Riassunto per esame scienza delle costruzioni modulo b

RIEPILOGO SCIENZA DELLE COSTRUZIONI 1B

ANALISI CINEMATICA: VINCOLI

• TRIPLI
• DOPPI

• INCASTRO

  • φ_x = 0
  • M_a = 0
• CERNIERA
• PATINO
• TRIANCIETTO

• P_a = 0

• ROTELLE

STRUTTURA ISPETTRICA ISOSTATICA

Passi per fare l'analisi cinematica:

• Mettiamo a confronto il n^o di gradi di libertà ed il n^o dei vincoli per capire la tipologia della struttura.

Passo 1: Definire il grado di libertà (GDL) come GDL = 3⋅n - con n = n^o di membri (aste).

Passo 2: Definire il grado di vincolo (GDV), ovvero fare la somma dei tipi di vincolo.

Passo 3: Definire la struttura secondo tre classi principali, che sono:

• Ipotastica gdv < gdl in questo caso.
• Isostatica gdv = gdl e vincoli ben posti.
• Ipostatica gdl < gdv.

L'analisi cinematica può essere affrontata in 2 modi che ci permetteranno di capire se una struttura è isostatica:

1. Metodo Analitico

   • Consiste nell'usare le conoscenze geometriche (matrici, rango, det...)

   Consideriamo un esempio:

   Abbiamo una mensola, quindi un vincolo triplo, perciò ha la seguente equaz del vincolo.

   • Mu = 0
   • Va = 0
   • Pa = 0

   Il metodo analitico in presenza le condizioni del vincolo sottoforma di matrici.

   quindi con la mensola ho che:

   perciò posso affermare che det (A) ≠ 0 ⇒ Isostatica.

Soluzione Statica di Strutture

HA=0

VA=V_E-F=0

VB=0

VA=v₀:

B): VA=2L V_B-4L v_B=0

esegui i vergati

He: coso + oul ce

V: sC=C

segue 2 alze a 9

He: coso - oul ce + ve zero - ai o ?= 0

H_e ce:

He: o-Ve- eo = 0

scegli o stite a

scegli tu perforre due la o serve un equilibrio

faccio le equazioni di equilibrio e trovo tutti i dati incerinati

le forze devono essere messe al verso uno opposto all'altro in modo che risultono in equilibrio

Soluzione Statica

verifichiamo infine che le 3 strutture risultino in equilibrio

Altro Esempio

F - H_D=0 ⟹ H_B=F

VA-2l-F=0 ⟹ VA=3F

F: O - 2F: 3Q - H_D: O - H_D: e - F=3Q

- Guardiamo un altro esempio:

1/2 l

2

1/l

1/2/l

In questo caso il momento è tutto continuo, quindi l'equazione del momento è caratterizzata solo da una lunghezza (...non viene spezzato di partenza).

- Come visto prima scegliamo un'origine di x e consideriamo il punto di partenza. Prendiamo θ come origine

M^AB(x) = a_x + ¹/₂l x - 1¹/₂l

essendo tagliato moltiplicato per x

- positivo perché la pendenza sale

- Se avessi voluto considerare solo il tratto CB:

M^CB(x) = ¹/_l x + ¹/₂l x

- positivo perché la pendenza sale

EQUAZIONE DELLA LINEA ELASTICA

Dati:

• PROBLEMA CINEMATICO
• ^φ' = u'
• ^ε₀ = u"'
• x = φ'
• PROBLEMA DELL'EQUILIBRIO INDEFINITO
• N' = -p
• T = -q
• M' = T
• EQUAZIONI DI LEGAME COSTITUTIVO
• N = EA ^ε₀
• M = EI ^χ

- faccio la derivata di N = EA ^ε₀, ottenendo N' = EA ^ε₀, ed essendo N' = -p, dunque- facendo figurare le equazioni con le componenti derivate ottengo

EA u_xx(x) - p(x)

