Esercitazioni Fondamenti di automatica proff. Fredy Ruiz, Colaneri Patrizio

Automatica - Esercitazione

11/03/20

Modellistica:

Trovare una rappresentazione matematica dell'impianto.

Se ho un andamento dinamico (che varia nel tempo) troveremo equazioni differenziali che legano ingressi, stati, uscite.

Rete elettrica:

Elemento resistore: statica

V=Ri

sapendo i(t) è nota allora

v(t) = R i(t)

Elemento induttore:

v = L di/dt

i(t) = 1/L ₀∫^t v(t) dt _{+ i(0)}

Elemento capacitore:

v = C di/dt → v(t) = 1/C ∫₀^t di _{+ v(0)}

Kirchhoff:

• ∑v = 0 maglia
• ∑i = 0 nodo

i₁ = v(t) - v₀(t)/R₁

i_c = C dv/dt

• i_Z = i₁ - i_c = v_₀(t)/R_₂

=> v(t) - v_c(t) - C dv_c/dt = v_c(t)/R_₂

• c dv_c/dt + (1/R_₁ + 1/R_₂) v_c = 1/R_₁ v(t) (1)

Equazione che descrive lo stato del sistema

Uscita: i_z = v_c/R_₂ (2)

(1) e (2) sono il modello del sistema

Esempio 2

in questo caso l'uscita non dipende solo dallo stato, (ma anche dalla sua derivata)

u(t) =

v_R1 = R₁ i,   v_R2 = R₂ i

v_C =

v_C(t) = R₁ C ^d⁄_dt - R₂ C ^d⁄_dt

C ( R₁ + R₂ ) ^dv_C⁄_dt + v_C = u

equazione diff. che descrive il sistema

eq. uscita

y(t) =

quindi ricavo da qui ^dv_C⁄_dt:

g(t) = v_C + R₂ C ( ¹⁄_{C ( R1 + R2 )} ) (u - v_C)

g(t) = (1 - ^R₁⁄_{R1 + R2}) v_C + ^R₂⁄_{R1 + R2} u

quindi quando facciamo un modello dobbiamo trovare una eq. differenziale per lo stato, e una eq. statica per l'uscita

Esempio numerico

v_C(0) = 0   u(t) = 1 V   ∀t ≥ 0

α = ¹⁄_{C ( R1 + R2 )}  

v_C(t) = 1 - (1 - v_C(0)) e^-αt

per t=0 v_C(0) = V_co ( C )

per t=∞ v_c(∞) = 4 V

NB:

#righe = #output

2.2: Movimento libero

• x(0)
• A = _{[ 1 2 ]}
• λ_1,2 = ^{[ -3 ]} _{[ -4 ]}
• poli complessi coniugati
• x(t) = φ(t)e^λt x(0)

Automomia: det(λI - A) = 0:

• det(λ - 1 2)
• ( - 4 λ+3)
• = 0 = (λ - 1)(λ+5) + 8
• λ² + 4λ + 3 = ρ(A)
• a tradoni
• reali diversi
• re(λ_1,2) < 0 => asintoticamente stabile
• Autovalori: (λI - A)ν = φ => _{[ - 3 0 ]} ^{[ 0 -3 ]}
• (ν_s1) = φ => 2ν_s1 = ν_s2
• > ν_s1 = _{[ 2 ]}
• (ν_s2) = φ => ν₂ = 1
• (λ₂) = φ => _{[ - 1 0 ]} ^{[ 0 -1 ]}
• (ν_s1) = φ => ν_s2 = _{[ 4 ]}

Se invece un passo := 0 ancora diagonalizzabile e quindi

Semplice stabilità

quindi:

k₂ =>

k̄ₓ =>

A = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}

λ = 0 => λI - A = A

Dimensione kernel = 2 = molteplicità geometrica

=> semplice stabilità

ESERCIZIO 5

Deriva le eq. di stato

u = i_L + i_C = 0

u - i_L - C \dot{V_c} = 0

prete que eq. di stato,

V_c = \frac{1}{C} \left( u - i_L \right)

