Analisi 2: Equazioni differenziali

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Con il termine EQUAZIONE DIFFERENZIALE (ED) indichiamo un'equazione in cui l'incognita è una funzione. "Differenziale" perchè nell'equazione è presente almeno una derivata dell'incognita. Ordine = il massimo grado di derivazione che compare. Integrale generale è la famiglia di tutte e sole le soluzioni.

Esempio

1. Ricerca della primitiva: data F: [a,b] → R continua, determinare tutte le Ψ: [a,b] → R derivabili, e tale che Ψ'(t) = F(t)\ \forall \ t \in [a,b]. L'integrale generale è Ψ(t) = ∫_a^t F(s) ds + c

Osservazioni:

• Infinite soluzioniSe oltre all'equazione differenziale assegno anche una condizione iniziale, Ψ(a) = Ψ₀ ∈ R con Ψ₀ fissato. In questo modo ne seleziono una particolare: Ψ₀ = Ψ(a) = ∫_a^a F(s) ds + c = c
• Modello di Malthus 1798Si consideri una popolazione che si evolve isolata i cui unici fattori di evoluzione sono la fertilità e mortalità.Ψ(t) = numero individui al tempo tm = tasso di mortalitàh = tasso di natalitàAll'istante t nascono hΨ(t) individui e ne muoiono mΨ(t).

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Con il termine EQUAZIONE DIFFERENZIALE (ED) indichiamo un'equazione in cui l'incognita è una funzione "differenziale" perché nell'equazione è presente almeno una derivata dell'incognita. ORDINE = il massimo grado di derivazione che compare. INTEGRALE GENERALE è la famiglia di tutte e sole soluzioni.

Esempio

1. Ricerca della primitiva: data \( F: [a,b] \to \mathbb{R} \) continua, determinare tutte le \( \psi: [a,b] \to \mathbb{R} \) derivabili e tali che \( \psi'(t) = F(t) \; \forall \; t \in [a,b] \)

   L'integrale generale è \( \psi(t) = \int_{a}^{t} F(s) \; ds + c \)

Osservazioni:

• Infinite soluzioni

Se oltre all'equazione differenziale assegnò anche una condizione iniziale, \( \psi(a) = \psi_{0} \in \mathbb{R} \)con \(\psi_{0}\) fissato. In questo modo ne seleziono una particolare:

\( \psi_{0} = \psi(a) = \int_{a}^{a} F(s) \, ds + c = c \)

2. Modello di Malthus 1798

   Si consideri una popolazione che si evolve isolata, i cui unici fattori di evoluzione sono la fertilità e mortalità.

   \( \psi(t) = \) numero individui al tempo \( t \)\( m = \) tasso di mortalità\( h = \) tasso di natalità

   All'istante \( t \) nascono \( h \psi(t) \) individui e ne muoiono \( m \psi(t) \).

Legge di Malthus:

u'(t) = nu(t) - mu(t)

ψ'(t) = ku(t) k = n - m

u(t) = c e^kt ψ'(t) = k e^kt = ku(t)

Osservo che ψ(t) = c e^kt al variare di c ∈ R

Mostro che ogni possibile soluzione è del tipo

ψ(t) = c e^kt per qualsiasi c ∈ R

Sia z(t) una qualsiasi soluzione

Chiamo w(t) = z(t) e^-kt ⟹ z'(t) - kz(t) = 0

w'(t) = c ⟹ z(t) = ce^kt

Conclusione ⟶ l'integrale generale dell'E.D.

ψ(t) = ψ(t) e ψ(t) = c e^kt al variare di c ∈ R

Equazioni del 1^o ordine

E ⊆ R² sottoinsieme e F : E ⟶ R

ψ'(t) = F(t, u(t)) in forma normale

Definizione

Diciamo che una funzione u: I ⟶ R con I ⊆ R

intervallo è soluzioni dell'equazione differenziale

u'(t) = F(t, u(t)) se

• 1) u è derivabile in I
• 2) (t, u(t)) ∈ E ∀ t ∈ I
• 3) ∀ t ∈ I vale u'(t) = F(t, u(t))

Notazione abbreviata

w = F(t, u)

Problema di Cauchy

Equazione con una condizione iniziale

Definizione

Dato (t₀, u₀) ∈ E, si considera il

Problema di Cauchy (P.d.C.)

