Formulario per esame scritto Analisi II

∫ sin kx · dx = - cos kx / k + C

∫ cos kx · dx = sin kx / k + C

∫₀^2π sin kx · dx = 0   ∀ k ∈ ℕ

∫₀^2π cos kx · dx = 0   ∀ k ∈ ℕ

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

cos α · cos β = 1/2 [cos (α - β) + cos (α + β)]

sin α · sin β = 1/2 [cos (α - β) - cos (α + β)]

sin α cos β = 1/2 [sin (α - β) + sin (α + β)]

∫₀^2π cos^hkx · cos^kkx · dx = {0   se h≠kπ   se h=k

∫₀^2π sin^hkx · cos^kkx · dx = 0   ∀ h,k ∈ ℕ

∫₀^2π sin^hkx · sin^kkx · dx = {0   se h≠kπ   se h=k

∫ sin kx dx = -cos x + c

∫ cos kx dx = sin x + c

∫₀^2π sin kx dx = 0 ∀ k ∈ ℕ

∫₀^2π cos kx dx = 0 ∀ k ∈ ℕ

cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b

cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b

sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b

sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

cos a + cos b = ¹/₂ [ cos(a - b) + cos(a + b) ]

sin a sin b = ¹/₂ [ cos(a - b) - cos(a + b) ]

sin a cos b = ¹/₂ [ sin(a - b) + sin(a + b) ]

∫₀^2π cos h∫k. cos∫ k dx =

= ⎧ π se h ≠ k

⎨ 0 se h = k

⎩

∫₀^2π sin∫∫k. cos∫ k dx = 0 ∀ h,k ∈ ℕ

∫₀^2π sin h∫k. sin∫ k dx =

= ⎧ π se h = k

⎨ 0 se h ≠ k

⎩

FUNZIONI CON MODULI

^P₁ P₂

angolo con ZERO

• S=3t-1t-0
• S-0

SERIE DI FOURIER

a₀=²⁄_T ^T⁄2∫_-T⁄2f(x)dx=-½t

a_k=²⁄_T ^T⁄2∫_-T⁄2f(x)coskxdx=-T⁄2 a_k=0 a₀=0

3.se f_R è pari o dispari posso dividere il PERIODO in 2 e moltiplicare 2

Se a_T⁄2 f(x) è CONTINUA part.

INTEGRALE

^T⁄2∫_-T⁄2f(x)dx = 0

cosk=(-1)^k

SINC⁽¹⁾_k = ⁰⁄_{se k è pari}, ^(2k)

SINC⁽¹⁾_k = ⁰⁄_{se k è dispari}, ^(x+m)

CONTINUITÀ DERIVABILITÀ E DIFFERENZIABILITÀ

1.se f_R è differenziabile ⇒ derivabile ⇒ continuo

2.se f_R è derivabile in tutte le direzioni ⇒ È derivabile parzialmente

3.se f∈C¹ ⇒ derivabile

- polinomio senza MODULI e RADICI.

DIFFERENZIABILITÀ

• ^(x-x₀)⁄_(x-x0)
• ^(y-y₀)⁄_(y-y0)

f(x)_(h) ⁄ (y-y₀) [x₀y₀(h)]

K

DERIVATE DIREZIONALI

1.Se f_R è DIFF. ⇒ ∂f_yx ⁄ ∂[z₀]

2.se f(0) non DIFF. ⇒ ^lim⁄_h→0 R(h)

PIANO TANGENTE

z=∂f(x₀y₀) + ∂f_yx₀ (y-y₀) + ∂f_yy–0

FLUSSO DI UN CAMPO F ATTRAVERSO UNA SUPERFICIE ∑

Φ_∑(F) = ∫∫_D F(Ψ(u,v)) • {(Ψ_u x Ψ_v) / |Ψ_u x Ψ_v|} dudv

FLUSSO USCENTE DA UNA SUPERFICIE E TEOREMA DI GAUSS O DELLA DIVERGENZA

∬_E < ∇ • F > dx dy dz = ∮_∑ < F • d∑ >

∇ = { ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z } = { ___ }

F = { F₁ F₂ F₃ }

*Il teorema della divergenza considera il flusso uscente da una superficie nel caso del calcolo di un flusso entrante si pone il – davanti all'integrale

