lezione 101121in
51 '
Equazioni differenziali ordinarie go.d.es
l' funzione
sono in (
cui che
)
è
incognita solito
numero
equazioni indicheremo
una non un di
che
con XLE dominio che
) in tutto una
punti del deve soddisfare relazione
i suo
funzione
coinvolga le derivate della .
fa
t )
:#
Esempi ' (
adatta
f f.
× con
) funzione continua
= una
Chiamata F allora
F FCEI CEIR
) con
primiera di xct =
una
famiglia CHI
è di soluzioni
parametro
a un di
una ' FIA
¥
) ( ft
) c) c'
+
+
= = =
il è ER
c
parametro
• XCEI FCEI #H
è soluzione di
= te
XCEI #
soluzione
G è
FCA di
= -
) Inoltre #
Fct
lettere )
XCEI
le
* soluz
soluzioni sono ci
te sono
= non
(e)
' f- →
(E) '
+ f
di che
cerco premiere di
X
= sia
una
< → CEA
XLES fcttc
=
)
ft
2 l' (
)
(E) le degg coordina
)
:
esempio *
+ del
ordinaria
eq
o
=
(f) è
per
moltiplico
che
osserva se la è xlteo
e + '
)
etxltt l'
(
'
( Ex
) xct
- lei O
LA 0 =
=
e
=
CILE ER
) C
= e
② e- CEIR
Xe) con
# -
= = )
(
famiglia
abbiamo GR
parametro di soluzioni
traendo un
una a
Ctxlt etica
Cf s' fai
) C
fa
) C
o
= = =
=
Abbiamo lei CE)
' o
e
+ + - (F)
t
e- di
(E) è
C- soluzione
× = cetacei
)
'
e) cèe
(
(
Verifichiamolo -
lei
' +
xlt) ce
+ + = -
- =
=
:
" '
lei
esempio 3 (f)
: Etc
=3 →
+ +
les )
verifico t'
che *
(
risolve
se + c.
= '
LEI
" (
2t c)
+ + 2
= =
'
(E) E tcetcz
+ tg
= ' '
E ER
G
) E con
ce
+ CE +
+
= ( '
'
Che )
' )
" c)
(
(A) etc
( E 2
Electa
)
xce risolve + =
ucy.co ci +
+ ce
che =
-
ci
fatta
(E) ci ' )
EIR (
famiglia
+ ER
è
son G
soluzioni
di
parametri c
= c =
una a ,
,
Equazioni differenziali ordinarie ordine
primo
del )
le
Sono forma ' fct lei
(E)
normale
onde come
che +
si ×
scrivono
in = ,
✓ E di X
dominio data
funzione
nel f
con
,
( )
)
eflt
'
In breve X ×
scriveremo ,
→ la derivate alto
prima le
derivata più
di
appare ordine
premio ordine ma non
, .
Problema iniziali
dati problema I°
O Cauchy
di
ai per d. cordone
del
E
0 .