• ψ'(t) = F(t, ψ(t))
• ψ(t₀) = u₀

Diciamo che _Vt : I ➔ R con I ⊆ R intervallo ⊆

soluzione dei PdC sopra se:

1. V verificazione dell'equazione differenziale

V'(t) = f(t, V_t(t))

2. t_o ∈ I
3. V_t(t_o) = V_o

TEOREMA DELL'ESISTENZA E UNICITÀ LOCALE

Se A ⊆ E: R ➔ R con A aperto, e sia (t_o, V_o) ∈ A.

Assumamo:

• f continua in A
• ∂f ∃ ed è continua in A

Allora ∃ intervallo aperto

I ⊆ I_oed ∃! (unica)

V_t : I ➔ R soluzione del problema di

Calucha

• V'(t) = f(t, V_t(t))
• V_t(t_o) = V_o

→ Soluzione locale

Osservazione

• Se f ∈ C((1 ): ➔ le due ipotesi del Teorema valgono
• le soluzioni ∈ C((1 ). Infatti, se V_t(t) = E(LV_t(t))
• ma E(t, LV_t(t)) ∈ C((1 ) ➔ V ∈ C((1 )
• la seconda ipotesi può essere indebolita: il modello
• vale da un punto di vista si suppone che f sia
• localmente (nell'istichanza) limitata e uniformemente
• lipschim sou libero rispetto a V_t, cioè ∀K c A compatto, ∃ k > 0:
• |f(t, V_t1) - f(t, V_t2)| ≤ k |V_t1 - V_t2|

CONDIZIONE di LIPSCHITZ

TEOREMA DELL'ESISTENZA E UNICITÀ GLOBALE

Se I ⊆ R intervallo e f : I x R ➔ R

1. f continua in I x R
2. ∀ V = [a, b] ⊆ I ∃ L > o:
3. |f(t, V_t1) - f(t, V_t2)| ≤ L |V_t1 - V_t2|

∀ e ∈ J ∀ u, u₁, u₂ ∈ R

Allora ∃ (t₀, y₀) ∈ I×ℝ ∀ problema di Cauchy

y(t) = f(t,y(t))y(t₀) = y₀

Ammette un'unica soluzione ∀: I → ℝ

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL PRIMO ORDINE

Sia data un’equazione differenziale lineari di ordine uno le D:

y'(t) + a(t)·y(t) = f(t)con a, f: I → ℝ con I ⊂ ℝ intervallo funzioni continue(1)

Se f(t)=0 le D si dice omogenea, altrimenti si dice completa

TEOREMA + INTEGRALE GENERALE della

Sia data una qualsiasi primitiva fissata di a(t)e sia data F(t) qualsiasi primitiva fissata diE(-t) = (allora +(1)y_t(t) = c·E(t) + F(t)) ∀ sol vereci di ℝ

OSSERVAZIONI

• L'integrale generale non dipende dalla scelta di a(t) o E(t)
• Infatti tutte e solo le primitive di a(t) sono a/th p con p ∈ℝ
• Fissato D∈ℝ tutte e solo le primitive di E(t) __ a(t)p sono

e F(t)=E(t) + p con a ∈ ℝ

Quindi e^{P(t) = c+e-p E(t)} e^{-p q} ≡......(c + c^-p E(t)) + e^{-p q} ≡

= e^-a(t) e^P(c+e^-p E(t)) + e^{-p q} ≡

= e^-a(t) Ce^P + F(t) + q ≡

= e^P[d + F(t)] con d = __ p con __ q costante

• La formula dell'integrale generale si può ricavare usando l'integrale indefinito:

μ(t) = e^-λt ∫ f(t) e^λt dt

+ Costante Arbitraria

Dimostrazione

TEOREMA

Siano f, g: I → R con I ⊆ R intervallo continuo, e sia t₀ ∈ I. Allora ∀ y₀ ∈ R il Problema di Cauchy

• μ'(t) + a(t) μ(t) = f(t)
• μ(t₀) = y₀

ammette un'unica soluzione μ: I → R di classe C¹(I) data dalla formula

μ(t) = e^-A(t) [y₀ + FoI(t)] dove

• A(t) = ∫_t0^t a(s) ds
• FoI(t) = ∫_t0^t f(s)e^A(s) ds

Dimostrazione

Osservazione

Valgono le ipotesi del teorema di esistenza e unicità globale (∀ t)

