Equazioni differenziali

Equazioni differenziali ordinarie di ordine n

Sia I ⊆ R; si definisce equazione differenziale ordinaria di ordine n un'equazione in cui compaiono la funzione incognita y = y(x), x ∈ I, e le sue derivate fino all'ordine n:

g(x, y, ẏ, ÿ, ..., y⁽ⁿ⁾) = 0

con ẏ = y⁽¹⁾(x), ÿ = y⁽²⁾(x), ..., y⁽ⁿ⁾ = y⁽ⁿ⁾(x) e g funzione reale.

Se g è un polinomio in cui y, ẏ, ÿ, ..., y⁽ⁿ⁾ sono di primo grado, allora l'equazione si dice equazione differenziale lineare.

L'ordine dell'equazione differenziale è dato dall'ordine massimo di derivazione che compare.

y = y(x) è soluzione dell'equazione differenziale di ordine n se y(x), insieme alle sue derivate, soddisfa l'equazione, cioè:

g(y(x), ẏ⁽¹⁾(x), ÿ⁽ⁿ⁾(x)) = 0, ∀x ∈ I

Un'equazione differenziale è in forma normale se è esplicitata rispetto alla derivata di ordine massimo:

y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, ẏ, ÿ, ..., y^(n-1))

altrimenti si dice in forma non normale.

Equazioni differenziali ordinarie di ordine n

Sia I ⊂ R; si definisce equazione differenziale ordinaria di ordine n, un’equazione in cui compaiono la funzione incognita y = y(x), x ∈ I, e le sue derivate fino all’ordine n:

g(x, y, y′, y″, …, y⁽ⁿ⁾) = 0

con y⁽⁰⁾ = y⁽⁰⁾(x), y′⁽¹⁾(x), …, y⁽ⁿ⁻¹⁾, y⁽ⁿ⁾(x) e g funzione reale.

Se g è un polinomio in cui y, y′, y″, …, y⁽ⁿ⁾ sono di primo grado, allora l’equazione si dice equazione differenziale lineare. L’ordine dell’equazione differenziale è dato dall’ordine massimo di derivazione che compare.

y = y(x) è soluzione dell’equazione differenziale di ordine n se y(x), insieme alle sue derivate, soddisfa l’equazione, cioè:

g(y(x), y′⁽⁰⁾, y″⁽¹⁾(x), …, y⁽ⁿ⁾(x)) = 0, x ∈ I

Un’equazione differenziale è in forma normale se è esplicitata rispetto alla derivata di ordine massimo.

y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y′, y″, …, y⁽ⁿ⁻¹⁾)

altrimenti si dice in forma non normale.

Integrale generale e integrale particolare

Integrare un'equazione differenziale significa trovare tutte le soluzioni. L'insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale di ordine n dipende da n parametri reali: le costanti c₁, c₂, ..., c_n.

y = y(x, c₁, c₂, ..., c_n) Integrale generale

Fissando i parametri c₁, c₂, ..., c_n, si ottiene una soluzione particolare dell'equazione differenziale e viene chiamata integrale particolare.

Nel caso di un'eq. differenziale del 1° ordine:

g(x, y, y^') = 0

y = y(x, c)

Nel caso di:

g(x, y, y^') = 0 forma non normale forma forma

Ci sono casi di eq. diff. che ammettono anche integrali singolari, cioè integrali non ottenibili per nessun valore della costante c.

Equazioni a variabili separabili

y^' = f(x) g(y)

con f(x) e g(y) funzioni continue.

Se ∃y_o: g(y_o) = 0 ⇒ y = y_o è soluzione.

Se g(y) ≠ 0 ∀y, allora si divide l'equazione per g(y) e si integra:

ẏ/g(y) = f(x), ma ẏ = dy/dx, ⇒ ∫1/g(y) dy = ∫f(x) dx   G(y) = F(x) + c,   c = costante.

• Integrale generale       y = f(x, c₁, ..., c_n)
• Integrale particolare       y = f(x)
• Integrale singolare    La soluzione non dipende da c

Equazioni lineari del primo ordine

ẏ' + a(x) ẏ = b(x)      con: a(x) e b(x) funzioni continue in I.

Se b(x) = 0 allora ẏ' + a(x)y = 0 si dice omogenea.

Lezione 17 - 24/11/2017

Tutte le soluzioni dell'eq. diff. lineare del 1° ordine non omogenea:

y' + a(x)y = b(x)

sono date da:

y(x) = e^-A(x)(∫e^A(x)b(x)dx + c)

con A(x) primitiva di a(x), cioè A'(x) = a(x).

