Equazioni differenziali lineari

METODO DI LAGRANGE

Per determinare un integrale particolare dell’equazione iniziale. Si ha che

( ) ( ) ∈ ( )

y x … , y x J sono linearmente indipendenti, si sta cercando , che si

y x

1 n 0

pone uguale alla somma di tutti gli integrali particolari

( ) ( ) ( )

+ +…+

γ y x γ y x γ y x , con derivabili, si risolve il sistema, data

γ

1 1 2 2 n n

un’equazione differenziale di ordine :

n

{ ' '

( ) ( )+ ( ) ( )=0

γ x y x …+γ x y x

1 1 n n

' ' ' '

( ) ( )+ ( ) ( )=0

γ x y x …+γ x y x

1 1 n n

…

( ) ( )

−1

' n−1 ' n

( ) ( ) ( ) ( )=f ( )

+…+

γ x y x γ x y x x

1 1 n n ( )

Il cui determinante è detto Wronskiano e si indica con , non nullo in

W x

( ) in quanto gli integrali sono linearmente indipendenti. Risolvendo il

a , b ' ( )

sistema si trovano le , che aggiungo alle soluzioni. Integrando ogni

γ x

n ( ) ( ) ( ) ( )

+…+

y=γ x y x γ x y x

soluzione, si ottiene una forma del tipo , che è un

1 1 n n

integrale particolare dell’equazione differenziale lineare completa.

Nell’integrale generale, al posto delle funzioni , ci sono le costanti (che

γ

possono essere funzioni).

Si voglia calcolare l’equazione differenziale di primo ordine, non omogenea:

' '

( ) ( ) ( )

, con l’equazione omogenea associata , si vede

+ +

y a x y=f x y a x y=0

0 0

subito dal sistema sotto che una soluzione immediata è , quindi:

y=0

{ ' ( )

+a

y x y=0

0

( ) =0

y x 0

Ammette un’unica soluzione, di conseguenza la soluzione è una funzione con

segno costante. Cercando l’integrale, che non sia nullo, si risolve l’equazione a

variabili separabili integrando poi rispetto a :

x

' '

y y

∫ ∫

' ( ) ( ) ( )

=−a =−a −a

y x y → x → dy= x dx

0 0 0

y y

( ) ( )

A x a x

Ponendo come primitiva di , il tutto viene:

0 0

( ) ( )

−A −

x C C A x

| | ( )

=−A +C =k

log y x → y=± e e →± e → y=k e

0 0

0 0 0

Si è posta la costante in quel modo poiché deve essere a segno costante,

{ }

( ) ( )

−A −

x A x

quindi si ha che , che va determinato poi con il

( )=γ ( )

∈

=

J k e , k R , y x x e

0 0

0

metodo di Lagrange.

Per risolvere un’equazione differenziale non omogenea basta conoscere un suo

integrale particolare e l’integrale generale dell’equazione differenziale

omogenea associata. ' 3

Si voglia calcolare l’integrale particolare dell’equazione differenziale + =x

y xy

( )=1

, con .

y 0

Va prima quindi calcolato l’integrale generale dell’omogenea, quindi:

2

−x

' 2 ∈

=−xy =ke

y → y= y ,k R

0 2

−x

Quindi, da sopra, si sa che l’integrale particolare , quindi si

( ) ( ) 2

=γ

y x x e

2 2

−x −x

calcola , e il tutto va imposto come soluzione

' '

( )=γ ( ) ( )

2 2

−γ

γ x x e x x e

dell’equazione differenziale iniziale, quindi:

2 2 2 2 2

−x −x −x −x x

' 3 ' 3 ' 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 2 2

−γ + =x =x =x

γ x e x x e γ x x e → γ x e → γ x e

2

x

Integrando per parti due volte, si ottiene , quindi, andando a

( )

2

( )=e 2 −2

γ x x

sostituire sopra si ottiene:

2 −2

y=x

Quindi l’integrale generale dell’equazione differenziale

2

−x .

2

( )=c 2

= + −2= +

J y x e x y y

0

Quindi, per calcolare l’integrale particolare partendo dalle condizioni iniziali e

applicando nella formula sopra si ha:

−0 2

2 +0 −2=1 =3

c e → c−2=1 →c

Quindi l’integrale particolare è:

2

−x 2

( )=3 2 + −2

y x e x

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL SECONDO ORDINE A

COEFFICIENTI COSTANTI

Un’equazione differenziale di secondo ordine, omogenea o non omogenea, può

risultare parecchio complicata da risolvere se non impossibile, tranne in

determinati casi. Uno di quei casi è quello in cui i coefficienti sono delle

costanti, ricordiamo che essa è del tipo (con i coefficienti numerici):

'' ' ( )

+a +a

y y y=f x

1 0

Si prenda il caso particolare in cui si abbia un’equazione omogenea:

'' '

+a +a

y y y=0

1 0

E mi calcolo le soluzioni del polinomio caratteristico (il cui grado dipende dal

massimo grado di derivazione) uguale a:

√ 2

−a −4

± a a

2 1 1 0

+a =0

λ λ+ a → λ=

1 0 2

Quindi, a seconda del delta nella formula risolutiva, si possono avere 3 casi:

