Dal magnetismo alle equazioni di Maxwell

Il campo magnetico

Simbolo B, relazione con il campo elettrico

Il magnetismo

• Polo nord magnetico - equivalente carica positiva
• Polo sud magnetico - equivalente carica negativa

Poli dello stesso tipo si respingonoPolo nord e polo sud si attraggono

I 2 poli non si possono scindere - diverso da carica elettrica

Linee del campo magnetico - otto somiglianza - campo magnetico esce dal polo nord ed entra nel polo sudCampo elettrico esce dalle cariche positive ed entra in quelle negative

Per evidenziare il campo magnetico seleziono un punto P e il vettore B campo magnetico sarà tangente alle linee di campo

Campo magnetico terrestre

Nel polo sud magnetico abbiamo il polo nord geografico, mentre nel polo nord magnetico abbiamo il polo sud geografico

Il campo magnetico

Simbolo B, relazione con il campo elettrico.

Il magnetismo

• Polo nord magnetico → equivalente carica positiva
• Polo sud magnetico → equivalente carica negativa

Polo dello stesso tipo si respingono.

Polo nord e polo sud si attraggono.

I 2 poli non si possono scindere → diverso da carica elettrica.

Linee del campo magnetico

Ottima somiglianza → campo magnetico esce dal polo nord ed entra nel polo sud.

Campo elettrico esce dalle cariche positive ed entra in quelle negative.

Per evidenziare il campo magnetico seleziono un punto P e il vettore B campo magnetico sarà tangente alle linee di campo.

Campo magnetico terrestre

Nel polo sud magnetico abbiamo il polo nord geografico, mentre nel polo nord magnetico abbiamo il polo sud geografico.

Il campo magnetico agisce anche sulle cariche elettriche solo se

sulle cariche ferme non agisce

La forza di Lorentz

la forza che il campo magnetico esercita sulle cariche elettriche

F = q · v x B

velocità

campo magnetico o induzione magnetica [B] = Tesla

codice

F = q · v · B · sen α

angolo fra v e B se α=0° allora F=0

se α=90° allora F=max

Per la direzione di F si usa la regola della mano destra

inoltre F è sempre perpendicolare sia a v che a B

L'effetto del campo magnetico è quello

di cambiare la traiettoria delle cariche

le cariche compiono quindi un

moto circolare

senza modificarne la velocità

R_(raggio) = ^{m · v}/_{q · B} · sen α

T_(periodo) = ^{2π · m}/_{q · B}

non dipende da v!

quando 0° < α < 90°

si forma un moto

elicoidale

Nel moto circolare Forza di Lorentz = Forza centripeta

Spettrometro di massa

serve per ricavare la massa di protoni/elettroni

conoscendo B q e il raggio di curvatura.

Lo sorgente “S” produce uno ione di massam e di carico q che viene accellerato dalladdp V. Lo ione entra in un campo magneticoche curverà la sua traiettoria sino aquando non colpirà dei sensori a distanzax dall’ ingresso

Selettore di velocità

F_magnetica = q v B

F_elettrica = q E

se F_m = F_e

• la particella passeràtra 2 campi senzarisentire l’effetto dinessuno delle due

La particella si muove in linea retta se

F_net = q(E + v x B) = 0 => v = E B

• se v < E B vince il campo Elettrico e lo spazio rimane ingobbito
• se v > E B vince il campo magnetico erimane ingobbito

per farle uscire

v = E B

Il campo magnetico B

influenza sempre e solo le cariche in movimento

F_Lorentz = q ⋅ v ⋅ B ⋅ senα

Ma nella realtà le cariche si muovono in gruppo

Un filo percorso da una corrente subisce una forza magnetica

F_magnetica ≠ F_Lorentz

• corrente di cariche
• 1 carica

F_magnetica = i l × B = i ⋅ l ⋅ B ⋅ senα

• corrente
• lunghezza filo

F_magnetica = perpendicolare sia ad i che B

Nel filo le cariche non risentono di una deviazione della traiettoria che cioè un moto circolare

Risente tutte della F_m ed esso sposterà il filo nel suo verso

Il filo si sposta ma non ruota!

Una spira quadrata

un filo a forma di quadrato

F₁ = i ⋅ l ⋅ B ⋅ senα

F₂ = i ⋅ l ⋅ B ⋅ senα

F₃ = i ⋅ l ⋅ B ⋅ senα

F₄ = i ⋅ l ⋅ B ⋅ senα

E₂ e F₁ si annullano a vicenda perciò la spira non ne risente

F₁ e F₃ creano una forza di coppie → obbligano la spira a ruotare da F₁ a F₃

Le spire possono essere di tutte le forme.

Momento magnetico di una spira → µ = i · S corrente superficie spira

più grande è più lo spira µ è un vettore esso è sempre perpendicolare alla superficie

gira veloce

Esce se i circola in senso antiorario

Entra se i circola in senso orario

Momento torcente → ⃗ = ⃗ × ⃗

  ↓

obbligo lo spira a ruotare in modo

che il vettore µ si allinei al vettore B

Il campo magnetico → è prodotto dalle correnti elettriche

ed ho effetto sulle cariche elettriche

Oersted si rese conto che avvicinando

una bussola ad un circuito elettrico, esso

influenzava la direzione dell'ago magnetico.

