Esercizi analisi + soluzioni 1 pt1

Corso di laurea in Ingegneria Meccanica

Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 25.01.2012 (cognomi M-Z)

Cognome ................................ Nome ................................ Matricola ....................

Compito B.

1. Calcolare, se esiste, il limite ^{x2log(1- sin2x)} _limx→3 ^{e1/x2 –2} _{2 cos x}

Risposta: Il limite esiste e vale 4.

2. Determinare, al variare di α ∈ ℝ, il numero delle soluzioni dell’equazione

5 arctan x – 2 log |x| = α.

Risposta: Due soluzioni se α > 5 arctan 2 – log 4 oppure se α < 5 arctan ¹/₂ + log 4; 4 soluzioni se 5 arctan ¹/₂ + log 4 < α < 5 arctan 2 – log 4; tre soluzioni se α = 5 arctan 2 – log 4 o α = 5 arctan ¹/₂ + log 4.

3. Dopo averne dimostrato la convergenza, calcolare l’integrale ^{∫₂3 √2x – 3 – 1} dx.

Risposta: L’integrale vale log 4 – 4.

4. Studiare il comportamento della seguente serie, calcolando la somma nell’insieme di convergenza:

∑_n=2∞(-1)ⁿ(n – 2)²ⁿ _{(n – 1)!}

Risposta: La serie converge assolutamente in tutto R alla funzione S(x) = e^-x2(x⁴ + x²) – x².

5. Fare uno studio qualitativo (tralasciando il calcolo della derivata seconda) della funzione integrale

F(x) = ∫₀^sin2x 1 ^{√log t} dt

Risposta (grafico)

Quindi

3 - e^xcosx = _x→03^-excosx -1_1/4 = 4

2) Posto f(x) = 5 arctan x - 2 log|x|, la funzione è definita e continua in R\{0}. Si ha _x→-∞

lim f(x)=−∞, inxte _x→+∞

lim f(x)=+∞. Inoltre f(x) = ^;5x-2-2x/_1+x² >0

• -2(^x2-5/_x) >0, (x-⁴/_x≥0)

quando f è crescente in (-∞,0) e in [_x[0,x1], decrescente in (0,x₁] e in (x₂,+∞), con

f(x₁)=5arctan2-log2

Allora l'equazione ha 3 soluzioni x

d > 5arctan¹/2-log4 oppure x

se d > 5arctan ¹/2+log4, 4 soluzioni'

se 5arctan ;d = 5arctan¹/2+log4 oppure x =5arctan2-log2

Limi   x_xe^lo_px - x¹, quindi limi  x^x 1 - e^lo_px + x - 1   (x^x- x)

1. Dominio: x^f>0, quindi D:  { -0, 1π}. La funzione continua nel dominio ed dispi: f(x)_-x-xe^lo_px-x

♦   f(x)>0 ⇒ x>0. Proseguiamo lo studio solo per x>0. Limi...

♦   Verifichiamo o ∃  

Limi   (x  e^lo_gx  - d_i) ∞ 

♦   esponenziale inclina. Verifichiamo  

∃   x^x -1 ⊄  

Derivato prima: piu x>x  g'(x) = e^f  

&Exist;  0;x-f(x)_(-)+, quindi f é le crescita

in      (0,+∞)♦♦

in _[a,t] e in _[a,t]. Il punto x₀ = ¹⁄_e è di massimo

locale con f'(x) = - ¹⁄_e e mostra il punto x= e è

di minimo locale con f(e)= e.e = e². Infine, lim _x→+∞ f(x) = 1

= lim _y→+∞ ^yy⁄_(ey^®) = 0,

3) Posto f(x) ≒ arctan ( √(log(1+x) ) ), osserviamo che

x √(1+x²)

per x→0 arctan ( √(log(1+x) ) ) ∼ √(x ), mentre

x √(1+x²)   e l'integra-

le risulta 0 a converge ∀x>0. Invece per x→+∞

x √(1+x²) ≒ arctan ( √(log(1+x)) ) ≈ π ⁄ 2 , quindi per

x→+∞ ≠ π ⁄ 2 ed essendo ±4x^® ∀x>0 dedu-

ciamo che anche l'integrale all'infinito converge ∀x>0.

Quindi: L'integrale dato converge ∀x>0.

4) L'integrale converge poichè la funzione integranda

è un infinitesimo di ordine superiore a qualunque

potenza del tipo 1 ⁄ x^® ∀x>0 , quando x→+∞.

Ponendo t = √^(x_i+1) , de cui x= log (z_i+1) e dx = ^{2t dt}⁄ _t²+1

e l'integrale è ridotto

∫₁^{+∞ 1}⁄ _t³ 2t ⁄ t² dt = ∫_+∞ ²⁄(t²+1) dt. Con

la decomposizione di Hermite ^a⁄ _t + ^bt+c ⁄ _t²+1 + ^d⁄ _t, cioè

dal ^a⁄ _t + ^bt+c ⁄ _t²+1 si ottiene a=0,b=0,c= -2, d=2 e l'integrale derivata

= ( ∫₀^{+∞ 2}⁄(t²+1) dt - ^d⁄_t ) dt = -2 [arctan t +

+ 1⁄t ]^+∞₁ = -2 (π ⁄ 2 - π ⁄ 4 - 1 ) = -2 -π ⁄ 3

6

Corso di laurea in Ingegneria Meccanica

Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 12.03.2012 (cognomi M-Z)

Cognome ................................ Nome ................................... Matricola ...............................

Compito A.

1. Calcolare, se esiste, il limite

   Risposta: Il limite esiste e vale +∞.

2. Determinare, al variare di α ≥ 0, il numero delle soluzioni dell'equazione