Equazioni differenziali lineari

Equazioni differenziali lineari

Dato n, viene definita un’equazione differenziale lineare come:

N(n) (n−1) '( ) ( ) ( ) ( )+ +…+ +y a(x y a)x y a(x y=f xn−1 1 0( ) ( )a x, i=0 → n

Con coefficienti dell’equazione differenziale, è detto f(x) termine noto, con la condivisa con i coefficienti, essa è appartenente ad un x( ) intervallo. Equazioni del tipo:

• ' ' 2( ) ( )+x =x =fy y=f x, y y x

Non sono lineari, in quanto il termine non gode delle proprietà di linearità.

y( )=αL ( ) ( )=L ( ) ( )+L αx x, L x+ y x L y ∀ ∈, con applicazione lineare [che si α R L chiama operatore in questo caso perché prende funzioni e restituisce funzioni]( ) che associa ad ogni funzione l’equazione differenziale corrispondente (il u x tipo sopra), per ipotesi si ha che x e y sono derivabili n volte in questo x caso).

La funzione detta “integrale dell’equazione differenziale” è soluzione y x dell’equazione se soddisfa:

(n) (n−1) '( ) ( ) ( ) ( )+ +…+ +y a(x y a)x y a(x y=f xn−1 1 0( )=0

Se f(x), l’equazione differenziale si dice omogenea, il diagramma delle soluzioni è detto “curva dell’integrale”.

Problemi di Cauchy

Un problema di Cauchy è un’equazione differenziale risolta a partire da delle (x a, b) condizioni iniziali, date tutte le ( ), fisso detto “punto iniziale” x a, b 0 y, y …, y fisso detti “valori iniziali” in modo che:

0 1 n ( )' n( ) ( ) ( )=x = =y x, y x y … y x y 0 0 0 1 0 n

Un problema di Cauchy è definito dal sistema:

• { ( )n 'n−1( ) ( ) ( ) ( )++ +…+ +y a(x y a)x y a(x y=f xn−1 1 0
• ( ) =y x y0 0
• …( )−1n ( )=y x y0 n−1

Teorema: esistenza e unicità di Cauchy

Se si ha un problema di Cauchy, come quello sopra, se i coefficienti dell’equazione differenziale e il termine noto sono continui in , allora:

a , b

( )n( ) ( )( )∀ ∈ esiste un’unica funzione, soluzione del problema e x a,b ∈Cy x a,b∈y, y … y R. Il grado massimo della derivata di in un’equazione y0 1 n−1 differenziale rappresenta il suo ordine, si può dare un significato geometrico alle equazioni differenziali del primo e del secondo ordine, nei problemi di Cauchy.

• { ' ( ) ( )+a y x y=f x ( )∈ ∈, x a, b, y R0

Infatti considero con ipotesi di continuità del 0( ) =y x y0 0 coefficiente e del termine noto, quindi per il teorema di unicità di Cauchy esiste un’unica soluzione, dato un grafico:

Data la curva integrale delle soluzioni (che essendo ricavata da un’integrale, P avrà anche una costante), si prende quella che passa per il punto, e ne 0 esiste una sola ovviamente.

Per quel che riguarda invece un sistema per le equazioni differenziali di secondo ordine:

• { ' ' '( ) ( ) ( )+a +y x y a x y=f x1 0
• ( ) =y x y0 0
• ' ( )=y x y0 1

Data la curva integrale delle soluzioni, si prende quella che passa per il punto P y e che esso sia tangente alla retta di pendenza.

Un’equazione differenziale è detta completa quando è nella forma standard, e ( )=0 data una generica equazione differenziale, posto si ottiene f x l’equazione differenziale omogenea associata all’equazione differenziale completa iniziale, si indica quindi con l’integrale generale della J J differenziale iniziale e l’integrale generale dell’omogenea associata.