lt
{ ' ) )
fct ×
× = ,
)
( to
× Xo
= dont
f funzione to
alata ato sono
è una ,
Teorema [ euniatà
Esistenza ]
soluzioni
di
: )
Cpc
per
Sono ( if
sia
f con
opportune questa
rispetto
f derivabile
della X
continuo
ipotesi e
a ,
)
continua
dentata Ct
esiste ed soluzione
una problema
sola Una sola
+ CPC ed
)
del una
ossia
una ,
) )
lt) fct soddisfa xlto
che
'
xct
)
soluzione Alti
di anche
+ = •
fetale
)
tilt formano funzione
famiglia
di
Osservazione )
le soluzioni che
di
una
: =
parametro
dipende da un
{ k)
t'
esempio LA
+ -
+ =
: coi
+ =L (E)
'
e
(f) cena tilt
)
- +
soluzione di
+ è
con =p
ce
=
Voglio (a) =L
)
xlt soddisfi
ora che +
XCO
F- ) =L
0 , ←
e-
è ' Xche
xlo) è
1 C 1
C- problema
soluzione
ce ⇐ del
=
=
=
= da )
(
Cauchy pc
LEI
{ ' cose)
esempio ×
: = croci
(E) ¥
+ -
=
( ) CEIR
fca LEI Ffttc
'
cost X
× x =
=
=
(E) costei
→ famiglia parametro KI
Sent sono '
+ soluzioni
un
a a
= + di +
di -
(f)
(E)
fa VI
to
in
+ = xc
=
- -7ft -3ft
VI % E
II
ca
a
+ = =
-
= -
-
la Cauchy
del shift
è
problema ) 3nF
Che
soluzione di + -
Èsita
Alta nulla
Il teorema dice nel
del Cpc caso
)
unicità
di ci
e
: non
condanni
imposte 2
vengono
ti
' fetale
)
{ se
delle
+ la volte
maggior pare
→
=
Cto)
× to soluzione
= esisterà
le)
+
E' LEI
{ LEI
face
'
costei cose)
+
= =
(E) )
of ¥
+ - -
= =
0 Co) →e
)
xco e + = S
to Suite
)
xche 3¥
- 4
Sint size II
xlt -3ps
)
) - 3 7
,4
disco
= =
=
-
- = .
XCCD -392
cd
• -3oz -3ft
sui
= = r
=
4
-311 -313
esistono soluzioni (E)
la xcts
→
• soluzione
= è sin
non = 5
Equazioni variabili separabili
a " "
Definizione separabili
Una del della
dice variabili
primo ordine è
si a
o.de
: se
gcxCHD.hu
LEI
forma ' =
×
( xt-gch.GG
)
breve
In funzioni
eh
con date
g lttfct
' )
Ricordo del xct
generale tipo
da +
code è
che ordine
primo
in una .
,
fcexctd-gqcth.LA
)
Nel nostro caso
÷ avariate
Sono
- d- separabili
0 E
. . E3
le
) €3
' glx
)
2ft Alla
× )
. =
LEI Cet
et è
' ) lenisce
ga
) hai
Ch
+ sin
= = =
,
ma canone
#
Che è
'
È '
' è
Che
+ 9
poiché e g
e
e =
⇐ -
controcampi avariate separabili
Non sono d. E
a.
LEI
' xlt
+ E
) +
=
Lt
' )
+ età
sushi +
=
Proposizione )
consideriamo htt
gatti )
' lei
: × .
= Ff
g# inventabili
supponiamo chiamiamo G G
di
primitiva e che sia
supponiamo
o una
, LEI
h '
tl soluzioni
Allora ( Chi licei
chiamiamo le
di di sono
g.
primitiva =
+
una + -
.
, funzioni ' )
( ER
liete C.
G- con
della
le
sole LEI
forma tlltsxc
e + =
"
Cina inverso
l'
famiglia parametro) G oeig
è
dove
al .
Drinostrazioeie :
- hai
GCXCÉD
(f)
' ' dividere
+ gelo posso
che
visto per
= g
,
CES
' )
9h
+ =
je
cerco primitiva
una face
{ x de at
=
gatti) ÉTAT
Mi variabile (f)
effettuo cambio
il
concentro di ×
: +
su =
gcxlti
) lei
' DX
+ =
{ '
gita =)
chat 1-
+ da
9h =/
Riscrivo tetti
) G
( G)
hctsat
Joe CEIR
* cdx
come c con
+
=
, c)
'
' ( Htt
GAD G- cena
' con
(
G-
applico )
G +
=
c)
' tutti
(
g- con cera
× = D
'
G- teletta)
(
CEI =
+
-
{ "
Metodo "
rapido → esercizi
per gli
LEI gcxs.li LEI
'
+ = gh.ae/gfjdx=/hlh
lei data
' de
È
+ = =
tetta (
'
Gcx
) G- tele c)
)
+
= c + +
=
Esercizio " "
{
Risolvere NEI e- E
=
( )
+ o
o =
'
' E
è
X = . ¥ et
di
Dobbiamo t
di
trovare premuta
una e =
) t at et
| c.
con
di +
È c
=
= Z → XCO
)
trovo la che xcoseo
di o
c =
pensate avere
mi '
xcòs ti
IR
• Eh
e €
E =
C +
-0
e e Noi o
ac -
= = -
_ ⇐ •
2
z Cei LI
ex C
+
=
)
([ »
× log '
scrivo te
× =
= e
+
•
.