FLUSSO E TEOREMA DI STOKES O DEL ROTORE

∬_D ( ∇ x F ) (Ψ(u,v)) • {(Ψ_u x Ψ_v)}s dudv = ∮_∂∑ F dx = ∫_A F dx = ∫_A ( f₁ dx + f₂ dy + f₃ dz )

∇ = { ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z }

ROTORE = { ( ∇ x F ) = ( ∂F₃/∂y - ∂F₂/∂z ) ( ∂F₁/∂z - ∂F₃/∂x ) ( ∂F₂/∂y - ∂F₁/∂y ) }

F = { F₁, F₂, F₃ }

La circuitazione equivale al lavoro del campo di forze lungo la superficie presa positivamente (la percorro tenendo il dominio a sinistra)

F = F dx = F_s componente del campo di forze a cui sostituisco

g = la componente della curva parametrizzata

dx = derivata della componente della curva parametrizzata

Equazioni differenziali del 1^o ordine

• Variabili separabili
• ^y'=A(x)⋅B(y)
• 1. B(y)≠0 ⇒ y = _α è soluzione
     1. { x = α }
  2. d_y/d_x = α_0,x,yA(x) ⇒ d_y/B(y) = α_xA(x)
• • [1/B(y)] d_y = [A(x)] d_x + c
• Equazioni omogenee di Maffredi
• ^y'= _f(x/y)
• Rapporto tra polinomi omogenei dello stesso grado.
• Sostituzione
• z= _y/x ⇒ y=z⋅x ⇒ y' = x⋅z' + z
1. [1/x*z+z] = [ϕ(x)]
• ⇒ d _z/1 ^{[x * z]} = ϕ(x*t + x) ⇒ diventa a variabili separabili
• Equazioni differenziali lineari nel 1^o ordine
• ^y'= a(x)⋅y + b(x)
• y(x)=e^{{∫[a(x)]d_x} [b(x)⋅e -∫a(x)d_x+c]}

Equazioni differenziali del primo ordine in forma normale

y' = α(x)yⁿ + β(x). yⁿ ≠ 0 (lineare)

y' = α(x) + β(x).yⁿ ln y^n-1 (variabili separabili)

Divido per yⁿ se y ≠ 0

^y'/_yⁿ = α(x) + β(x) y^1-n

Sostituzione y = z^1/1-n

^y'/_yⁿ = ^y'/_y^m

Se m=n+k => moltiplico per y^m

Equazioni differenziali del 2° ordine

• Ordinaria in cui manca y'

F(x, y", y) = 0

• Sostituzione: z = y', z' = y"

Si riconduce ad un’equazione differenziale del 1° ordine

• Ordinaria in cui manca x' (equazioni autonome)

F(y', y, y") = 0

• Sostituzione: z = y^'

Si riconduce ad un’equazione del 1° ordine

Lunghezza di una curva

L = ∫_a^b |d s| = ∫_α^β |u'(t)|dt

Integrale della norma del vettore derivato

Lavoro di un campo lungo una curva

W = ∫_α^β < F(γ(t)) | γ'(t)> dt = ∫_a^b < F(ψ(t)) | u'(t)>dt

Coordinate polari

• x = x₀ + ρ cosθ
• y = y₀ + ρ sinθ
• |J| = ρ

Coordinate cilindriche

• x = ρ cosθ
• y = ρ sinθ
• z = z
• |J| = ρ

Coordinate sferiche

• x = ρ sinψ cosθ
• y = ρ sinψ sinθ
• z = ρ cosψ
• |J| = ρ² sinψ

Coordinate ellittiche

• x = a cosφ
• y = b sinφ
• (x/α)² + (y/β)² = 1
• |J| = a b ρ

Coordinate cilindriche ellittiche

• x = α cosφ
• y = β sinφ
• z = z
• |J| = a b ρ

Cambio di coordinate e calcolo dello Jacobiano

∂x'₂/∂x₂ ∂y'/∂x ∂x/∂y = |J|

∂z'/∂y∂x ∂y₁/∂x'₂⇒ ∂/∂x

Derivate di u rispetto a l

Teorema di Guldino (Volume)

• Rotazione attorno asse y

V = α ∫ ∫ x dx dy

• Rotazione attorno asse x

V = α ∫ ∫ y dx dy

α = angolo di rotazione

Formula di Gauss-Green (forme differenziali lineari)

∬_D ( ^∂N/_∂x - ^∂M/_∂y ) dx dy = ∮ ( M dx + N dy )