Moltiplicando entrambi i membri dell'eq. diff. per il fattore e^A(x) si ha:

e^A(x)y'(x) + e^A(x)a(x)y(x) = e^A(x)b(x)

∫[d/dx (e^A(x)y)] = ∫e^A(x)b(x)

e^A(x)y = ∫e^A(x)b(x)dx + c

y = 1/e^A(x)(∫e^A(x)b(x)dx + c)

y = e^-A(x)(∫e^A(x)b(x)dx + c)

Equazione di Bernoulli

y' + a(x)y = b(x)y^α

α ∈ ℝ, con α ≠ 0,1.

a(x), b(x) funzioni continue, α ≠ 0,1, altrimenti si ricade nelle equazioni lineari.

(Se α > 0 allora y = 0 è una soluzione: integrale singolare).

Se y è diverso da zero, si divide tutto per y^α.

Derivando:

(1-2) y^-2y' = z'

z' + a(x)z = b(x)   1-2

Infine sostituire a z il valore di y.

(Eq. diff. lineare in z)

Equazione di Clairaut

y = xy' + g(y')

con g funzione derivabile.

Forma non normale, I ordine.

Derivando rispetto a x primo e secondo membro dell’equazione differenziale si ha:

y' = y' + xy'' + g'(y')

y''xy'' + g'(y')y'' = 0

y''[x + g'(y')] = 0

Si annulla per:

se y'' = 0 → y' = c

y = x.c + g(c)   Equazione di una retta

(retta inviluppo della famiglia di rette)

se x + g'(y') = 0

Posto t = y'

dalla precedente si ricava:

{ x(t) = -g'(t)

a(t) = -t.g'(t) + g(t)

Integrale singolare (inviluppo della famiglia di rette)

y-.λy.az(y) = -g(t) + g(t)

Lezione 18 - 27/11/2017

Problema di Cauchy

Sia \( f: \mathbb{R}^2 \supset D \to \mathbb{R} \), con \( D \) aperto, \( (x_0, y_0) \in D \)

\[\begin{cases}y' = f(x,y) \\y(x_0) = y_0\end{cases}\]

\( y = y(x) \) è detta soluzione (locale) del Problema di Cauchy se è definita ed è derivabile in un intorno del punto \( x_0 \), tale che in tale intorno:

\( y'(x) = f(x, y(x)) \)

Teorema di Peano

Se \( f(x, y) \) è continua in un aperto \( D \subset \mathbb{R}^2 \) e \( (x_0, y_0) \in D \), allora esiste almeno una soluzione del problema di Cauchy:

\[\begin{cases}y' = f(x, y) \\y(x_0) = y_0\end{cases}\]

Teorema di Cauchy (di esistenza e unicità locale)

Sia \( f: D \subset \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \), con \( D \) aperto. Se:

• \( f \) è continua in \( D \)
• \( f \) è localmente Lipschitziana in \( D \) rispetto a \( y \)

Si dice che f(x,y) è localmente Lipschitziana in D rispetto a y e uniformemente in x, se ogni punto di D ha un intorno K in cui vale:

|f(x,y₁)-f(x,y₂)| ≤ L_k |y₁-y₂|

la costante L_k può dipendere dall’intorno.

Corollario del problema di Cauchy

Sia f(x,y) una funzione definita in un intorno del punto (x₀,y₀). Se f(x,y) e la sua derivata parziale f_y(x,y) sono continue nell’intorno del punto, allora f è localmente Lipschitziana rispetto a y, uniformemente in x.

(cioè esiste un’unica funzione y = φ(x) continua e derivabile nell’intorno del punto (x₀,y₀, soluzione del problema di Cauchy)

Equazioni differenziali di ordine n

y⁽ⁿ⁾ + a₁(x)y^(n-1) + ... + a_n-1(x)y' + a_n(x)y = b(x)

a_i(x): coefficienti definiti in I ⊆ ℝ.

b(x): termine noto.

Se b(x) = 0 l’equazione si dice omogenea, altrimenti non omogenea.

Se y₁(x), y_n(x), x ∈ I ⊂ ℝ, sono soluzioni particolari dell’equazione differenziale lineare omogenea di ordine n allora c₁y₁ + ... + c_ny_n è soluzione.

