Esame di scienza delle costruzioni - sintesi lezioni

(Chapter 1)

Campi scalari, vettoriali e tensoriali

Si considera una regione D dello spazio numerico tridimensionale R³.

D ⊂ R³

cioè una regione "connessa" che gode della seguente proprietà: se si considerano due punti ad essa appartenenti, esisterà una curva regolare, giacente in essa, contenente due tali punti siano gli estremi (Fig.l).

Insieme connesso

In particolare, una regione dello spazio bidimensionale, s’definisce regolare se esiste una superficie a contorno di essa, cioè giace contenuta in una superficie regolare e chiusa. Il piano tangente, sia interno che esterno, è parallelo alla linea che congiungendoli, tale piano viene in pratica a coincidere con la superficie del solido contenente la regione di riferimento. Un esempio banale di regione regolare è rappresentato da una superficie sferica, o più ancora, un parallelepipedo. Un tavolo, sulla cui faccia è possibile descrivere le numerose ad esseccess degli oggetti.

Ciò premesso, consideriamo una regione D dello spazio tridimensionale R³ e una funzione monoammetrica ben definita, cioè una funzione a valori nell'insieme R dei numeri reali.

f: D ⊂ R³ → R

In altri termini la funzione f associa ad ogni terna di numeri reali che coordinano ogni punto appartenente a D, il numero reale f(X₁, X₂, X₃) ∈ R

Si dice che la funzione è definita o su D se l'immagine f o (D) è un sottoinsieme di D ed è dotata di derivata parziale, derivata seconda in tutti o in parte di tutti i punti della regione D.

Remark: I campi sono funzioni che hanno come variabile indipendente un insieme convenuto e cioè uno e lo stesso insieme di numeri reali che rappresentano le coordinate cartesiane del punto individuato dal vettore X. (Fig. 8) Le immagini di tale funzione sono numeri reali nel caso di campi scalari "vettori" nel caso dei campi vettoriali, "tensori" nel caso dei campi tensoriali.

X vettore posizione

X = X₁i₁ + x₂i₂ + x₃i₃

X = (x₁, x₂, x₃)

Un campo scalare è quindi una funzione che associa ad ogni terna di numeri reali (x₁, x₂, x₃) ∈ D un numero reale; Θ = Θ(X); = Θ (x₁, x₂, x₃) ∈ R.

Si pensi ad esempio al campo di temperature in un corpo continuo.

Ad un campo vettoriale u := u (x) sono associati univocamente n campi scalari delle componenti del vettore rispetto alla base {i₁, i₂, i₃, i₄};

u₁ = u₁ (x)

u₂ = u₂ (x)

u₃ = u₃ (x).

Ad un campo tensoriale del secondo ordine, T := T (x) sono quindi associati n² campi scalari delle componenti del T rispetto alla base {i₁, i₂, i₃, i₄};

T₄₄ = T₄₄ (x) T₂₃ = T_2r (x) T₃₄ = T₃₄ (x)

T_pr = T_pr (x) T_{i j} = T_ij (x)

Teorema della divergenza per campi tensori:

Sia definito in ogni regione regolare D dello spazio tridimensionale, la cui frontiera S, sezione di una curva vettoriale. In ogni punto di D sia definito come l’unico vettore che soddisfa la proprietà:

Avendo indicato con (:) il simbolo del trasporto.

Rispetto alla base ortonomale le componenti del vettore sono le seguenti:

Le quantità T_ij(x₁, x₂, x₃) sono due campi reali associati biunivocamente al campo tensorial T = T(x).

Teorema della divergenza per campi vettoriali:

Può essere generalizzato al caso dei campi tensori:

Aveendo n il vettore della normale uscente da S.

Dimo:

Fare riferimento alle noti osserv. vettoriale che il reciproco di un qualsiasi campo vettoriale V(), estto ed una trama T è per definizione il vettore:

Ottenere è un vettore la cui siesima componente è data delle ben note relazioni:

Conseguentemente per il lemma di Gauss, risulta:

per ogni campo di spostamenti cinemat..amente

ammissibili virtuali di misura de la parte

superficiale del solido unità di S_u

Si potrebbe interpretare il primo membro della (2.4)

come il lavoro eseguito dallo sforzo di tensione T_i

interni nel solid per gli spostamenti virtuali del

campo µ

analogamente quanto detto altresì del secondo mem.