Se W è chiusa ⇒ ∮ W = 0

Parametrizzazione di una superficie regolare

• x = x(u,v)
• y = y(v)
• z = z(x(u,v))

Ψ_u = (1,0, ^∂z/_∂x(u,v) )   r_ux r_v = ( -^∂z/_∂y(u,v), -^∂z/_∂v(u,v), 1)

Ψ_v = (0,1, ^∂z/_∂y(u,v))

‖ r_u x r_v ‖ = √(^∂z/_∂x)² + (^∂z/_∂y)² + 1

Parametrizzazione di una superficie di rotazione

• x = t cosσ
• y = t sinσ
• z = z(t) o funzione rispetto con la σ

r'(t) = (cosσ, sinσ, z'(t))   ‖ r_σ x r_t ‖ = x(t) √(x'(t))² + (z'(t))²

r_σ(t) = ( -t sinσ , t cosσ , 0)

Area di una superficie

A = ∬_D ‖ r_u x r_v ‖ du dv   D = proiezione della superficie su un piano

Area di una superficie di rotazione

A = 2π ∫_a^b ‖ r'_σ x r_t ‖ = 2π ∫_a^b x(t) √(x'(t))² + (z'(t))²

(modulo del normale che ruota)

METODO DELLA VARIAZIONE DELLA COSTANTE ARBITRARIA - 2^o ORDINE

1. Domino:

   a₂y'' + a₁y' + a₀y = f(x)    Equazione Lineare II ^ordine

2. Risolvere l'equazione c omogenea e formazione caratteristica:

   • a₂x'' + a₁x' + a₀x = 0
   • a₂m² + a₁m + a₀ = 0

   Scrivo gli zeri dell'equazione ^{caratteristica}

   ...

   Det \not= 0 → λ = α ± ib

3. Scrivo l'integrale particolare:

   y₀(x) = K₁(x) · y₁(x) + K₂(x) · y₂(x)

4. Costruisco poi il sistema:

   { K'₁(x) · y₁(x) + K'₂(x) · y₂(x) = 0

   { K₁(x) · y'₁(x) + K₂(x) · y'₂(x) = { f(x) / a₀(x) }

   Coefficiente ^γ''

5. Calcolo il Wronskiano:

   W(x) = | y₁(x)   y₂(x) |

     | y'₁(x)   y'₂(x) |

   *Condizione necessaria T. di Cramer per avere (soluzione)

6. Calcolo K'₁(x)   e   K'₂(x)   con la regola di Cramer

   K'₁(x) = { f(x) · y₂(x) } / { a₀ · W(x) }

   K'₂(x) = { -f(x) · y₁(x) } / { a₀ · W(x) }

   W(x) = ...

Metodo di Somiglianza: 2^o Grado

1. Dominio: Calcolo zero equazione caratteristica

2. a₀y^(m) + a₁y^(m-1) + a₂y^(k)

   Pongo λ^(k)∈ℝ

   1. Pre-grado massimo tra il grado P(x), Q(x)
   1. Pi=ki e ai sono costanti ed in loro
   2. Se P≠0 ⇒ non c'è l'esponenziale
   3. Se D=0 ⇒ non ci sono le funzioni logaritmiche
3. λ=Pt±λ

Dopo aver trovato ② calcolo il grado del polinomio in cui ho bloccato cost: Pt± (λ)

1. Scrivo l'integrale particolare:

   y₀(x)={... n=Pt±2}

   = e^cλ(...)cos(...)+(...)sin(...)}

2. Calcolo la derivata 1^a e la derivata 2^a dell'integrale particolare
3. Costruisco ai valori delle ... lettere cost: s fa per il metodo di Hermite

6) Dopo aver calcolato i valori delle lettere li sostituisco all'integrale particolare.

7) Scrivo l'equazione dell'integrale generale (y(x) = c₁y₁ + c₂y₂) + integrale particolare.

8) Calcolo c₁, c₂ con lo stesso metodo della sostituzione delle costanti arbitrarie.

Equazione di Eulero

a₀xⁿy⁽ⁿ⁾ + a₁x^n-1y' + a₂y = f(x)

(x₀) = 0 , y⁽ⁿ⁾ = y_{n Problema di Cauchy}

x > 0 -> x = e^t

x < 0 -> x = -e^-t

Sostituzioni

x = ce^t/^ct

- y' = e¹/c^t

* Doppie la sostituzione ottengo un'equazione del 2^o ordine a coefficienti costanti