F(t, y) = -a(t)y + f(t) è continuo su I × R indice K = {2 L_J + 1} ∈ I × (y ∈ J) ∀ y₁, y₂ ∈ R abbiamo

|F(t, y₁) - F(t, y₂)| = |-a(t) y₁ + f(t) + a(t) y₂ - f(t)|

= |a(t) (y₁ - y₂)| ≤ L_J |y₁ - y₂|

Potenza di Weierstrass

con L_J = max |a(t)| t ∈ J

Equazioni differenziali del secondo ordine

a(t) y''(t) + b(t) y'(t) + c(t) y(t) = f(t)

con a,b,c,f funzioni continue in Ia ≠ 0

Definizione

Si dice soluzione dell'equazione differenzialenell'intervallo I ⊆ R, una funzione y: I → Rderivabile due volte per cui sostituendonell'equazione differenziale i valori effettivi diy(t), y'(t) e y''(t) si ottiene chea(t)y''(t) + b(t)y'(t) + c(t)y(t) = f(t) ∀ t ∈ I.Le soluzioni sono infinite → integrale generale

Teorema - Principio di sovrapposizione

Se y₁ è soluzione di ay'' + by' + cy = f₁e y₂ è soluzione di ay'' + by' + cy = f₂allora la funzione y(t) = G₁y₁(t) + G₂y₂(t) èsoluzione di ay'' + by' + cy = G₁f₁ + G₂f₂

Teorema di struttura - Equazioni omogenee

(Integrale generale di ay'' + by' + cy = 0Omogenea) con a,b,c funzioni continue in I, a ≠ 0e dato da tutte le combinazionilineari y(t) = G₁y₁(t) + G₂y₂(t) ∀ G₁,G₂ ∈ R

→ Dimostrazioni

Equazioni complete f(x) ≠ 0y₀ soluzione di L[y]=0 → equazione omogeneayₚ soluzione di L[y]=f → equazione completay(t)=y₀(t)+yₚ(t) sono soluzioni di L[y]=f

Teorema di struttura - Equazioni complete

(Integrale generale di a(t)y'' + b(t)y' + c(t)y = f(t)con a,b,c,f continue in R e a(t) ≠ 0 in I, èdato da tutte e sole le funzioni

y(t) = G₁u₁(t) + G₂u₂(t) + yₚ∀ G₁,G₂ ∈ R

dove y₁ e y₂ sono due soluzioni linearmente indipendenti dell'equazione omogenea associata

Equazioni omogenee a coefficienti costanti

ay''+by'+cy=0 _con a,b,c ∈ ^ℝ a ≠ 0

Esempio

y''+4y'+3y=0

• Sostituisco

λ²e^λt+4λe^λt+3e^λt=0 e^λt(λ²+4λ+3)=0 λ²+4λ+3=0 λ₁ = -1 => y₁ = e^-t λ₂ = -3 => y₂ = e^-3t

non sono proporzionali tra di loro quindi sono linearmente indipendenti.

CASO GENERALE

μ(t) = e^λt soluzione

2λ² e^λt + b λ e^λt + c e^λt = 0 e^λt (2λ²+bλ+c) =0 e^λt ≠0 ∀ t ∈ ^ℝ

ρ(λ) = 2λ²+bλ+c

ρ(λ) = 0 Equazione caratteristica

• Se Δ>0 → 2 _radici reali e distinte λ₁ e λ₂

linearmente indipendenti

• Se Δ<0 → 2 _{soluzioni complesse coniugate}

λ₁ = α + iβ λ₂ = α - iβ α = ^-b/_2a β = ^√(4ac-b²)/_2a

le soluzioni sono u₁(t) = e^αt cos (βt) u₂(t) = e^αt sin (βt)

• ΔΞ0 → 2 radici reali complesse

• problema di Cauchy associato alle equazioni differenziali omogenee

Il metodo di convergenza

Esercizio

Forzante esponenziale

Osservazione

Se termine noto f(t) e soluzione dell'equazione omogenea il metodo non funziona allora modificare la forma di y_p(t) defostandosi il meno possibile.

• y_p(t) = Ct e^λt -> moltiplico per E la forma inte [illeggibile] dei polinomi associati

• y_p(t) = C t e^λt -> moltiplico per t due radici doppie di P(λ)

b. Forzante Polinomiale

Se y_p(t) e un polinomio di grado n y_e(t) ≠ p₁(t)

• y_p(t) = n+1
• y_p(t) = n+2
• y_p(t) = Bn tⁿ + An t^n-1 + ... + Bt + B₂

-> si ottiene sistema lineare di n+2 incognite

Osservazione

Nel caso manchi il termine di grado zero nell'equazione omogenea il metodo non funziona! Bisogna moltiplicare per t il polinomio scelto facendolo diventare di grado n+1, se manca anche il primo grado bisogna moltiplicare invece per t².

