Equazioni differenziali - esercizi

EQUAZIONI DIFFERENZIALI (DEL I ORDINE)

1. x'(t) = -2x(t)

   x(0) = 5

   PROBLEMA DI CAUCHY

   Si tratta di un’equazione lineare OMOGENEA (che e’ anche a variabile separabile):

   x'(t) = a(t)x(t) → x'(t) / x(t) = a(t) → log |x(t)| = ∫ a(t) dt

   per cui log |x(t)| ha la primitiva A(t) = ∫ a(t) dt + e

   log |x(t)| = ∫ a(t) dt + e

   da cui ricavo:

   |x(t)| = e^ee^∫a(t)dt

   ponendo K ±± e^e

   x(t) = K e^∫a(t)dt

   Nel nostro caso: a(t) = -2t :

   x(t) = K e^-∫2tdt = K e^-t2

   x(0) = 5, ponendo t=0 ottengo: K=5

   La soluzione cercata e’: x(t) = 5e^-t2

2. x'(t) = x(t) / t+1 + 3

   t ∈ I = (-1,+∞)

   x(0) = 1

   Si tratta di un’equazione lineare (NON OMOGENEA) ossia della forma:

   x'(t) = a(t)x(t) + b(t)

   con a(t) e b(t) funzioni continue

   u(t) = e^∫a(t)dt

   b(t)e^-∫a(t)dt dt

   per cui l’integrale generale dell’equazione completa e’:

   x(t) = e^∫a(t)dt (C + ∫b(t) e^-∫a(t)dt dt) c ∈ ℝ

   In questo caso a(t) = 1 / t+1 , b(t) = 3 si ottiene:

   x(t) = e^∫dt/t+1 (e^log(t+1)) = e^{(t+1) (C + ∫3 e-log(t+1) dt)}

   (t+1) (C + ∫3 / t+1 dt) = (t+1) (C + 3 log(t+1)) c ∈ ℝ

   avendo x(0)=1, sostituendo con t=0 ottengo:

   1 (C + 3log1) = 1 C=1

   La soluzione sara’: x(t) = (t+1)(1+3log(t+1)) = t+1+(t+1)3log(t+1)

EQUAZIONI DIFFERENZIALI (DEL I ORDINE)

1. x'(t) = -2x(t) x(0) = 5

   PROBLEMA DI CAUCHY

   Si tratta di un'equazione lineare OMOGENEA (che e' anche a variabile separabile):

   x'(t) = a(t)x(t) -> x'(t)/x(t) = a(t) -> log|x(t)| = a(t)

   per cui log|x(t)| ha la primitiva A(t) = ∫ a(t) dt + e log|x(t)| = ∫ a(t) dt + e

   da cui ricavo:

   |x(t)| = e^{e ∫₀ a(u) du}

   ponendo K = ± e^e x(t) = ke^{∫ a(u) du}

   Nel nostro caso: a(t) = -2t; x(t) = ke^{-∫ 2t dt}

   |x(t)| = ke^-t2

   x(0) = 5, ponendo t=0 ottengo: K=5 La soluzione cercata e': x(t) = 5e^-t2

2. x'(t) = x(t)/t+1 + 3 t ∈ I = (-1,+∞) x(0)=1

   Si tratta di un'equazione lineare (NON OMOGENEA) ossia della forma:

   x'(t) = a(t) x(t) + b(t) con a(t) e b(t) funzioni continue

   u(t) = e^{∫ a(u) du}

   ∫ b(t)e^{-∫ a(u) du} dt

   per cui l'integrale generale dell'equazione completa e':

   x(t) = e^{∫ a(u) du} (C + ∫ b(t) e^{-∫ a(u) du} dt) e ∈ ℝ

   In questo caso a(t) = 1/t+1, b(t) = 3 si ottiene:

   x(t) = e^{∫ dt/t+1} (C + ∫ 3e^{-∫ dt/t+1} dt)

   e^log(t+1) (e + ∫ 3e^-log(t+1) dt) =

   (t+1) (e + ∫ 3/1*t+1 dt) = (t+1) (C + 3log(t+1)) C ∈ ℝ

   avendo x(0)=1, sostituendo con t=0 ottengo: 1=(C+3log1)=1 C=1

   La soluzione sara': x(t) = (t+1)(1+3log(t+1)) = t+1+(t+1)3log(t+1)

3.

y' + 2ty² = 0

y(0) = -1

L'equazione differenziale è a variabili separabili:

y' = A(t)·B(y)

Separazione: ^dy/_dt = -2ty² → ^dy/_y² = -2tdt

Integrazione:

∫^dy/_y² = ∫-2tdt → -¹/_y = -^t2/₂ → ¹/_y = t² + C

avendo y(0) = -1, sostituisco t = 0 e ottengo:

y(t) = ¹/_t²+C → ¹/_C = -1 → C = -1

La soluzione che soddisfa la condizione assegnata è:

y = ¹/_{t² - 1}

Tale funzione, come soluzione del problema, è definita solo nell'intervallo (-1,1).

4.

Integrare le seguenti equazioni a variabili separabili:

1.

t(1 + y²)y' = 3

^dy/_dt t(1 + y²) = 3 → (1 + y²)dy = ³/_t dt

∫(1 + y²) dy = ∫³/_t dt → y + ^y3/₃ = 3logt + C

2.

ye^2t - (1 + e^2t )y' =