S_u dalla forza esterna che ottiene gli interni S_u e della

forze di equatore che ottiene il solid B &

suochi presi alla quantita del equilibrio giustato

suobj &om.. per cui la 2.4 recibe anche il nome di

equazione dei lavori virtuali

DIM

allo sop. di dimostrare l'equilibrio tra i...

medvalue dell' integrale (2.4).. i vincoli al termine

che il termine Q confine quel... ...mente

trasmutato utilizzando il tenore della cinque...

del campo vettoriali

Risulta infatti:

∫_e div (T . ᴎ) dv = ∫_e ∂_ᴎij(T_i,_j x ∂_xyz)

= ∫_e (∂T_ix ∂_xyz + T_ij ∂_xyz) dv

= ∫_e (div T + V.T) dv (2.5)

Di altra parte decomponendo il nuovo prodotto di

fin T_i per parte virtuali in un parti automatic divor di new tutelando che riguardo basculamento

di tutto dalla (2.5) si deduce:

∫_c T . V_Su dv

= ∫_c - I_ᴎ (ᴏ_e . V dv) dv

= ∫_e div (T . ᴏ_e) dv - ∫ (div T) . ᴎ dv

Allora pure per il teorema della divergenza e

Capitolo 4

Da mostrare se il materiale è IPER-ELASTICO

T, E ∝

Tipi: Cauchy, Green

superficiale memorabile Haswell

T invarianti proprietario immemoriale Haswell

proprietà di simmetria minore

Matriciale proprietà, contratta. Matematica il suo proprietario.

Materiale iper-elastico

In correspondenza uno che uno stato deformatore ed _i viene definito CAMPO DEFORMATIVO una qualunque curva che unisce ₀ e ₁.

E₀ = E(α₀)

E₁ = E(α₁)

E=E(α)

α ∈ [α₀, α₁]

Definiamo lavoro energetico nel continuum deformatorio per unità di volume da

l(P) = ∫_α0^α₁ C[E(α)] : dE(α)/dα dα

φ(E) ∝ ∇ φ(E) - C(E)

Cercare di eliminare, rompere con il campo di forze

Capitolo 5

PROBLEMA ELASTO-STATICO: abbiamo come equazioni e dispositivi:

• equazioni di equilibrio
• leggi sperimentali
• problema non sono di incognite da e campo di spostamento
• vincoli
• trazioni

Studiare il PROBLEMA ELASTO-STATICO sarebbero di definire e cosa e questo problema.

Allora la prima ipotesi, assioma di blocchi vincolati, possiamo ancorare infinito piccolo campo ammesso e da dò definizione infinito piccolo portando esame e trazione oltre al blocco ipotesi, e infopunto la configurazione vuole alla parete finale.

A quel punto conviene [integro come ok più] picco.

Questo punto [...] e campi [...] vengono.

Campo [...] altro continuo basta tutto vuole capire che la parte di unistà la continua oltre in questo tipo tale infinito in quello e la fatta con quello della seconda tensione quella che necessati tolto le definizioni e depote a quelle trazione per sapere nodo, prolessa, colonnineando la tensione deformazione da punto di corpo col esame della conf. fluc. come referito talco facendo tensore osservazione quindi nel campo scala dell'ind. stato dioposo finito conviene come non finire tale solo detto e [...] (entro remoto e quello finito precisa correlata la come configurazioni).

Vado quando in 0 (assioma) tendo; e sarebbe lo stesso al fermato capo; tutte deformismo un colloco e stato tracciato con spazio e deformazione? E come lagos chi Haake commantioria: I = ζ(ξ|ɛ)

CONCETTO di STATO-ELASTICO: le terre e sono codificates a seguenti: equazioni

\[\div \mathbf{T} + \mathbf{b} = 0 \quad in \quad \mathcal{E}\]

Vuol dire, ammettere che il campo di trazione di retta, essera equilibrato con la forza note di volume \([\mathbf{b}]\)

\[\varepsilon + \varepsilon^{*} = f(\nabla u+\nabla u_{T}) \quad in \quad \mathcal{E}\]

Vuol dire che il campo di spostamento u ammette affine col campo di deformazione \([ɛ^{*}]\) a un campo di distruzione \([ɛ^{*}]\)