Esercizi di Analisi I con soluzioni

Esercizi

Calcolo dell'integrale curvilineo

Si calcoli l'integrale curvilineo ∫(2x-y) dx + x dy dove γ ha rappresentazione parametrica:

γx(t) = r(t - sen t)
y(t) = r(1 - cos t)
t ∈ [0, 2π]
⇒ ∫₀^2π {2r - r(1 - cos t)}{r(1 - cos t) + r(t - sen t) - r sen t} dt= ∫₀^2π {2r - r + r cos t}{r - r cos t} + {(t - r sen t)(r sen t)} dt= ∫₀^2π (r² - r² cos t + r² cos t - r² cos² t + r² t sen t - r² sen² t) dt == r ∫₀^2π {(1 - cos² t) + t sen t} dt == r ∫₀^2π {sen t + sen t + t sen t} dt == r² ∫₀^2π t sen t dt == r²[−t cos t + ∫cos t dt ]₀^2π= r²[− t cos t + sen t ]₀^2π= r²[−2π + 0 - 0 + 0]= − 2π r²

f(t) = t
f'(t)=1
g(t) = sen t
g'(t) = cos t

Calcolo dell'integrale curvilineo

Si calcoli l'integrale curvilineo ∫(x + y) dx - (x - y) dy dove γ è la circonferenza x² + y² = a² percorsa in senso antiorario.

Parametrizzazione di γ:
x(t) = a cos t
y(t) = a sen t
t ∈ [0, 2π]
perché x² + y² = a²cos²t + a²sen²t = a²(cos²t + sen²t)= a² c.v.d.

Secondo esercizio

Si calcoli l'integrale curvilineo ∫_γ (2x-y) dx + x dy dove γ ha rappresentazione parametrica:

x(t) = r(t - sen t)
y(t) = r(1 - cos t)
t ∈ [0, 2π]
→ ∫₀^2π { 2r - r(1 - cos t) } { r(1 - cos t) + r(t - sen t) - r sen t } dt= ∫₀^2π { 2r - r + r cos t } { r - r cos t } + { (t - r sen t)(r sen t) } dt= ∫₀^2π { r² - r² cos t + r² cos t - r² cos² t + r² t sen t - r² sen² t } dt= r ∫₀^2π { (1 - cos t)² + t sen t } dt= r ∫₀^2π { sen t - sen t cos t + t sen t } dt= r² ∫₀^2π t sen t dt= r² ∫₀^2π [-t cos t + ∫ cos t dt ]^2π₀ = r² [-t cos t + sen t]₀^2π = r² [-2πi + 0 - 0 + w] = - 2πr²

f(t)=t
f'(t)=1
g'(t)=sen t
g(t)=cos t

Calcolo dell'integrale curvilineo

Si calcoli l'integrale curvilineo ∫(x + y) dx - (x - y) dy dove γ è la circonferenza x² + y² = a² percorso in senso antiorario.

Parametrizzazione di γ:
x(t) = a cos t
y(t) = a sen t
t ∈ [0, 2π]
perché x² + y² = a²cos²t + a² sen²t = a² (cos²t + sen²t) = a² c.w.d.

∫2πi2[ a cos(t + a sen t) . a (-sen t) - (a cos(t) - a sen t) . a . cos t] dt =a2 cos 2t + a2 sen t= ∫0πi/2 - a2 sen t cos t . a2 sen t – a2 cos t + a2 sen t cos t/ a2 (cos t – sen t) dt == ∫0πi/2- a2 (sen t + cos t)/ a2 (sen t + cos t) dt= $ \left[ -4 t \right] 0 πi/2 = -4 πi/2 = -2πi

Calcolo dell'integrale curvilineo

Si calcoli l'integrale curvilineo ∫_r (x + y) ds dove r = r₁ o r₂ o r₃.

Parametrizzazione:
r₁:
x(t) = 0
g(t) = t
[t ∈ [1, 0]
r₂:
x(t) = t
g(t) = 0
[t ∈ [0, 1]
r₃:
x(t) = t
g(t) = -t + 1
[t ∈ [1, 0]
ds di r ∫ x^'(t) ds di d: ∫ x^'(t) + g^'(t) dt = dt
ds di d: r₂ ∫ t dt = [t ²/2]₀ ds di d: r₃ ∫ (t – t + 1)= - √2∫ (x + y) ds = −√2

Calcolo dell'integrale curvilineo

Si calcoli l'integrale curvilineo ∫_γ q² dx dove γ è l'arco di circonferenza x²+q²=r² contenuto nel primo quadrante.

Parametrizzazione di γ:
γ:x(t)=r cos t
y(t)=r sen t
t ∈ [0,