2 ]₀ = -1/2

ds di: γ₂ ⇒ ∫ dt = dt

∫₀¹t dt = [ t²/2 ]₀ = 1/2

ds di: γ₃ ⇒ √(1² + (-1)²)dt = √2 dt

∫₀¹(t-t+1)√2 dt = -√2∫₀¹(t) dt = -√2[t ]₀ = -√2

∫(x+y) ds = 1/2 - 1/2 - √2 = -√2

> ∫3t dt = 3/2 t² + c

Quindi > 3t sen t - 3 cos t - t - sen t cos t + sen t - t cos t - 3/2 t² {π/2}₀ = 3 ∫ sen t - 3 cos t - t - sen t cos t + sen t cos t - t/2 + sen t cos t - t

∫ sen t cos t - 3/2 t² - 7/4 + 4

S: Calcolo l'integrale curvilineo

∫_γ y dx + x² dy

dove γ = γ₁ ∪ γ₂ ∪ γ₃

γ₁ → x² + y² = 1 γ₂ → y = x - 1 γ₃ → g: x + 1

Parametrizzazione di γ₁ (della circonferenza)

γ₁ { x(t) = cos t g(t) = sen t

t ∈ [π/2, 0]

∫₀^π/2 (sen t - (-sen t) + cos t cos t) dt - ∫_a^π/2 (6 - sen²t + cos³t) dt

Risultato → ∫_a^b -sen²t dt = -∫_a^b sen t dt = -t - sen t cos t / 2 + c

> ∫₀^π/2 cos³t dt =

c cos²t sen t + 2/3 sen²t cos t dt - cos²t sen t - 2/3 sen³t + c

f(t) = cos²t g'(t) = -2 cos t sen t g'(t) = cos t g(t) = sen t

INTEGRALI MULTIPLI

1) Calcolare _E∫∫ xg dg dx dove E è parte della striscia 0 ≤ x ≤ 1 compresa fra le curve x = g^y e g = x¹

0 ≤ x ≤ 1 x² ≤ g ≤ x¹

∫₀¹ (∫_x^2^x xg dg) dx = ∫₀¹ (x (g²/ 2)_x^2^x) dx

= ∫₀¹ (x²/2 - x⁵/2) dy

= [₁²x/2 x³/3 - 1/2 x^6/6]₀¹ = 1/12

2)

y =x^1/3 x = g¹ 0 ≤ y ≤ 2 0 ≤ x < (g¹) x³ ≤ y ≤ 2

(∫∫ ₂^x 1/^√16+y2 dx dy ) = (∫₀² ( y³x )/_√16+g³ dx ) dy = ∫₀² 1/_√16+y⁷ ( x_y³ dx ) dy =

= (∫₀² x^cy³/2)₀² dy = (1/2)∫₀² y⁶/_√16+y⁷ dy =

∫₀¹ (t - t³ + 2t - 2t⁴ + 3t⁵) dt =

= ∫₀¹ (t_h - t³ + t³ + 3t⁵) dt = [t⁵/5 - t⁶/4 + 3/2 t²]₀¹ =

= 1/5 - 1/4 + 3/20 = 29/20

(3) Calcolare l'integrale curvilineo di:

dove ϕ è il segmento da (0, 0) e (2, 1)

y = 1/2 x perché x - 0/2 - 0 -> y - 0/2 - 0 -> x/2 - y

Parametrizzazione di ϕ {x(t) = t, g(t) = 1/2 t

quindi ϕ: [0, 2] -> ℝ²

inoltre bisogna calcolare d₃ d₃ = || ϕ'(t) || = √x'(t) + g'(t)² dt = √1 + (1/2)² dt = √5/4 dt = √5/2 dt

∫_ϕ (x + y³) ds = ∫₀² (t + (1/2 t)³) √5/2 dt = √5/2 ∫₀² (t + 1/3 t³) dt =

= √5/2 [t²/2 + 1/32 t⁴]₀² = √5/2 4/2 + √5/2 1/32 - 16 = 4√5/4 + √5/4 = 5/4 √5

2) Si calcoli l'integrale doppio

∬_D sen ^π/₂ (x+y) dx dy

dove _D è il parallelogramma di vertici (0,0), (1,0), (1,1), (2,1)

y = x ⇒ x = y y = x-1 ⇒ x = y+1

Per avere un dominio "normale" dobbiamo esplicitare gli estremi di integrazione rispetto a y, quindi:

0 ≤ y ≤ 1 y ≤ x ≤ y+1

∬_D sen ^π/₂ x cos ^π/₂ y dx dy = ∬_D (sen ^π/₂ x cos ^π/₂ y dx dy + cos ^π/₂ x sen ^π/₂ y dx dy)

Risolvo i) e ii): i = ∫₀^y+1 sen ^π/₂ x cos ^π/₂ y dx

i = ∫₀^y+1 sen ^π/₂ x dx * = ∫_y^y+1 sen ^π/₂ x dx = ²/_π [cos ^π/₂ x]