Equazioni differenziali - 2

Equazioni diff (2^a)

• Consideriamo un punto materiale in movimento:

_{si ha che} ma=F _{quindi che} my''(t)=F

y(t)→posizioney'(t)→velocitày''(t)→accelerazione

F=-ky−hy'

my''(t)=-ky-hy'

Ed è un'equazione diff di 2^o grado omogenea

• Equazione diff ordinaria:

a(t) y''(t)+b(t) y'(t)+c(t) y(t)=f(t)a, b, c, f funzioni cont. su Ia≠0

• Soluzioni dell'equazione diff di 2^o grado:

y''−y'−2y=0

si nota che

a(t)=1c(t)=-2Cont. in:

b(t)=-1f(t)=0∀t∈ℝ

• ha come soluzione y(t)=e^2t?

Sì: essendo chey'(t)=2e^2ty''(t)=4e^2t

Sostituire:

e^2t(4-2-2)=0∀t∈ℝ

• ha come sol. y(t)=t²?

No! essendo:

y'(t)=2ty''(t)=2

Quante soluzioni ha un'eq. differenziale?Le soluzioni sono infinite

Equazioni diff (2°)

• Consideriamo un punto materiale in movimento con la legge oraria: y(t)

si ha che ma = F quindi che my'' = F

y(t) → posizioney'(t) → velocitày''(t) → accelerazione

Quindi si ha che:F = -ky - hy'

my'' = -ky - hy'

Ed è un'equazione diff di 2° grado omogenea

• Equazione diff ordinaria:a(t) y''(t) + b(t) y'(t) + c(t) y(t) = f(t)a, b, c, f funzioni cont. su Ia ≠ 0
• Soluzioni dell'equazione diff di 2° grado:y'' - y' - 2y = 0

Si nota che a(t) = 1C(t) = -2Cont. un: y ∈ R

b(t) = -1f(t) = 0

• Ha come soluzione y(t) = e^2t?

Sì, essendo che y'(t) = 2e^2ty''(t) = 4e^2t

Allora e^2t(4 - 2 - 2) = 0∀ t ∈ R

• Ha come sol. y(t) = t²?

No! essendo y'(t) = 2ty''(t) = 2

Quante soluzioni ha un'eq. di 2° grado?Le soluzioni sono infinite

Problema di Cauchy

_a(t)y^'' + b(t)y^' + c(t)y = f(t)y(_t0) = y₀y^'(_t0) = v₀

• Determinare l'integrale generale
• Imporre le condizioni iniziali
• Sostituire i valori delle costanti nell'integrale generale

Esempio:

y ^'' - 3y^' + 2y = ty(0) = 1y^'(0) = -1

y(t) = C₁e^t + C₂e^2t + ^t₂ + _3/2

y(0) = C₁e⁰ + C₂e⁰ + _1/4 y^'(0) = C₁ + 2C₂

C₁ + C₂ + _3/2 = 1C₁ + 2C₂ = -1

C₁ = 2C₂ = -_7/4

y(t) = 2e^-t - ^7t₄ + e^-2t

Integrale generale dell'eq. diff. lineare: