Equazioni differenziali - esercizi

EQUAZIONI DIFFERENZIALI (DEL I ORDINE)

1. x'(t) = -2t x(t)

   x(0) = 5

PROBLEMA DI CAUCHY

Si tratta di un'equazione lineare OMOGENEA (che è anche a variabili separabili):

x'(t) = a(t) x(t) → x'(t)/x(t) = a(t) → log |x(t)| = a(t)

A(t) = ∫ ω(t) dt + c

log |x(t)| = a(t) dt + c

da cui ricavo:

|x(t)| = e^∫a(t)dt

ponendo K = ±e^c x(t) = Ke^∫ω(t)dt

Nel nostro caso: ω(t) = -2t : x(t) = K e^{-∫2t dt} = K e^-t2

x(0) = 5, ponendo t₀ = 0 ottengo: K = 5

La soluzione cercata è: x(t) = 5e^-t2

2. x'(t) = x(t)

   t ∈ I = (-1, +∞)

   x(0) = 1

Si tratta di un'equazione lineare (NON OMOGENEA) ossia della forma:

x'(t) = a(t)x(t) + b(t) con a(t) e b(t) funzioni continue

u(t) = e^∫a(t)dt

per cui l'integrale generale dell'equazione completa è:

x(t) = e^∫a(t)dt (c + ∫b(t) e^-∫a(t)dt dt) c ∈ ℝ

In questo caso a(t) = 1/(t+1), b(t) = 3 si ottiene:

x(t) = e^{∫(1/(t+1))dt} (c + ∫3 e^{-∫(1/(t+1))dt} dt)

= e^log(t+1) (e

(t+1) e^{∫3 e-log(t+1) dt}

(t+1) (c + ∫^1/(t+1) dt) = (t+1)(c + 3log(t+1)) c ∈ ℝ

avendo x(0) = 1, sostituendo come t = 0 ottengo:

1(c+3log1) = 1 = c = 1

La soluzione sarà: x(t) = (t+1)(1+ 3log(t+1)) = t + 1 + (t+1) 3log(t+1)

3.

y' + 2ty² = 0

y(0) = -1

L'equazione differenziale è a variabili separabili:

Separazione: y' = A(t) * B(y)

d^y/d^t = -2ty² → d^y/y² = -2t dt

Integrating: ∫ d^y/y² = ∫ -2t dt → -1/y = -t² → 1/y = t² + c

avendo y(0)=1, sostituisco t=0 e ottengo:

y(t) = 1/(t²+c) → 1 = -1 → c = -1

La soluzione che soddisfa la condizione assegnata è:

y = 1/(x²-1)

Tale funzione, come soluzione del problema di Cauchy, è definita solo nell'intervallo (-1,1).

INTEGRARE LE SEGUENTI EQUAZIONI A VARIABILI SEPARABILI:

1. t(1+y²)y' = 3

   d^y/d^t (1+y²)/= 3 → (1+y²)d^y = 3/t dt

   ∫ (1+y²) d^y = ∫ 3/t dt → y + y³/3 = 3log t + e

2. y e^2t - (1+e^2t)y' = 0

   e^2t y' = d^y/d^t (1+e^2t) → d^y/y = e^2t dt/(1+e^2t)

   ∫ d^y/y = ∫ e^2t/(1+e^2t) dt → log|y| = 1/2 log (1+e^2t)+e

7.

y' + y tgx = 3 sen2x y(0)= 1

Si tratta di un'equazione lineare:

a(x) = tgx A(x) = -log|cosx|

y(x) = e^-log|cosx|(e + ∫ e^-log|cosx| 3 sen2x dx)

= |cosx| (e + ∫_|cosx| 3 cosx senx dx)

= cosx (e + ∫ 6 senx dx) = cosx (e - 6 cosx) =

= e cosx - 6 cos²x

Imponendo y(0) = 1 → e - 6 = 1 → c = 7

y(x) = 7 cosx - 6 cos²x definita per ogni R

12.