EI v^iv(x) = q(x)

-Partendo dall EQ. DELLA LINEA ELASTICA, poiché l'incognita è v, integriamo 4 volte e otteniamo il valore di v

E I v^iv(x) = 0

① EI v"'

• = c₁ + costante dovuto all'integrale

② EI v" = c₁ x + c₂

③ EI v' =

• c₁ ^x2/₂ + c₂ x + c₃

④ EI v(x) =

• c₁ ^x3/₆ + c₂ ^x2/₂ + c₃ x + c₄

Quindi posso riassumere nel seguente modo:

• EI v^iv(x) = 0
• -T(x) EI v'"(x) = C₁
• -M(x) EI v"(x) = C₁ x + C₂
• -φ'(x) EI v'(x) = C₁ ^x2/₂ + C₂ x + C₃
• v(x) EI v(x) = C₁ ^x3/₆ + C₂ ^x2/₂ + C₃ x + C₄

2 EQUAZIONI DELLA LINEA ELASTICA

• Possono riassumere i nostri risultati, facendo prima queste osservazioni
• 1) In quest'ultima equaz. ho v(x), dunque l'ABBASSAMENTO
• 2) Nella penultima equaz. ho v' (x), che ricorda essere φ = v'(x), dunque ho la ROTAZIONE
• 3) Nella② posso trovare l'IMMONTIO
• 4) Nella ① ho il TAGLIO

Per trovare le condizioni al contorno:

• (abbassamento) V se le travi si può abbassare
• (rotazione) V'(φ) o se può ruotare
• M T REAZIONI VINCOLARI

OTTUZZA IL PLV

Facendo i due sistemi (congruente ed equilibrato) e aggiungo la forza unitaria ed elimino tutte le forze ei carichi presentiottengo per il nostro sistema equilibrato:

Completa la tabella con i valori elementi:

• ^EL
• ^CR
• lunghezza
• 2
• √2
• 1
• 2
• √2
• 1
• 2

Ora calcola δ_s con il PLV:

^CL_v = ^ELoltre

• con ^e
• aggiungo: ^ds

δ_s&textrm{dx} =

= 1 = ^EA [

= EL / _EA ( 8L + 4√2 ) ] =

A CARRELLO INTERNO

ΔW ≠ 0ΔV = 0Δϕ = 0

corrisponde a

CERNIERA

ΔN = 0ΔM = 0ΔT ≠ 0

A PATTINO INTERNO

W ≠ 0V ≠ 0ϕ = 0

corrisponde a

BICCHIERE

N ≠ 0M ≠ 0T ≠ 0

A CARRELLO ESTERNO

W ≠ 0V = 0ϕ = 0

corrisponde a

CERNIERA

N ≠ 0M ≠ 0T ≠ 0

STRUTTURA IPERSTATICA

Sono quelle in cui GDL > GDV

In generale diciamo che abbiamo un eccesso di vincoli. Le strutture di questo tipo hanno varie CATEGORIE.

STRUTTURA 1 VOLTA IPERSTATICA

GDL - GDV = -4

Andremo ad analizzare la struttura iperstatica con i metodi che abbiamo visto fino ad ora, ovvero:

• LINEA ELASTICA
• ANALOGIA DI MOHR
• PLV (più richiesta all'esame)

LINEA ELASTICA

Supponiamo che: EI v'''(x) = 0EI v''(x) = C₁EI v'(x) = C₁x + C₂[EI v(x) = (C₁x² / 2) + C₂ x + C₃]EI v(x) = (C₁x³ / 6) + (C₂ x² / 2) + C₃ x + C₄

Dobbiamo considerare il carrello come vincolo in eccesso (PASSO 1), ovvero CERCARE IL VINCOLO DA DEGRADAREDobbiamo poi TROVARE L'INCOGNITA IPERSTATICA che corrisponde al vincolo in eccesso (PASSO 2), cioè la reazione che esercita il vincolo in eccesso