( ) ( ) ( )∈ ∀ ∈y x J, y x J y x

Sia , con un integrale generale dell’omogenea 0( ) ( )( )+ ∈=L =f +L y+ y L y y J associata, allora, quindi, presa inoltre ogni 0 0 0( )( )=L ( )−L ( )=f− =L −f =0→ +L y y y y y y= y y( ) ∈ soluzione, risulta, quindi y x J 0 0 due soluzioni diverse differiscono per una costante. Si ha quindi che:

• ]{ } {∈=y+ y, y J y J, ossia la soluzione più ogni elemento di, che è un 0 0 0 0 0

( )n ( ) sottospazio vettoriale di classe, per la linearità dell’operatore, di LC a, b dimensione. Quindi va determinato l’integrale dell’omogenea associata per n risolvere l’equazione. Supponiamo di avere integrali linearmente indipendenti, se si sommano gli integrali particolari si ha l’integrale generale, si usa il metodo di Lagrange.

Metodo di Lagrange

Per determinare un integrale particolare dell’equazione iniziale. Si ha che ( ) ( ) ∈ ( )y x …, y x J sono linearmente indipendenti, si sta cercando, che si y x1 n 0 pone uguale alla somma di tutti gli integrali particolari ( ) ( ) ( )+ +…+γ y x γ y x γ y x, con derivabili, si risolve il sistema, data γ1 1 2 2 n n un’equazione differenziale di ordine n:

• { ' '( ) ( )+ ( ) ( )=0γ x y x …+γ x y x1 1 n n
• ' ' '( ) ( )+ ( ) ( )=0γ x y x …+γ x y x1 1 n n
• …( ) ( )−1' n−1 ' n( ) ( ) ( ) ( )=f ( )+…+γ x y x γ x y x x1 1 n n

Il cui determinante è detto Wronskiano e si indica con, non nullo in W x ( ) in quanto gli integrali sono linearmente indipendenti. Risolvendo il a , b ' ( ) sistema si trovano le, che aggiungo alle soluzioni. Integrando ogni γ xn ( ) ( ) ( ) ( )+…+y=γ x y x γ x y x soluzione, si ottiene una forma del tipo, che è un 1 1 n n integrale particolare dell’equazione differenziale lineare completa. Nell’integrale generale, al posto delle funzioni, ci sono le costanti (che γ possono essere funzioni).

Si voglia calcolare l’equazione differenziale di primo ordine, non omogenea:

' '( ) ( ) ( ), con l’equazione omogenea associata, si vede + +y a x y=f x y a x y=0 0 subito dal sistema sotto che una soluzione immediata è, quindi:

• y=0
• { ' ( )+a y x y=00( ) =0y x

Ammette un’unica soluzione, di conseguenza la soluzione è una funzione con segno costante. Cercando l’integrale, che non sia nullo, si risolve l’equazione a variabili separabili integrando poi rispetto a:

x ' 'y y ∫ ∫' ( ) ( ) ( )=−a =−a −ay x y → x → dy= x dx0 0 0y y

( ) ( ) Ponendo come primitiva di, il tutto viene: 0 0 ( ) ( )−A −x C C A x| | ( )=−A +C =klog y x → y=± e e →± e → y=k e0 0 0 0 0 Si è posta la costante in quel modo poiché deve essere a segno costante, { } ( ) ( )−A −x A x quindi si ha che, che va determinato poi con il ( )=γ ( ) ∈=J k e, k R, y x x e0 0 0 metodo di Lagrange.

Per risolvere un’equazione differenziale non omogenea basta conoscere un suo integrale particolare e l’integrale generale dell’equazione differenziale omogenea associata.

' 3 Si voglia calcolare l’integrale particolare dell’equazione differenziale + =xy xy( )=1, con.y 0

Va prima quindi calcolato l’integrale generale dell’omogenea, quindi:

2−x' 2 ∈=−xy =key → y= y,k R0 2−x Quindi, da sopra, si sa che l’integrale particolare, quindi si ( ) ( ) 2=γy x x