Equazioni differenziali lineari

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI

∈

Dato , viene definita un’equazione differenziale lineare come:

n N

(n) (n−1) '

( ) ( ) ( ) ( )

+ +…+ +

y a x y a x y a x y=f x

n−1 1 0

( ) ( )

a x , i=0 → n

Con coefficienti dell’equazione differenziale, è detto

f x

i

termine noto, con la condivisa con i coefficienti, essa è appartenente ad un

x

( )

intervallo . Equazioni del tipo:

a , b

√

' ' 2

( ) ( )

+x =x =f

y y=f x , y y x

Non sono lineari, in quanto il termine non gode delle proprietà di linearità

y

( )=αL ( ) ( )=L ( ) ( )

+

L αx x , L x+ y x L y ∀ ∈

, con applicazione lineare [che si

α R L

¿

chiama operatore in questo caso perché prende funzioni e restituisce funzioni]

( )

che associa ad ogni funzione l’equazione differenziale corrispondente (il

u x

tipo sopra), per ipotesi si ha che e sono derivabili volte in questo

x y n

caso). ( )

La funzione detta “integrale dell’equazione differenziale” è soluzione

y x

dell’equazione se soddisfa:

(n) (n−1) '

( ) ( ) ( ) ( )

+ +…+ +

y a x y a x y a x y=f x

n−1 1 0

( )=0

Se , l’equazione differenziale si dice omogenea, il diagramma delle

f x

soluzioni è detto “curva dell’integrale”.

PROBLEMI DI CAUCHY

Un problema di Cauchy è un’equazione differenziale risolta a partire da delle

( )

∈

( )

∈ x a , b

condizioni iniziali, date tutte le , fisso detto “punto iniziale”

x a , b 0

y , y … , y

e fisso detti “valori iniziali” in modo che:

0 1 n ( )

' n

( ) ( ) ( )

=x = =

y x , y x y … y x y

0 0 0 1 0 n

Un problema di Cauchy è definito dal sistema:

{ ( )

n '

n−1

( ) ( ) ( ) ( )

++ +…+ +

y a x y a x y a x y=f x

n−1 1 0

( ) =

y x y

0 0

…

( )

−1

n ( )

=

y x y

0 n−1

TEOREMA: esistenza e unicità di Cauchy.

Se si ha un problema di Cauchy, come quello sopra, se i coefficienti

( )

dell’equazione differenziale e il termine noto sono continui in , allora

a , b

( )

n

( ) ( )

( )

∀ ∈ esiste un’unica funzione , soluzione del problema e

x a ,b ∈C

y x a ,b

∈

y , y … y R . Il grado massimo della derivata di in un’equazione

y

0 1 n−1

differenziale rappresenta il suo ordine, si può dare un significato geometrico

alle equazioni differenziali del primo e del secondo ordine, nei problemi di

Cauchy. { ' ( ) ( )

+a

y x y=f x ( )

∈ ∈

, x a , b , y R

0

Infatti considero con ipotesi di continuità del

0 0

( ) =

y x y

0 0

coefficiente e del termine noto, quindi per il teorema di unicità di Cauchy esiste

un’unica soluzione, dato un grafico:

Data la curva integrale delle soluzioni (che essendo ricavata da un’integrale,

P

avrà anche una costante), si prende quella che passa per il punto , e ne

0

esiste una sola ovviamente.

Per quel che riguarda invece un sistema per le equazioni differenziali di

secondo ordine:

{ ' ' '

( ) ( ) ( )

+a +

y x y a x y=f x

1 0

( ) =

y x y

0 0

' ( )

=

y x y

0 1

Data la curva integrale delle soluzioni, si prende quella che passa per il punto

P y

e che esso sia tangente alla retta di pendenza .

0 1

Un’equazione differenziale è detta completa quando è nella forma standard, e

( )=0

data una generica equazione differenziale, posto si ottiene

f x

l’equazione differenziale omogenea associata all’equazione differenziale

completa iniziale, si indica quindi con l’integrale generale della

J

J

differenziale iniziale e l’integrale generale dell’omogenea associata.

