Esame scritto di Analisi II in 20 pagine

Limiti, continuità, curve, derivabilità, differenziabilità

Se f ∈ C²(E) ⇒ ʆE C²(E) + f01 derivabile ⇒ f01 solo differenziabile H1f00 solo continue ∀x,y ∃ fx+y= fx·fy·xf:E→ℝE⊂ℝⁿ, x0∈E⇒ H1, E, ∃ x1n lim_x→x0 f x1 = x(geo. posizioni) - trovi H1 c E: lim... = e → f x1 = - movili H1 : x0 = f E→ℝE⊂ℝⁿ, x0∈ℝⁿ, x1→ℝ[E non limitato]lim x|x(t)| = 0⇔ lim f (x1cosθt, x2sinθt, x1cosθt-y1sinθt) = euniversale rispetto a E∀x∃>0: E(x)⟩∀x ∈ E⟩⇒ E(x)_≤π[cos(θt), y sinθt][cosθt, y sinθt]lim f (x) = ∞ ⇔ lim |f(x)| = +∞x→x ∈ℝ or x →∞

lim f✖x ⇔ lim f (x) = +∞x→∞f: E→ ℝⁿE Cℝⁿx∈EΡ∃i∈ℝslim fa(x) = +∞x→x⇒ lim g(x+c) = +∞x→xE ⊂ℝ^mx∈Ef✙E→ ℝ^m.qf0: conviv x Elim f (x) = f(x)^xE⊂ℝconnesso per archif: E→ ℝ(commesso)∀ [a,b]⊂E, f continua∀ x∃_z ∈ [a,b]lim_x→x˜a x*(cos(t)): x0 ∃E(L)=0∀x∈E ∃ε>0 ∃ε>ε1 ||x-x||E(E) = |β(x) - P|0 ∃E(x)>0 ∀∀∃Ē [E≤E∀ε ∃U(acosθ,x,y,l ⋅fim e) ⋅ D -P|Segue il “solo se”_{valore ∑} ) il seno che caratterizzava tutta la regione∃cR^m ∃x∈E ∃I⊆Rf: E→R continua separatamente e gk: E_k→R è continua in x_k⁺∀x_k∈x_kE_k:= {x:_k | x₁... x_k-1 m∈E} k⁺{x₁, x_kδ è continua separatamente rispetto a x_k ∀x_k

∃cRⁿ ∃x∈E f:E→R k∈Σ_k, n,cf non derivabile parzialmente df gk: E→Rsi definisce ∇f(x) se f è derivabile parziamente esatto a x_k ∀x ∀∊come calcolo le derivate parziali. Quindi la derivazione g_x (x) = ∂_gxin nel limite considerando assenza di non derivabilità studiose ∃lim => f variabile → al numeratore g_x∃cRⁿ ∃x∈E f:E→R n versore ∁Rⁿf non è derivabile in df g_x lim g_xf derivabile in x => I⊆Rⁿlim t=0 ∈f_x∃cR^m ∃x∈E f:E→Rsi dice f: ∃∈E f:∃x∈E β(x):=β(1+2x^-3) ∀xf: E→Rⁿ E cRⁿ x∈E∃f derivabile in x∃f derivabile in x se f ⊆E e f derivabile inf differibile in x => variabile x il 1 1f differibile in xf derivabile f: E→Rp E cRⁿ ∃k∈Ef differibile in x se f differibile in x se x^-f derivabile in x => f derivabile in x si dice concavo in∇f(x) ε ∇g(x) genera ε₀:=cse P=1 f ∇g(x) genera⇒ f: E Rⁿ × E ⇒ f: E ⇒ Rⁿf differenziabile in x ⇒ g₁, ..., g_m sono differenziabili in x ∃U(x): g₁, ..., g_m in U(x) ⇒ g differenziabile in x

Regole

• [g(x) ± g(x)] = g(x) ± g(x)

Nota

e^{g(x)ln f(x)} = g(x)g: A ⊂¹ Rⁿ ⇒ R^m continuo in x, B ⊂¹ R^m continuo in x = g(t), g(A) ⊂ C -> g o g continua in tg: A⊂¹R conv. w.t.e.a. ∠&leng;&orslege;&PGRAME; Z &[i′ gf (CM)f: E⊂⊃&rf&_ƒ: ECR^m → ℝ W