• y_p(t) = {At + B) se a b ≠ 0
• y_p(t) = t² (At + B) se a ≠ 0

c. Forzante Trigonometrica

a y'' + b y' + c y = A cos (vt) + B sin(vt)

y_p(t) = C₁ cos (vt) + C₂ sin(vt)

Osservazione

Se il termine noto include la funzione omogenea associata il metodo non funziona. Come nel caso esponenziale devo moltiplicare per t

Ciò si verifica solo se...

b = 0

w² = c / a

w = v

w² ≠ w_n

- Frequenze multiple: forzare con multiplo di quella naturale

y_n" + w_n²y = 0

y_f" + w_f²y = α cos (vt) + β sin(vt)

Il metodo di variazione delle costanti

Se f(t) non rientra nei casi semplici (polinomio esponenziale e trigonometria)

ay" + by' + cy = f(t)

ay" + by' + cy = 0

y₁(t) = c₁(t) y₁(t) + c₂y₂(t)

metodo y(t) = c₁(t) y₁(t) + c₂y₂(t)

c₁y₁' + c₂y₂' = 0

a(c₁y₁ + c₂y₂) = f

w(t) = a(y₁y₂ - y₁y₂) ≠0

Risolvo con metodo di Kramer

c₁(t) = [ 0 y₂ ] / w = [ f y₂ ] / w

c₂(t) = [ y₁ 0 ] / w = [ y₁ f ] / w

y_p(t) = - y₁ (t) ^{∫_t0 t f(s)y₂(s) / w(s)} ds + y₂(t) ^{∫_t0 f(s)y₁(s) / w(s)} ds =

calcolare le primitive

t0 e t scelto

EQUAZIONI DIFFERENZIALI A VARIABILI SEPARABILI

DEF Si dicono equazioni differenziali a variabili separabili le equazioni differenziali della forma:

y'₁(t) = a(t) b(y₁(t)) con a e b funzioni continue

TEOREMA

Si consideri il Problema di Cauchy con a continua da I intervallo aperto tale che t₀ ∈ I,

b derivabile con derivata continua da un intervallo aperto J tale due y₀ ∈ J.

Allora esiste I₁ ⊂ I intervallo aperto tale due t₀ ∈ I₁ ed un'unica soluzione di classe C₁ in I

Δ Dimostrazione

OSSERVAZIONE

L'insieme I₁ può essere strettamente contenuto in I (Questo non accade nelle ED lineari)

OSSERVAZIONE

Va e, se:

* La funzione costante y(t) = y₀ ∀t ∈ I

e b[y₀] = 0 Soluzione banale

* Altrimenti, se b[y₀] ≠ 0, è data dalla formula

∫_y0^y 1/b(r) dr = ∫_t0^t a(s) ds

Formula per la soluzione in forma implicita

Infatti, se b(μ(t)) = 0

μ(t) = t₀ ∀ t ∈ I risolve il problema di Cauchy

Se b(μ(t)) ≠ 0, ∃ intervallo aperto J ⊂ I tale che

∀ t ∈ J b(μ(t)) ≠ 0 ∀ t ∈ J (teorema permanenza del segno)

Essendo γ : I → R continua e tale che γ(t₀) = γ₀

è possibile mostrare che ∃ intervallo aperto I" ⊂ I

tale che

1. t₀ ∈ I"
2. γ(t) ∈ Γ ∀ t ∈ I"

In definitiva, ∀ t ∈ I" ho b(μ(t)) ≠ 0 ⇒

γ(t) = a(t) b(μ(t)) passo divisione per b(μ(t))

∫_t₀^t γ(s) b(μ(s)) = ∫_t₀^t a(s) ds

Arrivo a

∫_μ(t₀)^μ(t) γ(s) dγ = (dr/5(r))

∫_t₀^t (2) = ∫_μ(t₀)^μ(t) a(s) ds

Equazioni differenziali di Bernoulli

ψ(t) + a(t) ψ(t) + b(t) [ψ(t)]^γ = 0

con f ∈ R f ≠ 0,2 a o 0. I = R continue

ψ(t) + a(t) ψ(t) + b(t) [ψ(t)]^γ = 0

ψ(t₀) = ψ₀ ≠ 0

γ diviso per [ψ(t)]^γ