Esame di scienza delle costruzioni - sintesi lezioni

Capitoli: scalari, vettoriali e tensoriali

Si consideri una regione D dello spazio numerico tridimensionale R³.

D ∈ R³

Cioè un insieme "connesso" che goda della seguente proprietà: comunque si considerano due punti al suo interno, esiste una linea retta contenuta in esso e avente tali punti come gli estremi (fig.1). In particolare una regione dello spazio tridimensionale n-dimensionale troppo se tutta trascurata e costituita da punti di sola regione regolari che operano il superamento di esso, senza appartenere alla linea. Un esempio banale di regione irregolare è rappresentato da una sfera (fig. 2) una sedia in ceramica. In tal tavolo sulla un foglio è possibile definire il dominio ad eccesso degli spazi. Ciò permette di modellare una regione dello spazio tridimensionale R³ e funzione parametriche così definite, cioè una funzione a valori nell’insieme R dei numeri reali:

f: D ∈ R³ → R

In altri termini la funzione f associa ad ogni una terna di numeri reali coordinati a un punto appartenente a D, il numero reale:

f(x₁, x₂, x₃) ∈ R

Si dice che la funzione f è di classe C¹ su D le derivate f^(D) se essa è continua su D ed sia dotata di derivati parziali, perciò quelli che esistono in tutti i punti della regione D.

Chapter 1

Campi: scalari, vettoriali e tensoriali

Si considera una regione D dello spazio numerico tridimensionale R³.

D ⊂ R³

Cioè un insieme "connesso" che goda delle seguenti proprietà: comunque si considerano due punti ad esso appartenenti e intera una linea regolare aperta in esso contenuta di cui tali punti siano gli estremi (Fig.1).

Insieme connesso

Un particolare pure semplice dello spazio tridimensionale n definizione recalcitrante le due trasversali costituisce a punti di piano l'intersezione della soglia regolare e Quindi il primo taurintue delle due aperti al livello di probabilmente alla linea che sopraavvive dei gasoli curve e inchiodata. Un esempio banale di "regione regolare" è rappresentato da una sfera cu se rada a pure volare un coreografo seguente in tabella sdol. in., facemmo possibile descrivere lo stimolo ad eccesivo degli sporli.

Cio permette contenere una regione d dello spazio dienuariumale R³ e innuma funzioni numericacit me definita, cioè iur > funzioni a mallow nell'insieme R dei numeri reali:

f: D ⊂ R³ → R

In altri termini, la funzione f assegna a ogni lui tornio di numeri reali > coordinato di un punto appartenuto a D, il numero reale.

f(x₁, x₂, x₃) ∈ R

Si dice che la funzione f di classe C¹ su D e di scrive f ∈ C¹(D) se essa e continua su D ed dotato di derivato parzuli continui quela se continuta su tutti in passi di punti della regione D.

Remark:

I campi sono funzioni che hanno come variabili indipendenti le coordinate, cioè che è lo stesso l'insieme dei numeri reali che rappresentano le coordinate cartesiane del punto individuato dal suddetto vettore (fig. e). Le immagini di tale funzioni sono numeri reali per i campi scalari, vettori nel caso dei campi vettoriali, tensori nel caso dei campi tensoriali.

Fig. e

X vettore posizione

X = x₁i₁ + x₂i₂ + x₃i₃

X̅ = ( x₁, x₂, x₃ )

Un campo scalare è quindi una funzione che associa ad ogni terna di numeri reali (x₁, x₂, x₃) ∈ D un numero reale Θ = Θ(X) = Θ(x₁, x₂, x₃) ∈ R. Si pensi ad esempio al campo di temperature in un corpo continuo.

Ad un campo vettoriale μ = μ(X) sono associatibiunivocamente n campi scalari delle componenti rispetto alla base { i₁, i₂, i₃, i₄ }

μ_x = μ_x(X)

μ_y = μ_y(X)

μ_z = μ_z(X)

Ad un campo tensoriale del secondo ordine, T = T(Y) sono sempre associati n² campi scalari delle componenti di T rispetto alla base { i₁, i₂, i₃, i₄ }

T₄₄ = T₄₄(X)     T₂₃ = T₂₃(X)     T₃₄ = T₃₄(X)

T₂ = T₂(X)     T_n = T_n(X)     T_b = T_b(X)

Nell'ambito della meccanica dei corpi continui, sono indi...