Equazioni di Maxwell

Equazioni di Maxwell-Coulomb e Gauss

L'equazione di Coulomb-Gauss è data da: 𝜙(E) = Q_int / ε₀ → div E = ρ / ε₀. La densità di carica ρ è data dalla somma di ρ_p + ρ_p. Si ha che P = ε₀ χ_e E e quindi D = ε₀ E + P. Inoltre, ρ_p = div P e D = εE. Spesso ε è un tensore, ma in alcuni casi può essere considerato una costante per materiali omogenei e isotropi. Quando E è un tensore, D × E.

Prima equazione

I Equazione 𝜙(D) = Q_int → div D = ρ. Il campo è conservativo: ∮_j E·ds = 0 → rotE = 0. La forza è data da f = -d√(B) / dt → ∮_j E·ds = -d ∫_S B n dS dt.

Seconda equazione

II Equazione ⇒ rot E = - ∂B / ∂t. Non esistono monopoli magnetici e quindi la II Equazione è div B = 0.

Teorema della circuitazione di Ampere

∮_C B·ds = μ₀I_Concatenate → rot B = μ₀ ∫_jJ - θ_j + J_M. J_M,V = rot H. B = μH e H = B / μ₀ - M.

Quarta equazione

IV Equazione ∮_j H·ds = I ⇒ rot H = J. E, D. D = εE. B, H. B = μH. ε, μ sono coefficienti lineari.

Equazioni di Maxwell-Coulomb e Gauss

∂φ(E) = Q_int / ε₀ → div E = ρ / ε₀. Si ha: p → ρ = ρ_p → P = ε₀χ_eE → D = ε₀E + P → ρ_p = -div P → D = εE. Spesso ε è un tensore, ma nel caso di materiale omogeneo e isotropo ε è una costante. Quando ε è un tensore, D ≠ εE.

Prima equazione

I EQUAZIONE φ(D) = Q_int → div D = ρ. Il campo è conservativo: ∂∫E⋯ds = 0 → rotE = 0 → f = -∂(B) / ∂t → ∂∫Eds = - d∫_sBn ds / ∂t.

Seconda equazione

II EQUAZIONE ⇒ rotE = -∂B / ∂t. Non esistono monopoli magnetici.

Terza equazione

III EQUAZIONE div B = 0.

Teorema della circuitazione di Ampere

∂∫Bds = μ₀I_concatenate → rotB = μ₀[J ⇀ J + J_M. J_M,V = rotHB = μH → H = B / μ₀ - M.

Quarta equazione

IV EQUAZIONE ∂∫Hds = I → rotH = JE, D → D = εEB, H → B = μH. ε, μ sono coefficienti lineari.

Relazione tra campi elettrici in materiali diversi

Considerando le III equazioni di Maxwell: E_St = ℓ_St cosθ, a_S = ℓ · dl. E_tl l + (n₀) + [-E_zt ℓ] + (n₀) = (n₀)AB + BC + CD + DA. E_dt l - E_zt l = 0. E_xt l = E_zt l.

Senza cariche: ∀ (^D⃗) = Q_INT = 0 → D_1m S₁ + (-D_2m S₂) = 0 → D_1m = D_2m. Pertanto: d_ir D₁ = 0, d_is B₁ = 0, E₁ = 0, rot H₁ = 0, D_1m = D_2m, B_1m = B_2m, E_t = E_2t, H_1t = H_2t.

Corrente di spostamento: RfSTS₁IV Maxwell ∫_S H_ds = I = ∫_S0 J_md_s = ∫_S1 J_md_s. Q = εS = DSI = dQ/dt = dD/dt. J ⟹ J + I/S = J + ∂D/∂t. D(t) = ε₀E(t) = ε₀E_Msin(ωt). 3MV/m L_p 2π50Hz.

Ordine di grandezza: ∂D(t)/∂t = ε₀E_Mωcos(ωt). 8.9 × 10^-12 × 3.10⁶ × 3.14 ≈ 10⁹ × 10^-12 × 10^-6 = 10^-2A/m². J ≈ 1A/mm² = 10⁶A/m². Trascurabile se f < 100KHz, cemento o/i conduttore.