∈

λ ≠ λ R

, 2 soluzioni reali , si hanno due integrali generali

 Δ> 0 1 2

λ x λ x , linearmente indipendenti fra loro, si ha quindi che

∈

e , e J

1 2 0

{ }

λ x λ x ∈ , si dimostra che sono soluzioni considerandole

= +c

J c e e , c , c R

1 2

0 1 2 1 2

come soluzioni linearmente indipendenti con il Wronskiano

, 2 soluzioni reali coincidenti, si hanno due integrali generali

 Δ=0 { }

λx λx

λx λx , linearmente indipendenti, quindi ∈

= +

∈ J c e c xe , c , c R

e , x e J 0 1 2 1 2

0

, 2 soluzioni complesse del tipo , si hanno due integrali

 Δ< 0 α ± jβ

{ }

αx αx

αx αx

generali , quindi ∈

=

∈ J c e cos βx+ c e sin βx , c , c R

e cos βx , e sin βx J 0 1 2 1 2

0 ' ' '

Ad esempio, si calcoli l’integrale generale di . Si vanno prima a

+2 +

y y y=0

calcolare le radici del polinomio caratteristico, coincidenti , quindi si

λ=−1

−x − x

hanno due integrali generali e , infine si ha che

e x e

−x −x

( )=c , con entrambe le costanti reali.

+c

y x e x e

0 1 2 ' '

Altro esempio, si calcoli l’integrale generale di . In questo caso,

−2 +5

y y y=0

calcolando le due radici del polinomio caratteristico, esse saranno ,

1± 2 j

semplicemente applicando la formula, la soluzione sarà

x x

( )=c , con entrambe le costanti reali.

y x e cos 2 x+ c e sin2 x

0 1 2

EQUAZIONI DEL SECONDO ORDINE NON OMOGENEE

log x

'' '

+2 +

y y y=

Si prenda ad esempio l’equazione differenziale , con

x

e

( )

∈ , per prima cosa vanno analizzati gli integrali dell’omogenea

x 0,+ ∞

associata che, analizzando il polinomio caratteristico e vedendo che dà due

{ }

−x −x

soluzioni coincidenti , quindi , adesso per

∈

λ=−1 = +c

J c e x e , c , c R

0 1 2 1 2 −x −x

( ) ( )

determinare un integrale particolare della completa , si

+γ

y=γ x e x x e

1 2

usa il metodo di Lagrange, quindi:

{ −x −

' ' x

( ) ( )

+

γ x e γ x x e

1 2 log x

−x −x −x

' ' '

( ) ( ) ( )

−γ +γ −γ =

x e x e x x e

1 2 2 x

e −2 x

( )=e

Usando ad esempio il metodo di Cramer (con il determinante ),

W x

' '

( )=−x ( )=log

vengono e . Integrando le due soluzioni verranno

γ x log x γ x x

1 2

2

−x 1 2

( )= ( )=x ( ) . Quindi alla fine l’integrale particolare è

+

γ x log x x , γ x log x−1

1 2

2 4

( )

2

−x 1 ( )

−x −x

2 . Quindi per andare ad ottenere l’integrale

( )

+

y= log x+ x e x log x−1 x e

2 4

generale della completa, si sommano l’integrale particolare e l’integrale

generale dell’omogenea, ottenendo:

( ) ( )

2 2

1 x 3 x

−x −x

2 2 2 2

( )=e + + −x − + =e +c +

y x c c x x log x x log x c x− x log x

1 2 1 2

4 2 4 2

Quindi l’integrale generale è stato ottenuto.

Se invece oltre a questo si richiedesse di risolvere un problema di Cauchy di

questo tipo, con la stessa equazione differenziale:

{ ( )

y x

(−2 ) =1

y

' (−2 )=0

y

Ricordando che ci sono tante equazioni quanto l’ordine dell’equazione più

l’equazione stessa.

Questo problema è irrisolvibile e mal posto, in quanto per ipotesi la è

x

strettamente positiva.

Invece, per quanto riguarda il problema:

{ ( )

y x

( ) =0

y 1

' ( )=0

y 1 ( )

3

−1

( ) =e + − =0

y 1 c c

È ben posto e risolvibile. Quindi si calcola prima , ma

1 2 4

1

dato che non è nullo, questo è possibile solo se la quantità fra parentesi è

e 3

+ =

c c

nulla, quindi la prima equazione risolvente è , per risolvere la

1 2 4

' ( )

seconda equazione, si deriva prima e viene:

y x

( ) ( )

2

3 x 3 x

−x −

2 x

−e + + +e −

c c x− x log x c x+ x log x+

1 2 2

4 2 2 2

Che calcolato in 1 deve dare 0, quindi:

( ) −1

3

−1 −1 ( )

−e +c − +e −1 =

c c → c

1 2 2 1

4 4 =1

c

E combinando con l’equazione di prima viene , ottenendo l’integrale

2

particolare:

( )

2

1 x

−x

( ) ( )

=e + +

y x x 2 log x−3

4 2

METODI DI SOMIGLIANZA PER LE EQUAZIONI

DIFFERENZIALI

Se l’equazione differenziale è a coefficienti costanti e il termine noto è

particolare, si può evitare il metodo di Lagrange e usare altri metodi. Ne

verranno fatti due. PRIMO METODO DI SOMIGLIANZA

Il primo metodo è il caso in cui, data un’equazione differenziale

'' ' αx q

( ) ( )=q

, con , con polinomio di grado e

m≥ 0

+a +a

y y y=f x f x e m