. e
. . =
lo O XC
=
SINA.zio.nico-ic.ae
' l'
{ )
esempio gcxle htt
) )
+
1 : = .
- alto
) xo
=
)
ylxo
Caso ?
{ )
EX x2
hai
' (E)
glace
-2T
× -2
= = =
.
(2) )
) getto
gcxo
0
× o
-
= =
(2) =D
×
( crisi 2=0
< •
= funzione soluzione
CHE
la
caso )
CPC
la
In × del
costante è
×
questo , ?
Nel -2ft
@
(E) { '
c)
soluzione del
la
Eo
nostro è
esempio × a
+ xche o
Verifichiamolo allora (2)
CEI
se × O
-
+ =
=
= ,
#
' 0=0
-25+2=0
LEI ×
allora
se E 0
+ a
} htt
gcxce
lei
' )
)
+ -
=
ed
(
× Xo
= (
) gcxcto
) E
Ho )
costantemente
y -
=
e =
In del Cauchy è
problema LEI
soluzione
questo E
caso la Xo
di +
Verifichiamolo
) xlto
XCE )
XO Xo
= = ttt
' E)
LEI +
+ xo
= o
= glxo hai
)
) GLEI
Cxlt 0
g. e-
-
- =
← a
µ di ipotesi
giudeo
XCEI
XCEIEXO → verificata
0=0
-
Cadiamo III
fine -
à ,
COI 3
× = f- (
è a)
)
1- definita il o
visto è
gas 90 -1
dominio
= non u
suo ,
ZX
↳ fasce x2
di de sin o
)
× +
= =
arte Sinai +
= c ( (d) 2 32
)
Co 9
F- (a)
=3 c
+
O sia ⇐
a
+
= -
+ =
X2 Sciolte 9
= 4th Gas
Gea x2
sine
tech 9
⇐
to =
= =
FÈ
GH A X
rinvenibile ±
è
non =
= tg
tg +
× = -
= !
(
SÌ d
soluzioni
abbiamo esistenza
Comiooedceoo
ce eunictà )
che taeoo stiamo il teorema
2 X =3
del PC
soluzione
essere
per
ma tasto
La NEI
soluzione è =
{ le
' )
3
esempio + se
-
- »
single
-
HAI -
=
} E
Sat cosa ER
)
de
) C
sink DX c
+
- =
=
CXLED
cos Etc
= )
coste
CA ) I
+
1- 1 etc
etc o
= -
= -
COSA te -1
= Cosa D
Io
*
( [
) )
qouccosco -1
: , ,
)
-19¥ )
]
← Cx) 9T
[
FI →
arco i
> : ,
/ »
co
→ cosa
È
f. } .
.
C- arco ×
>
= €71 ) (1)
LEI
tentando E
soddisfare +
ale.ee
(
areas
:X = -
=
- a
Orosco
(1) ) aIIa
+ =
la soluzione ( et
E-
xche arcos
è -
ninfette Co
)
XEI
) itz
arco
> =
-
= - 11/12/2020
lezione 52 Equazioni differenziali lineari 1°
del ordine
Definizione Una lineare è del
se
dice
si tipo
: primo
ode del coramina
Lt
)
' bit
tale )
) LEI
+ =
+
funzioni
con b date
a ,
La bla
coefficiente )
funzione termine
funzione
Act) viene
detta la
viene noto
detta
e
Se è
l'
→
bla) che
diremo
allora equazione omogenea
o
- . .
