Equazioni differenziali

Equazioni Differenziali

1. Lineari di I ordine
2. Lineari di II ordine
3. A variabili separabili

F(x, y, y', ..., y⁽ⁿ⁾)=0

y = y(x), di classe C^m

x ∈ I ⊆ ℝ intervallo

L'insieme delle soluzioni dell'eq. diff. si chiama integrale generale dell'equazione

Lineari del I ordine

y' + a(x)y = f(x)

y = y(x) di classe C¹ a, f ∈ C⁰(I)

x ∈ I ⊆ ℝ

• se a(x) = 0 ⇒ È elementare
• se f(x) = 0 (omogenea) diventa un'eq. diff. a variabili separabili

Strategia risolutiva quando a(x) ≠ 0 & f(x) ≠ 0 (fattore integrante)

1. Trovo una primitiva di a(x), cioè una funzione A(x).
2. Tale che A'(x) = a(x)
3. Moltiplico entrambi i membri per e^A(x)

y'(x) e^A(x) + a(x)e^A(x) y(x) = f(x) e^A(x)

3. Integro entrambi i membri y(x)e^A(x) = ∫ f(x)e^A(x) dx + c

4. Ricavo y(x) moltiplicando entrambi i membri per e^-A(x)

y(x) = e^-A(x) ∫ f(x)e^A(x) dx + c e^-A(x)

Solo se a(x) e f(x) sono funzioni continue in un dato intervallo I.

Equazioni Differenziali

• Lineari di I ordine
• Lineari di II ordine
• A variabili separabili

F(x, y, y', ..., y⁽ⁿ⁾) = 0

y = y(x), di classe C^m

x ∈ I ⊆ ℝ intervallo

L'insieme delle soluzioni dell'eq. diff. si chiama integrale generale dell'equazione

Lineari Del I Ordine

y' + a(x)y = f(x)

y = y(x) di classe C¹a, f ∈ C⁰(I)x ∈ I ⊆ ℝ

• se a(x) ≡ 0 ⇒ è elementare
• se f(x) ≡ 0 (omogenea) diventa un'eq. diff. a variabili separabili

Strategia Risolutiva Quando a(x) ≠ 0 e f(x) ≠ 0

(fattore integrante)

1. Trovo una primitiva di a(x), cioè una funzione A(x) tale che A'(x) = a(x)
2. Moltiplico entrambi i membri per e^A(x)

y'(x)e^A(x) + a(x)e^A(x)y(x) = f(x)e^A(x)

3. Integro entrambi i membri y(x)e^A(x) = ∫f(x)e^A(x) dx + c
4. Ricavo y(x) moltiplicando entrambi i membri per e^-A(x)

e^-A(x) :

Solo se a(x) e f(x) sono funzioni continue in un dato intervallo I.

L'integrale generale di y' = a(x)y + f(x) è:

y(x) = c.e^∫_-a(x)dx + ȳ (x), c ∈ R

ȳ è una soluzione particolare dell'equazione

y' = a(x)y + f ⇨ equazione diff. lineare del I^o ordine

y' = a(x)y ⇨ equazione omogenea (associata)

Trova la soluzione particolare ȳ

1. Metodo alla variazione della costante (sempre, ma prevede integrali)
2. Metodo della somiglianza(È vero solo per equazioni a coefficienti costanti)

y' = ay + f(x) ⇨ dove a non è una funzione

f(x) = polinomio, cos dx, sen dx, e²x

Metodo della somiglianza

Esempio 1

y' + y = 3x+1 ⇨ f(x) = 3x+1

ȳ = ax+b y' = a ⇨

⇨ a + (ax+b) = 3x+1 ⇨ {a = 3b = -2}

ȳ = 3x - 2

Metodo della variazione della costante

y(x) = c.y₁(x) , c ∈ R

y₁: y' = R(x)y + q(x) y' = R(x)y . y^-1(x) = f(x)

y(x) = c.e^-∫_a(x)dx + ȳ(x) ⇨ ȳ(x) = c.e^-∫_a(x)dx ⇨ {c(x)e^-∫_a(x)dx

c'(λ)λ = ∫/f(x)

Equazioni lineari di 2^a ordine - omogenee

y" + a(x)y' + b(x)y = g(x)

A, b, g ∈ C⁰(I), I ⊂ ℜ

1. Se a² - 4b > 0

Ci sono due soluzioni reali

λ₁ = -a + √a²-4b ₂ ∈ ℜ

λ₂ = -a - √a²-4b ₂ ∈ ℜ

λ₁ ≠ λ₂

y₁(x) = e^λ₁x

y₂(x) = e^λ₂x

2. Se a² - 4b = 0

λ = -a ₂

{ c₁ e^-a₂x + c₂ x e^-a₂x | c₁, c₂ ∈ ℜ }

3. Se a² - 4b ≤ 0

λ₁ = -a ₂ ± i √4b-a² ₂

∈ ℂ

λ = δ ± i β

y₁ = e^{(δ + iβ)x} = e^δx (cosβx + i sinβx)

y₂ = e^{(δ - iβ)x} = e^δx (cosβx - i sinβx)

y₁ + y_{2 2} = e^δx cosβx : ℜ → ℜ

y₁ - y_{2 2} = e^δx sinβx : ℜ → ℜ

{ c₁ e^δx cosβx + c₂ e^δx sinβx | c₁, c₂ ∈ ℜ }