Esercizi, Analisi matematica

Esercizi su Equazioni Differenziali

1. a) Determinare l’integrale generale dell’equazione

0

yy = 1.

b) Risolvere quindi il problema di Cauchy con dato iniziale y(0) = 2,

determinando il dominio della soluzione.

Risposte:

√ √

−c/2 − −c/2, ∈

a) y = 2x + c, x > e y = 2x + c, x > c R.

√ −2

2x + 4, x >

b) y =

2. a) Determinare l’integrale generale dell’equazione

0

xy + y = 0.

b) Risolvere quindi il problema di Cauchy con dato iniziale y(−1) = 2,

determinando il dominio della soluzione.

Risposte: c

c ∈

, x > 0 e y = , x < 0, c

a) y = R

x x

2

−

b) y = , x < 0

x

3. Risolvere i tre problemi di Cauchy dati dall’equazione

0 −

y = 2y(1 y) −2

con condizione iniziale y(0) = 2, y(0) = 1/2, y(0) = rispettivamen-

te.

Risposte: 2x

2e 1

−

a) y = , x > ln 2

2x −

2e 1 2

2x

2e ∈

,x

b) y = R

2x

2e + 1

2x

2e 1 3

c) y = , x < ln

2x −

2e 3 2 2 1

4. Mediante il cambiamento di variabile: z = y/x, determinare l’integrale

generale dell’equazione (riconducibile ad una a variabili separabili)

x + y

0

y = .

x

0 0

(Si osservi che y = xz e dunque y = xz + z)

Risposta: ∈

y = x ln x + cx, x > 0 e y = x ln(−x) + cx, x < 0, c R

5. a) Determinare l’integrale generale dell’equazione

1

2y

0 =

y + .

2

x x

b) Determinare inoltre la soluzione del problema di Cauchy con dato

iniziale y(−1) = 2, specificandone il dominio.

Risposte: c 1 c

1 ∈

+ , x > 0 e y = + , x < 0, c

a) y = R

2 2

x x x x

1 3

b) y = + , x < 0

2

x x

6. Risolvere il problema di Cauchy

( 00 0

y + 2y + 3y = 0

0

y(0) = 1, y (0) = 2

√ √

−x 3

Risposta: y = e (cos( 2x) + sin( 2x))

√ 2

7. Determinare l’integrale generale dell’equazione

00 0 t

y + 2y + 3y = t + e

√ √ t

t 2 e

−t − ∈

2t) + c sin( 2t)) + + , c , c

Risposta: y = e (c cos( R

1 2 1 2

3 9 6

8. Per l’equazione al punto precedente determinare la soluzione che sod-

0

disfa le condizioni iniziali y(0) = 0, y (0) = 1.

√

√ √ t

1 5 2 t 2 e

−t −

Risposta: y = e ( cos( 2t) + sin( 2t)) + +

18 18 3 9 6

9. Per l’equazione all’esercizio 6, esistono soluzioni che soddisfano le con-

dizioni y(0) = y(1)? E soluzioni che soddisfano y(0) = y(1) = 0?

Risposte: a) infinite soluzioni

≡

b) solo y(t) 0 2

10. Determinare se esistono soluzioni dell’equazione

00 0 −t

− −

y y 6y = e

che soddisfano le condizioni

(i) lim y(t) = 0

t→+∞

(ii) lim y(t) = 1

t→+∞

(iii) lim y(t) = 0

t→−∞

(iv) y(0) = 0, lim y(t) = 0.

t→+∞

In caso di risposta affermativa, specificare quante sono tali soluzioni.

Risposte: i) infinite soluzioni ii) nessuna soluzione −2t −t

−

iii) nessuna soluzione iv) unica soluzione: y(t) = (e e )/4

11. Determinare la soluzione generale dell’equazione del secondo ordine non

lineare 00 0 2

−

y (y ) = 1

0

(Si usi la sostituzione w = y )

− ∈ ∈

Risposta: y = ln(cos(x+c))+k, x (−π/2−c, π/2−c), con c, k R

12. Risolvere il seguente problema di Cauchy

2

 −

y 1

0

y =

 2 −

x 1

y(0) = 0



−1

Risposta: y = x, < x < 1

13. Risolvere il seguente problema di Cauchy

( 0

x+y

e y + x = 0

y(0) = 0

e determinare il dominio della soluzione.

−x −1

Risposta: y = + ln(x + 1), x >

14. Determinare la soluzione del problema di Cauchy

( 0

y + y sin t = (1 + cos t) sin t

y(π/2) = 0

cos t

− ∈

Risposta: y = 2 + cos t 2e , t R

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