Analisi 2: Equazioni differenziali

Equazioni Differenziali

Con il termine equazione differenziale (ED) indichiamo un’equazione in cui l’incognita è una funzione “differenziabile” perché nell’equazione è presente almeno una derivata dell’incognita.

Ordine = il massimo grado di derivazione che compare.

Integrale generale = la famiglia di tutte e sole soluzioni.

Esempio

1. Ricerca della primitiva: data F: [a,b] → ℝ continua, determinare tutte le y: [a,b] → ℝ derivabili e tali che y'(t) = F(t) ∀ t ∈ [a,b]
2. L’integrale generale è   y(t) = ∫_a^t F(s) ds + c

Osservazioni:

• Ha infinite soluzioni
• Se oltre all’equazione differenziale assegno anche una condizione iniziale: y(a) = y₀ ∈ ℝ con y₀ fissato, in questo modo ne seleziono una particolare

y₀ = y(a) = ∫_a^a F(s) ds + c = c

2. Modello di Malthus 1798

Si considera una popolazione che si evolve isolata i cui unici fattori di evoluzione sono la fertilità e mortalità.

y(t) = numero individui al tempo t

m = tasso di mortalità

h = tasso di natalità

All’istante t nascono h y(t) individui e ne muoiono m y(t).

Legge di Malthus

ψ'(t) = nψ(t) - mψ(t)

ψ'(t) = K ψ(t)    K = n - m

ψ(t) = e^Kt

ψ'(t) = K e^Kt = K ψ(t)

Osservo che  ψ(t) = c e^Kt   al variare di c ∈ ℝ

Mostro che ogni possibile soluzione è del tipo

ψ(t) = c e^Kt per qualche c ∈ ℝ

Sia z(t) uno qualsiasi soluzione

chiamiamo w(t) = z(t) e^-Kt

w'(t) = c    z'(t) - K z(t) = 0

w(t) = c    z(t) = c e^Kt

Conclusione → l'integrale generale dell'ED

ψ(t) = ψ(t) e    ψ(t) = c e^Kt al variare di c ∈ ℝ

Equazioni del 1º Ordine

E ⊆ ℝ² sottoinsieme e f : E → ℝ

ψ'(t) = f(t,ψ(t))    in forma normale

DEF   Diciamo che una funzione ψ : I → ℝ con I ⊆ ℝ intervallo è soluzione dell'equazione differenziale

ψ'(t) = f(t,ψ(t)) se

1. ψ è derivabile in I
2. (t,ψ(t)) ∈ E   ∀t ∈ I
3. ∀t ∈ I vale ψ'(t) = f(t,ψ(t))

Notazione Assoluta    w = f(t,u)

Problema di Cauchy

Equazione con una condizione iniziale

DEF   Date (t_o,u_o) ∈ E & si consideri il problema di Cauchy (P.C)

• ψ'(t) = f(t,ψ(t))
• ψ(t_o) = u_o

Equazioni differenziali del secondo ordine

a(t)y''(t) + b(t)y'(t) + c(t)y(t) = F(t)

• con a,b,c F funzioni continue in I e a(t) ≠ 0 in I dato forzante

Def

Si dice soluzione dell'equazione differenziale nell'intervallo I⊆R una funzione y: I→R derivabile due volte per cui sostituendo nell'equazione differenziale i valori effettivi di y(t), y'(t), e y''(t) si ottiene che

a(t)y''(t) + b(t)y'(t) + c(t)y(t) = f(t) ∀t∈I

• Le soluzioni sono infinite → integrale generale

Teorema - Principio di sovrapposizione

Se y₁ è soluzione di a(t)y₁'' + b(t)y₁' + c(t)y₁ = F₁ e y₂ è soluzione di a(t)y₂'' + b(t)y₂' + c(t)y₂ = F₂ allora la funzione y(t) = c₁y₁(t) + c₂y₂(t) è soluzione di a(t)y'' + b(t)y' + c(t)y = c₁F₁ + c₂F₂.

Teorema di struttura - Equazioni omogenee

(Integrale generale di a(t)y''+b(t)y'+c(t)y=0 (omogenea) con a,b,c funzioni continue in I e a(t)≠0 in I è dato da tutte le combinazioni lineari y(t) = c₁y₁(t) + c₂y₂(t) ∀c₁, c₂∈R.

Dimostrazione

Equazione completa

F(t)≠0

y₀ soluzione di a(t)y₀=0 → equazione omogeneayₚ soluzione di a(t)yₚ=F → equazione completa

y(t) = y₀(t) + yₚ(t) sono soluzioni di y=F.

Teorema di struttura - Equazioni complete

(Integrale generale di a(t)y''+b(t)y'+c(t)y=f(t) con a,b,c,f continue in I e a(t)≠0 in I è dato da tutte e sole le funzioni:

y(t) = G₁μ(t) + G₂v(t) + yₚ _{∀c₁, c₂∈R.}

∫ y_n(s) z₁(s) y₁(s) z₁(s) ds = ∫ G₁(s,t₁) F₁(s) ds

G(t₁,s) = y₁(s) y₂(s) = y_n(t) z₁(s) w(s)

EQUAZIONI DIFFERENZIALI A VARIABILI SEPARABILI

DEF: Si dicono equazioni differenziali a variabili separabili le equazioni differenziali della forma:

y' (t) = a(t) b(y(t)) con a e b funzioni continue

TEOREMA

Si consideri il Problema di Cauchy

• a continua da I intervallo aperto tale che t₀ ∈ I,
• b derivabile con derivata continua da un intervallo aperto I tale che y₀ ∈ J.

Allora esiste e ⊆ I intervallo aperto tale che t₀ ∈ I ed un'unica soluzione di classe C¹ in I

• y' (t) = a(t) b(y(t))
• y(t₀) = y₀

∆ Dimostrazione

OSSERVAZIONE

• L'insieme I_e può essere strettamente contenuto in I (Questo non accade nelle ED lineari)

OSSERVAZIONE

• Va ∀ ^e

• La funzione costante y(t) = y₀ ∀ t ∈ I
• & b(y₀) = 0 Soluzione banale
• Altrimenti, se b(y₀) ≠ 0, è data dalla formula

∫ _y0 ^y_e dr/b(r) = ∫_t0 ^t a(s) ds Formula per la soluzione in forma implicita