Equazioni differenziali

Equazioni differenziali ordinarie di ordine n

Sia I ⊆ R si definisce equazione differenziale ordinaria di ordine n, un'equazione in cui compaiono la funzione incognita y = y(x), x ∈ I, e le sue derivate fino all'ordine n:

g(x, y, y^ⁱ, ..., y^⁽ⁿ⁾) = 0

con y^ⁱ = y⁽ⁱ⁾(x), y^⁽ⁿ⁾ = y⁽ⁿ⁾(x) e g funzione reale.

Se g è un polinomio in cui y, y', y'', ..., y^⁽ⁿ⁾ sono di primo grado, allora l'equazione si dice equazione differenziale lineare.

L'ordine dell'equazione differenziale è dato dall'ordine massimo di derivazione che compare.

y = y(x) è soluzione dell'equazione differenziale di ordine n se y(x) insieme alle sue derivate soddisfa l'equazione, cioè:

g(y(x), y^'(x), y^''(x), ..., y⁽ⁿ⁾(x)) = 0, ∀ x ∈ I

Un'equazione differenziale è in forma normale se è esplicitata rispetto alla derivata di ordine massimo:

y⁽ⁿ⁾ = f(x, y, y', y'', ..., y^(n-1))

altrimenti si dice in forma non normale.

Integrare un'equazione differenziale significa trovare tutte le soluzioni.

Insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale di _n ordine n dipende da _n parametri reali: le costanti _{c1, c2, ..., cn}.

y = y(x, c₁, c₂, ..., c_n)Integrale generale

Fissando _n parametri c₁, c₂, ..., c_n, si ottiene una soluzione particolare dell'equazione differenziale e viene chiamata integrale particolare.

Nel caso di un'eq. differenziale del 1^o ordine: g(x, y, y') = 0

y = y(x, c)

Nel caso di:

• g(x, y, y') = 0 forma non normale
• forma
• forma

Ci sono casi di eq. diff. che ammettono anche integrali singolari, cioè integrali non ottenibili per nessun valore della costante c.

y' = f(x) g(y)

con f(x) e g(y) funzioni continue

se &exists; y₀: g(y₀) = 0 => y = y₀ è soluzione

(locale) del Problema di Cauchy se

in un intorno del punto x₀,

(x) = f(x, y(x))

in un aperto D

soluzione del problema di Cauchy

(di esistenza e unicità locale)

con r aperto. Se:

Lipschitziana in D rispetto a y

Determinante di una matrice

Ad ogni matrice quadrata a coefficienti reali è possibile associare un numero reale, detto determinante, calcolato secondo un procedimento ben preciso. Consideriamo la matrice:

a)

Il determinante di una matrice quadrata di ordine 1 è pari all’unico coefficiente della matrice. In simboli: A = [a₁₁]; det(A) = a₁₁

b)

Il determinante di una matrice quadrata

c)

Il determinante di una matrice quadrata di ordine 3 è dato dalla seguente formula:

det(A) = a₁₁(a₂₂a₃₃ - a₂₃a₃₂) - a₁₂(a₂₁a₃₃ - a₂₃a₃₁) - a₁₃(a₂₁a₃₂ - a₂₂a₃₁)

Si può utilizzare anche la regola di Sarrus:

det(A) = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₂a₂₁a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