{ y' + (1-2x)y = xe^x2

y(0) = 2

È un'equazione differenziale lineare:

a(x) = 1-2x

A(x) = x-x²

e^x2 ( e^A(x) ∫xe^x2 dx )

e^x2 ( e^A(x) ∫xe^x2 dx )

Risolvendo l'integrale per parti, si ottiene:

e^x2-x (e + e^x(x-1)) → y(x) = ee^x2-x + e^x2(x-1)

Imponendo y(0)=2 :

2 = e + (0-1) → e = 2+1 → e = 3

dunque:

y(x) = 3e^x2-x + e^x2(x-1)

17.

{ y' = ^{x y3}⁄_√(x²-1)

y(√3)=2

È un'equazione differenziale a variabili separabili:

dy/dx = x y³⁄√(x²-1)

dy/y³ = x/√(x²-1) dx

Integrando ottengo:

∫ y^-3 dy = ∫ x (x²-1)^-1⁄2 dx → -1⁄2y² = √(x²-1) + C

-1⁄y² = 2√(x²-1) + C → y² = -1⁄^{2√(x2-1) + C}

y² = 1⁄^{C - 2√(x2-1)}

Imponendo y(√3)=2 ricavo C:

4 = 1⁄^{C - 2√2} → 4 = 1⁄(C - 2) → 4C - 8 = 1 → C = 9⁄4

dunque:

y(x) = 1⁄√^{9⁄4 - 2√(x2-1)}

24. y' - y cos x = e^2senx cos x

y(^π⁄₂) = e

È un' equazione differenziale lineare:

a(x) = - cos x A(x) = ∫ a(x) = ∫ - cos x dx = - sen x

(e^{∫ a(x) dx} ∫ e^{-∫ a(x) dx} e^2senx cos x dx ) =

= e^-senx ∫ e^senx e^2senx cos x dx ) = e^senx (c + e^senx) =

= c e^senx + e^2senx

Imponemdo y(^π⁄₂) = e ottengo:

c e¹ + e¹ = e → c = -e²

dunque:

y(x) = e^2senx + e^senx (1-e)

3.

2y'' - y' - y = 0

y(0) = 3

y'(0) = 0

r² - r - 1 = 0

Δ = 5

r₁ = 1

r₂ = -¹⁄₂

z(x) = e₁e^x + e₂e^-x⁄₂ sapendo che: z(x) = e^x + e₂e^-x⁄₂

dunque:

y(0) = 3 = e₁ + e₂

y'(0) = 0 = e₁ - ¹⁄₂e₂

e₂ = 2

e₁ = 1

perciò:

z(x) = e^x + 2e^-x⁄₂

4.

y'' + 2y' + 4y = 0

y(0) = √3

y'(0) = 0

r² + 2r + 4 = 0

Δ = -12

r = ^{-2 ± 2√3i}⁄₂ = -1 ± √3i

α = -1

β = √3

z₁(x) = e^-xcos(√3x)

z₂(x) = e^-xsen(√3x)

dunque:

z(x) = e^-x(c₁cos(√3x) + c₂sen(√3x))

calcolando:

z'(x) = -e^-x(c₁cos(√3x) + c₂sen(√3x)) + e^-x(√3c₁sen(√3x) + √3c₂cos(√3x))

z'(x) = e^-x(-c₁cos(√3x) - c₂sen(√3x) - √3c₁sen(√3x) + √3c₂cos(√3x))

quindi imponiamo:

y(0) = √3 = e₁

y'(0) = -e₁ + √3c₂ = 0

e₁ = √3

e₂ = 1

dunque:

z(x) = e^-x(sen(√3x) + √3 cos(√3x))

2. y'' - 3y' + 2y = 3xe^-x

t² - 3t + 2 = 0

Δ = 1

l'integrale dell'omogenea è perciò:

Z(x) = c₁e^x + c₂e^2x

Si cerca una soluzione particolare dell'equazione completa del tipo:

y(x) = (-ax + b + a)e^-x

y'(x) = e^-x(-ax - b + a)

y''(x) = e^-x(ax + b - 2a)

e^-x[c(ax + b - 2a) - 3(-ax - b + a) + 2(ax + b)] = 3xe^-x

e^-x[6ax + (6b - 5a)] = 3xe^-x

• 6a = 3
• 6b - 5a = 0

dunque la soluzione particolare sarà:

y(x) = (¹/₂x + ⁵/₁₂)e^x

l'integrale dell'equazione completa è:

Z(x) = c₁e^x + c₂e^2x + e^x(¹/₂x + ⁵/₁₂)