-
In fft )
)
Code It
' xfet
è
l' )
tipo
generale ordine nel
del caso
+
del
equazione
una = ,
bit)
( -9ft
)
t
delle f. +
setti ) )
lineari ce
eguaz +
=
,
E)
breve bei
In ' ALEIX
forma x
+
scriveremo = -
'
X BG)
A)
esempi Gtx
+ GE
o
• =
- @ o
-
' bla
alta )
svista
ZX Sisde
-2
+
• × -
⇐ lineari
Contursi NON sono del
o.DE ordine
primo
: ' +2×2=0
×
• El
' (
tacos )
• × =
x
teorema Le Lt )
' ) ) bit)
Xlt
tale asole
dell' tante
soluzioni equazione sono
: + =
a
Che c)
+ [ Bla
:
funzioni e- e
gonna )
della *
le -
ER
con C 7
/
di
Alti alti
è una primitiva "
ca bit )
Bit
) <
è primitiva di
una -
" " '"
f
[ c)
LEI - beat *
e
+ +
e
=
-
Consideriamo
Disincastrare Alti
bit
la xlt) )
)
' ) alt
alt )
Act
+ di
+ moltiplichiamo per e promana
con
=
ale' a
achea
xllt
) e) bla
)
=
@ @
+
÷
'
) '
( "
è
lei
+ État
»
ac )
HAI "
.ca
( )
"
.cat ' bit)
lei Bltxc Bettina primitiva
con
+ e =
= -
"
" [ xD
e- Beh
che
+ )
÷T Risolvere ' (E)
( +2×47=3 BCE
' =3 )
: alt
) =3
tzx + -2
+
- A'
It) )
→ Lt t
A' =L )
'
sè '
sè
" è
can eeexr (
'
è →
+e
→ ×
# =
=
.
- '
è
la beh
Cerco BCE) =3
pennuta di
3efdt-fz.ae#dt=3z)2eTde--?eF-c
{ ?
" cè
xè CER
§
+
to
=z + con
=
e "
[ È
'
è
è " ' SEI
beh
Acts
→
-2 →
alti a e
→ - Ipa
]
szèetc
«
' X
Beh [ =L
e- ER
con ce
=3 +
c
=
e ( E)
LEI
2h '
(E)
' bla
¥
± El
LEI alt
)
+
+ + ¥
- =
-
= -
- e la '
cos'
e case
-
→
alt Cogne
±
alt) ) e
= ,
@
= =
= -
- = ti
e
"
è [
Blt tace
) CEIR
Etc
)
2h E e
A)
)
bla ¥ E
= = =
+
- .
-
- Gli
{ ' tztx
esempi × =
(a) =L
+ a
Alti
blt
LEI
at Act
Gt3
Risolviamo E
A' )
) e
' →
ztx
+ =L e
=
×
• = =
-
"
a ztèdt
' fate
be è f È
Gt3 → de
@ = = _
-8
e
École È
2 III
C- zèxc
" 2) ztèac ae'
-2¥ ate
¥ - _
- =
=
- F )
Ale
" Ita -
Blt
1) ae' -
[ L
]
t ]
) Bit
NEI
2 )
c e e
e + c
= e-
=
- - =
"
È 1)
zècfr 1)
alta cè
[ ah
c)
(f) +
→
+
+ -
= -
=
Devo (a) E-
CER E. C 2
trovare X o
e-
- -
eo
( ) + c-
< i
o
« - TI
CE -14
)
2 4 alt )
c e
e-
+ -1
2
= - -
Equazioni II°
del
Ordinarie Ordine
differenziali
Sono forma
quelle che nella
si scrivono )
Lt lti
" ) '
f (
E la funzione data
¥
con
#
=
+ #
Problema Cauchy iniziali
dati
problema
di ai
•
,
{ )
Ih lei
" '
LA
f sx
+ +
=
④
c) )
( XO
+ o =
× ]
[ unicità (
Esistenza
Tlorera Pd
soluzioni
di per
a )
)
L' Lt (
t'
fct
(E)
" F)
Lt) opportune ad
ammette
equazione + ipotesi
sono una
+ una
su
= ,
, '
)
(
iniziali
Sola (a)
soddisfa le
che condizioni
anche
condizione Xa
o
+ > =
o
Osservazione
Ie soluzioni famiglia
lei ) formano
lei<
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