L’integrale generale dell’equazione differenziale lineare omogenea di ordine n è:

(sono soluzioni linearmente indipendenti) y_g(x) = c₁y₁(x) + ... + c_ny_n(x)

c₁, ..., c_n sono n costanti arbitrarie.

y₁(x), ..., y_n(x) sono funzioni linearmente indipendenti se:

c₁y₁ + ... + c_ny_n = 0 ⇒ c₁ = c₂ = ... = c_n = 0

Condizione necessaria affinché n soluzioni di un'equazione differenziale di ordine n siano linearmente indipendenti è che il determinante Wronskiano:

|y₁...y_n|
|y₁'...y_n'|
|... ...|
|y₁^(n-1)...y_n^(n-1)| ≠ 0

Data l'equazione non omogenea:

(1) y⁽ⁿ⁾ + a₁(x)y^(n-1) + ... + a_n-1(x)y' + a_n(x)y = b(x)

e la sua omogenea associata:

(2) y⁽ⁿ⁾ + a₁(x)y^(n-1) + ... + a_n-1(x)y' + a_n(x)y = 0

L'integrale generale di (1) è: y(x) = y_o(x) + ŷ(x)

dove y_o(x) è l'integrale generale di (2).

Equazioni omogenee a coefficienti costanti

y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) + .... + a_n-1y' + a_ny = 0

a₁, ..., a_n ∈ ℝ.

A tale equazione si associa l'equazione caratteristica:

λⁿ + a₁λ^n-1 + .... + a_n-1λ + a_n = 0

che, per il teorema fondamentale dell'algebra, ha in ℂ n radici: ciascuna contata con la propria molteplicità.

y₁ = e^λx è soluzione dell'eq. diff. lineare omogenea se d è soluzione dell'eq. caratteristica.

Infatti se: y = e^λx, y' = λe^λx, ..., y⁽ⁿ⁾ = λⁿe^λx

sostituendo.

Lezione 19 - 30/11/2017

Ricerca di un integrale particolare per un'equazione differenziale lineare di ordine n non omogenea

y⁽ⁿ⁾ + 2y^(n-1)t...a_(n-2)y^(n-3) + 2xy = b(x)

L'integrale generale dell'equazione non omogenea è:

Dove:

Calcolo di ŷ(x): Metodo della somiglianza

• b(x) = P_m(x)e^βx polinomio di grado m
  • β non è soluzione dell'equazione caratteristica: ŷ(x) = Q_m(x)e^βx
  • β è radice dell'equazione caratteristica con molteplicità K: ŷ(x) = x^KQ_m(x)e^βx
• b(x) = P_m(x)e^αxcos(μx) o b(x) = P_m(x)e^αxsen(μx)
  • β ± iμ non sono radici dell'eq. caratteristica: ŷ(x) = [Q_m(x)cos(Mx) + R_m(x)sin(Mx)]e^αx
  • β ± iμ è radice dell'eq. caratteristica con molteplicità K: ŷ(x) = x^K[Q_m(x)cos(Mx) + R_m(x)sin(Mx)]e^αx

Lezione 20 - 04/12/2017

Determinante di una matrice

Ad ogni matrice quadrata a coefficienti reali è possibile associare un numero reale, detto determinante, calcolato secondo un procedimento ben preciso. Consideriamo la matrice:

A = _{11 12} ... _1n
... ...
_{n1 n2} ... _nn

a) Il determinante di una matrice quadrata di ordine 1 è pari all'unico coefficiente della matrice.

In simboli: A = [₁₁]; det(A) = ₁₁

b) Il determinante di una matrice quadrata.

c) Il determinante di una matrice quadrata di ordine 3 è dato dalla seguente formula:

A = _{11 12 13
21 22 23
31 32 33}

Minore complementare: Sotto-matrice (senza una riga e una colonna).

det(A) = ₁₁(₂₂₃₃ - ₂₃₃₂) - ₁₂(₂₁₃₃ - ₂₃₃₁) + ₁₃(₂₁₃₂ - ₂₂₃₁)

Si può utilizzare anche la regola di Sarrus:

_{21 22 23
31 32 33
11 12 13}

Seguendo la prima linea.

"Seguire una linea e una colonna, senza tener conto delle righe e la colonna a questo appartenente, e moltiplicarlo per la sottomatrice di ordine inferiore, dato per l'intera linea e colonna".

Segno (+, -) dato dal gestore (coordinate segno e segni opposti dei cofattori).

det(A) = ₁₁₂₂₃₃ + ₁₂₂₃₃₁ + ₁₃₂₁₃₂ - ₁₃₂₂₃₁ - ₁₂₂₁₃₃ - ₁₁₂₃₃₂