0

( ) ( ) ( )

∈ ∀ ∈

y x J , y x J y x

Sia , con un integrale generale dell’omogenea

0 0 0

( ) ( )

( )+ ∈

=L =f +

L y+ y y L y y y J

associata, allora , quindi , presa inoltre ogni

0 0 0

( )

( )=L ( )−L ( )=f

− =L −f =0→ +

L y y y y y y= y y

( ) ∈

soluzione , risulta , quindi

y x J 0 0

due soluzioni diverse differiscono per una costante. Si ha quindi che

]

{ } {

∈

= = +J

J y+ y , y J y J

, ossia la soluzione più ogni elemento di , che è un

0 0 0 0 0

( )

n ( )

sottospazio vettoriale di classe , per la linearità dell’operatore , di

L

C a , b

dimensione . Quindi va determinato l’integrale dell’omogenea associata per

n

risolvere l’equazione.

Supponiamo di avere integrali linearmente indipendenti, se si sommano gli

n

integrali particolari si ha l’integrale generale, si usa il metodo di Lagrange.

METODO DI LAGRANGE

Per determinare un integrale particolare dell’equazione iniziale. Si ha che

( ) ( ) ∈ ( )

y x … , y x J sono linearmente indipendenti, si sta cercando , che si

y x

1 n 0

pone uguale alla somma di tutti gli integrali particolari

( ) ( ) ( )

+ +…+

γ y x γ y x γ y x , con derivabili, si risolve il sistema, data

γ

1 1 2 2 n n

un’equazione differenziale di ordine :

n

{ ' '

( ) ( )+ ( ) ( )=0

γ x y x …+γ x y x

1 1 n n

' ' ' '

( ) ( )+ ( ) ( )=0

γ x y x …+γ x y x

1 1 n n

…

( ) ( )

−1

' n−1 ' n

( ) ( ) ( ) ( )=f ( )

+…+

γ x y x γ x y x x

1 1 n n ( )

Il cui determinante è detto Wronskiano e si indica con , non nullo in

W x

( ) in quanto gli integrali sono linearmente indipendenti. Risolvendo il

a , b ' ( )

sistema si trovano le , che aggiungo alle soluzioni. Integrando ogni

γ x

n ( ) ( ) ( ) ( )

+…+

y=γ x y x γ x y x

soluzione, si ottiene una forma del tipo , che è un

1 1 n n

integrale particolare dell’equazione differenziale lineare completa.

Nell’integrale generale, al posto delle funzioni , ci sono le costanti (che

γ

possono essere funzioni).

Si voglia calcolare l’equazione differenziale di primo ordine, non omogenea:

' '

( ) ( ) ( )

, con l’equazione omogenea associata , si vede

+ +

y a x y=f x y a x y=0

0 0

subito dal sistema sotto che una soluzione immediata è , quindi:

y=0

{ ' ( )

+a

y x y=0

0

( ) =0

y x 0

Ammette un’unica soluzione, di conseguenza la soluzione è una funzione con

segno costante. Cercando l’integrale, che non sia nullo, si risolve l’equazione a

variabili separabili integrando poi rispetto a :

x

' '

y y

∫ ∫

' ( ) ( ) ( )

=−a =−a −a

y x y → x → dy= x dx

0 0 0

y y

( ) ( )

A x a x

Ponendo come primitiva di , il tutto viene:

0 0

( ) ( )

−A −

x C C A x

| | ( )

=−A +C =k

log y x → y=± e e →± e → y=k e

0 0

0 0 0

Si è posta la costante in quel modo poiché deve essere a segno costante,

{ }

( ) ( )

−A −

x A x

quindi si ha che , che va determinato poi con il

( )=γ ( )

∈

=

J k e , k R , y x x e

0 0

0

metodo di Lagrange.

Per risolvere un’equazione differenziale non omogenea basta conoscere un suo

integrale particolare e l’integrale generale dell’equazione differenziale

omogenea associata. ' 3

Si voglia calcolare l’integrale particolare dell’equazione differenziale + =x

y xy

( )=1

, con .

y 0

Va prima quindi calcolato l’integrale generale dell’omogenea, quindi:

2

−x

' 2 ∈

=−xy =ke

y → y= y ,k R

0 2

−x

Quindi, da sopra, si sa che l’integrale particolare , quindi si

( ) ( ) 2

=γ

y x x