Equazioni differenziali - 2

Equazioni diff (2°)

• Consideriamo un punto materiale in movimento con la legge oraria: y(t)

si ha che m a = F quindi che m y'' = F

y(t) = posizioney'(t) = velocitày''(t) = accelerazione

Quindi si ha che:

F = -k_y - l_y'

Ed è un'equazione diff di 2° grado omogenea

• Equazione diff ordinaria:

a(t) y''(t) + b(t) y'(t) + c(t) y(t) = f(t)

a,b,c,f funzioni cont. su I a ≠ 0

• Soluzioni delle equazioni diff di 2° grado:

y'' - y' - 2y = 0

Si nota che

• a(t) = 1
• b(t) = -1
• c(t) = -2
• f(t) = 0

Cont. in: ∀ t ∈ R

• Ha come sol. y(t) = t² ?

No! Essendo y'(t) = 2ty''(t) = 2

• Ha come soluzione y(t) = e^2t ?

Sì: essendo chey'(t) = 2e^2ty''(t) = 4e^2t

Allora e^2t (4 - 2 - 2) = 0∀ t ∈ R

Quante soluzioni ha un'eq. differenziale?Le soluzioni sono infinite

Problema di Cauchy

a(t)y'' + b(t)y' + c(t)y = f(t)y(0) = y₀y'(t) = v₀

Esempio:

y'' - 3y' + 2y = ty(0) = 1y'(0) = -1

Avendo l'integrale generaley(t) = C₁e^t + C₂e^2t + t/2 + 3/4 , C₁, C₂ ∈ R

y(0) = C₁e⁰ + C₂e⁰ + 0 + 3/4

y'(t) = C₁e^t + 2C₂e^2t + 1/2

y'(0) = C₁e⁰ + 2C₂e⁰ + 1/2C₁ + C₂ + 3/4 = 1

C₁ + 2C₂ + 1/2 = -1

C₁ = 2C₂ = -7/4

SOL Problema di Cauchy ⟹ y(t) = 2e^t - (7/4)e^2t + t/2 + 3/4

Integrale generale dell'eq. diff lineare:

a(t)y'' + b(t)y' + c(t)y = f(t)(scriviamola in forma operatoriale)

( a d²/dt² + b d/dt + c ) y = f(t)

L y = f(t)

∀ C₁, C₂ ∈ R

Teor (principio di Sovrapposizione)

Se y₁ è sol. di: ay'' + by' + cy = f₁ e y₂ è sol. di: ay'' + by' + cy = f₂ allora le funzioni: C₁y₁(t) + C₂y₂(t) e soluzioni di:

ay'' + by' + cy = C₁f₁ + C₂f₂

Risoluzione del problema di Cauchy: (eq omogenee)

y'' + 2y' + 5y = 0

y(0) = 1

y'(0) = -1

poniamo y(t) = e^λt

y'(t) = λe^λt

y''(t) = λ²e^λt

e^t (λ² + 2λ + 5) = 0

Δ = 4 - 4·5 = -16 < 0

λ_1,2 = -1 ± 2i

y₁(t) = e^-tCos 2t

y₂(t) = e^-tln 2t

y(t) = e^-t[C₁Cos(2t) + C₂ln(2t)]

y(t) = e^-t[C₂ln(2t) + C₂g₂(t)] + e^-t[2C₂Cos(2t) - 2ln(2t)]

-1 = -1 + 2C₂ , C₂ = 0

y(t) = e^-tCos(2t)

Il metodo di somiglianza:

ay'' + by' + cy = f(t)

y(t) = C₁y₁ + C₂y₂ + y_p , C₁, C₂ ∈ ℝ

1. Esponenziale:

L_y = f(t) ; y(t) = Ce^-xt

L_y = a(ad²C e^-xt) + b(ad Ce^-xt) + c Ce^-xt

= C e^-xt(a ad² + bx + c)

Costanti

L'oscillazione armonica:

my'' = -ky - hy'

y'' = -^k/_m y - ^h/_m y'

y'' = -w_y²y - 2s y'

y'' + 2s y' + w_y²y = 0

Equazione delle oscillazioni smorzate

Quando s = 0 Cioè non c'è attrito

viso di si ha, y'' + w₂y = 0

Equazione delle oscillazioni libere

Consideriamo un punto materiale in movimento con la lagrangiana

ma = F quindi che my'' = F

Soggetto ad una forza conservativa cioè Energia potenziale U(y)

F = -U'(y)

my'' = -U'(y)

U(y) ≃ ¹/₂ U''(0) y²

U'(y) ≃ U''(0) y

k = U''(0)

my'' = -U''(0) y

y'' = -^k/_m y

y'' + w₂y = 0

y_p(t) = b cos(n₁t) + c sen(n₁t)

Derivando e sostituendo:

b(w²-n₁²) + 2cΞn₁ = 0

-2bΞn₁ + c(w² - n₁²) = α

b = ^{(w2 - n₁2) α}/_{(w² - n1²)² + 4Ξ²n1²}

c = ^{2Ξn α}/_{(w² - n1²)² + 4Ξ²n1²}

Si può notare che b₁² + c₁² = 1

b₂ = cos(Θ)

c₂ = sen(Θ)

Θ = arctan(^2Ξn/_{w² - n1²})

y_p(t) = ^α/_{√((w²-n1²)² + 4Ξ² n1²)} cos(nt + Θ)

y(t) = C₁ y₁(t) + C₂ y₂(t) + ^α/_{√((w²-n1²)² + 4Ξ² n1²)} cos(nt + Θ)

per t → + ∞; C₁y₁(t) + C₂y₂(t) → 0