N_R₁ + N_L + N_C - N_R₂ = 0

N_R₁ = R \cdot i_L

N_R₂ = R \cdot i_C = R \left( u - i_L \right)

\begin{bmatrix} \dot{i_L} \\ \dot{V_c} \end{bmatrix} =

\begin{bmatrix} -\frac{2R}{L} & \frac{1}{L} \\ -\frac{1}{C} & 0 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} i_L \\ V_c \end{bmatrix} +

\begin{bmatrix} \frac{R}{L} \\ \frac{1}{C} \end{bmatrix} u

y = \begin{bmatrix} -R & 0 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} i_L \\ V_c \end{bmatrix} +

\begin{bmatrix} R \end{bmatrix} u

D ≠ 0

ricorda eq. di stato

MODELLO

Es. 1.1

F(s) = ^s+10⁄_(s+2)(s+5)

do è razionvole con poli reali unrepetiti.

zicono ogni radice reale genera un andamento esponenziale de segnale quindi ovvero una somma de exp

Heavizide

F(s) = ^A⁄_s+2 + ^B⁄_s+5

A = lim ^s+2⁄_s−>2, F(s) = −4

B = lim (s+5) F(s) = 5

F(s) = ⁻⁴⁄_s+2 + ⁵⁄_s+5 = −4 ¹⁄_s+2 + 5 ¹⁄_s+5

L⁻¹ f(t) = −4 e^−2t s(ωt) + 5 e^−5t ocal(t)

il solvere di f(t) t≳s

se non metto lo sconico il segnale non avrà zero prima di t≳

graficamente f(t):

Es. 1.2

F(s) = ¹⁰⁰⁄_{(s+1)(s²+4s+13)}

Radici: P₁ = −1

R₂,₃ = −2 ± j3

b poli complessi coniugati

Heavizide

F(s) = ^A⁄_s+1 + ^B⁄_s+2−j3 + ^C⁄_s+2+j3

N.B.

Quando ci sono radici complesse tto diventa nello spazio complesso

Y(s) =

-^α/₂ 1/(s+2) - 1/2^α1/(s+α) + 1/2 s_l 1/sy(t) = -^α/₂ e^-2t+ 1/2_^cos(t)

Polo nel piano:

x_lo/2 | ^-α/2 ^-α/s^{commenti a α};

per α → 2:y(t)= 0,5 - _cos(t)

Determinate y(0), y'(0), y'(∞):

y(0) = lim_s→∞ sY(s) = α, y'(0) = TLV; lim_s→∞ s²_^_d(s+2)(s+α)/s

φ(∞)=lim_s→∞ sY(s)=1/2

grafico della risposta alla sinus.

4)

Risposta a regime → ingresso sinusoidale → uscita sinusoidale

u(t) = sin(ωt)

Supponiamo che la risposta a regime di un sistema lineare stabile per un ingresso sinusoidale

sia lo stesso sinusoidale con una modifica nella

ampiezza e nella fase

y(t) = A sin(ωt + φ)

A = |G(jω)|, φ = ∠G(jω)

|G(jω)| = \(\left|\frac{1 - s}{s^2 + 4s + 10}\right|\)

s = 1j

= \(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{8100 + 12100}}\) ≈ 0,0707

φ = \(\arg \frac{N(jω)}{D(jω)}\) = atan\(-\frac{10}{1}\) - atan\(-\frac{10}{-9}\) ≈ -135°

Uscita

(spostata di -135° rispetto all'ingresso u)

E = 4

1. y_f = G(W+V)
2. W = Cu
3. V = L(u-j)

y = G(Cu+L(u-j))

y + GRy = (GC + GL)u => y = G(L + C) / 1 + GR u

FdT da u a y

• se C e r inst allora il C e r instab?

Il polo di C(s) non si iposta quindi C(s) deve essere e stabile