Esercizi, Analisi matematica

Esercizi su equazioni differenziali

Esercizio 1

a) Determinare l'integrale generale dell'equazione 0yy = 1.

b) Risolvere quindi il problema di Cauchy con dato iniziale y(0) = 2, determinando il dominio della soluzione.

Risposte:

• a) y = 2x + c, x > e y = 2x + c, x > c R.
• b) y = -22x + 4, x >

Esercizio 2

a) Determinare l'integrale generale dell'equazione 0xy + y = 0.

b) Risolvere quindi il problema di Cauchy con dato iniziale y(−1) = 2, determinando il dominio della soluzione.

Risposte:

• a) y = Rx x²−
• b) y = , x < 0

Esercizio 3

Risolvere i tre problemi di Cauchy dati dall'equazione 0 −y = 2y(1 y) −2 con condizione iniziale y(0) = 2, y(0) = 1/2, y(0) = rispettivamente.

Risposte:

• a) y = 2x²e 1−, x > ln 22x −2e 1 22x²e ∈,
• b) y = R2x²e + 12x²e 1 3
• c) y = , x < ln2x −2e 3 2 2 1

Esercizio 4

Mediante il cambiamento di variabile: z = y/x, determinare l'integrale generale dell'equazione (riconducibile ad una a variabili separabili) x + y0y = .x0 0 (Si osservi che y = xz e dunque y = xz + z)

Risposta:

• y = x ln x + cx, x > 0 e y = x ln(−x) + cx, x < 0, c R

Esercizio 5

a) Determinare l'integrale generale dell'equazione 12y0 =y + .2x x

b) Determinare inoltre la soluzione del problema di Cauchy con dato iniziale y(−1) = 2, specificandone il dominio.

Risposte:

• a) y = c 1 c1 ∈+ , x > 0 e y = + , x < 0, c R2 2x x x x1
• b) y = + , x < 02x x

Esercizio 6

Risolvere il problema di Cauchy ( 00 0y + 2y + 3y = 00y(0) = 1, y (0) = 2)

Risposta:

• y = e^−x (cos( 2x) + sin( 2x))

Esercizio 7

Determinare l'integrale generale dell'equazione 00 0 ty + 2y + 3y = t + e

Risposta:

• y = e^{√ t} (c cos( R1 2 1 23 9 6 2t) + c sin( 2t)) + + , c , c

Esercizio 8

Per l'equazione al punto precedente determinare la soluzione che soddisfa le condizioni iniziali y(0) = 0, y'(0) = 1.

Risposta:

• y = e^{√ t} ( cos( 2t) + sin( 2t)) + + t1 5 2 t 2 e−t −

Esercizio 9

Per l'equazione all'esercizio 6, esistono soluzioni che soddisfano le condizioni y(0) = y(1)? E soluzioni che soddisfano y(0)