Esercitazioni Fondamenti di automatica proff. Fredy Ruiz, Colaneri Patrizio

Revisionato il 31/05/2026

di pargentopa

Publisher

Vota

Contenuto verificato e approvato dal Team di Esperti di Skuola.net

Appunti completi delle esercitazioni tenute con l'esercitatore RUIZ PALACIOS FREDY ORLANDO (40 ore) durante il corso 2019/20 di Fondamenti di Automatica del prof. PATRIZIO COLANERI del …

Esame Fondamenti di automatica

Facoltà Ingegneria dei processi industriali

Dal corso del Prof. Colaneri Patrizio

Università Politecnico di Milano

A.A. 2019-2020

108 pagine

Appunto

Scarica

Estratto del documento

AUTOMATICA - ESERCITAZIONE

11/03/20

q(t)

u(t) y(t)

Modellistica:

trovare una rappresentazione matematica dell'impianto

Se ha un andamento dinamico (cioè varia nel tempo) trovremo equazioni differenziali che legano ingressi, stato, uscita:

ingresso stato uscita

Rete elettrica:

elemento induttore:

v= L di / dt ; i(t) = 1/L ∫₀^t v(t) dt + i(0)

elemento resistore: statico:

v = R i ;

sapendo i(t) è nota anhe n(t) = R i(t)

elemento capacitore:

v i = C dv/dt → v(t) = 1/C ∫₀^t i dt + v(0)

Kirchhoff:

Σ v = 0 magliaΣ i = 0 nodo

i_x = v(t) - v_C (t)R₁

i_C = C dv_C /dt

c d dν_C / dt + (1/R₁ + 1/R₂) ν_C = 1/R₁ ν(t)

equazione che descrive lo stato del sistema

v(t) - v_C(t) - C dν_C/dt = ν_C(t)R₂

ingresso: v(t)uscita: i_R2

uscita: i₂ = i₄ - i_C = ν_C(t)R₂

cioè

v(t) = ingressoe ν_C(t) / dν_C/dt = variabilidi stato

i₂ = ν_CR₂

⁨⁨⁨⁨˗ 1 e 2 sono il modellodel sistema

AUTOMATICA - ESERCITAZIONE

11/03/20

Modellistica:trovare una rappresentazionematematica dell'impianto

se ha un andamento dinamico (che varia nel tempo)troveremo equazioni differenziali che legano ingressi, stati,uscita.

ingressi→ stati → uscita

Rete elettrica:

elemento induttore:v = L di/dt ; i(t) = 1/L ∫₀^tv(t)dt + i(0)

elemento resistenza: statica:R → V = R·i

sopardo i(t) è nota anchev(t) = R·i(t)

elemento capacitore:v → i = C dv/dt → v(t) = 1/C ∫₀^ti·dt + v(0)

K.eichrtoff:Σv = 0 maglia

Σi = 0 nodo

i₁ = (v(t) - v_C(t)) / R₁

i_C = C dv_C/dt

c dv_C/dt + (1/R₁ + 1/R₂) v_C = 1/R₁ v_i(t) (1)

eq. uscita: i₂ = v_C/R₂ (2)

equazione che descrivelo stato del sistema

ingresso: v_i(t)

uscita: v_C,R₂

=> v(t) - v_C(t) - C dv_C/dt = v_C(t)/R₂

v_i = ingressoe v_C(t) / dv_C sono le variabili di stato

1 e 2 sono il modellodel sistema

esempio 2

in questo caso l'uscita non dipenderà solo dallo stato (ma anche dalla variabile)

u(t) - v_R1 - v_R2 - v_C = 0

v_R1 = R₁ i, v_R2 = R₂ i

i = C ^dv_C/_dt → v_C = ¹/_C ∫_t0^t (x) dt + i(t0)

u(t) - R₁ C ^dv_C/_dt - R₂ C ^dv_C/_dt = u

C (R₁ + R₂) ^dv_C/_dt + v_C = u

equazione diff. che descrive il sistema

eq. uscita:

y(t) = v_C + v_R2 = v_C + R₂ . i =

= v_C + R₂ C ^dv_C/_dt

quindi ricavo da qui ^dv_C/_dt :

y(t) = v_C + R₂ C . (¹/_C(R₁+R₂)) (u - v_C)

y(t) = (1 - ^R₂/_R₁+R₂) v_C + ^R₂/_R₁+R₂ u

uscita eq statica

quindi quando facendo un modello dobbiamo trovare una eq. differenziale per lo stato e una eq. statica per l’uscita.

esempio numerico:

v_C(0) = 0 u(t) = 1V ∀t ≥ 0

α = ¹/_{C (R₁ + R₂)} ṽ_C = - α v_C + α u

v_C(t) = 1 - (1 - v_C(0)) e^-αt

per t = 0 v_C(0) = V_CC (C . I0)

per t = ∞ v_C(∞) = 1 V

v_C(0) = 0 V

v_C(t) = 1 - e^-αt

v_C(0) = 1 V

v_C(t) = 1 - (1 - 1) e^-αt

v_C(t) = 1

quindi v_C

Anteprima

Vedrai una selezione di 10 pagine su 108