Campo magnetico prodotto da un filo rettilineo

= ₀ · / 2 · R permeabilità magnetica nel vuoto

    distanza dal filo

_{B = ^{μ0 i}/2π R}

Legge di Biot e Savart

μ₀ = 4 π · 10^-7 T · m/A

i verso il basso

B senso orario

I

i verso alto

B senso antiorario

Campo magnetico prodotto da una spira

_{B = ^{μ0 R2 i}/(2 (z² + R²)^3/2)}

B lungo l'asse ad una distanza z dal centro è sempre perpendicolare alla spira

Campo al centro dello spira

_{B = ^{μ0 i}/2 R}

Campo prodotto da un solenoide

Campo come nel geomag escono dal polo nord ed entrano nel polo sud

Se la corrente gira in senso antiorario il campo magnetico è entrante

Se la corrente gira in senso orario il campo magnetico è inverso

_{B = μ0 n i = μ0 (^{N i}/l)}

al centro del solenoide

numero di spire

lunghezza solenoide

dove n = ^N/_l ovvero la densità di spire

più sono attaccate più B è intenso

Campo magnetico di un filo piegato ad arco

B = (μ₀ i φ) / (4 π R)

angolo φ

raggio

Campo al centro della curvatura

Legge di Ampère

Relazione generale tra correnti e campi prodotti da esse

Useremmo la circuitazione "ℭ"

essa tiene conto di quanto vale un campo B lungo un percorso chiuso nello spazio

ℭ = B₁ L₁ + B₂ L₂ + B₃ L₃ + B₄ L₄

Ovviamente negli esercizi il tipo di percorso chiuso verrà definito

Legge di Ampère

ℭ_B = μ₀ i_{tot c} = ∮B⃗ · dl⃗

Corrente totale concatenata oppure attraverso il percorso di Ampère

i_c > 0 se la corrente esce dallo spicchio del percorso in cui esso gira in senso antiorario

Quindi

B produce F su i

i genera B

Le correnti producono F_one su altre correnti

Forza tra 2 conduttori

Paralleli

Il campo B₂ ha lo stesso formula del campo generato da un filo infinitamente lungo

F_1,2 = μ₀ · l · i₁ · i₂ / 2πd

• correnti parallele e concordi si attraggono
• correnti parallele e discordi si respingono

B₂ produce F su i₁      B₂ generato da i₂

B₁ produce F su i₂      B₁ generato da i₁

Campo B

Agisce su cariche elettriche in moto (Forza di Lorentz)

Campo B provoca forze su correnti

Campo B generato da correnti (Oersted)

Faraday:

Campo B genera correnti

Induzione elettromagnetica:

Esperimento di Faraday

Circuito con Amperometro (misura i) e con un solenoide

Nel circuito non è presente

nessun generatore

Faraday mise allora una calamita all'interno del solenoide

ma nel circuito non scorre corrente

avere B dentro il solenoide non genera corrente

quando tolse la calamita

solamente quando la calamita si muove nel circuito scorre corrente

del circuito l'amperometro

si accese, quindi scorre una corrente

Campo B genera corrente se esso è in movimento

Esperimento di Faraday

Se il flusso di B cambia allora si genera una corrente i nel circuito

Flusso → quante linee di campo attraversano una superficie

Φ = B · S = B S cos α

superficie del circuito

quando cambia ?

B cambia valore

S cambia valore

α cambia valore fra B e la normale alla superficie

1º caso:

Mentre i aumenta aumenta anche B e quindi il flusso

All'interno della spira si genera corrente i

La corrente i è presente solo mentre i cambia. Se si stabilizza, i scompare.

2º caso:

Se smetto di allungare i scompare.

La spira è allungabile. Se allungo S aumenta e quindi Φ cambia.

3º caso

La spira ruota all'interno di un campo magnetico.

L'altra spira e B cambia in continuazione e quindi anche Φ compirà quindi i.

Se blocco la spira blocco anche B costante che quindi scompare.

Induzione elettromagnetica → Il campo B con Φ (flusso) che varia genera una corrente.

La corrente gira → Il cambiamento del Φ di B attraverso il circuito genera ora f.e.m. “finita”.

f.e.m

ΔV di un generatore

B genera una f.e.m come se ci fosse un generatore

f.e.m INDOTTA

Legge di Faraday-Neumann

se conosco Φ_iniziale e Φ_finale

f.e.m INDOTTA = - ΔΦ_s (B) / Δt

flusso del campo B

attraverso la SUPERFICIE del circuito

tempo in cui Φ muta

f.e.m INDOTTA = - d Φ_s (B) / dt

in TEMPO PRECISO

Legge di Lentz

aggiunse il "-" alla legge di Faraday-Neumann

OERSTED:

CAMPI B da CORRENTI

FARADAY:

CORRENTI da CAMPI B

LENTZ:

la CORRENTE indotta di un CAMPO B

CREA un ALTRO CAMPO B

Alla i₁ genera un campo B₂

una B₂ genera una corrente i₂

e quindi un campo B₃ e

così all'INFINITO

Allora LENTZ disse

Il campo magnetico B₁ e il campo B₂

devono per forza opporsi uno

contro l'altro

Avevo

La corrente _iINDOTTA deve creare un campo _B2 che si opponga agli effetti di _B1

ecco perché il "-"

Dalla 1^° LEGGE DI OHM

mi ricavo è

_{e.m INDOTTA} = _iINDOTTA · R

resistenza

(meno)

(meno meno) = +

(meno)

(più)

(più)= -

(meno)

(meno)

(più meno) = -

(più)

(più più) = +

SE POLO NORD IN BASSO

la colomito ha segno "-"

se la colomito si muove verso il basso

avrà segno "-"

Se il PRODOTTO è un MENO

corrente in senso orario

campo _BINDOTTO entra nello SPIRA

Se il PRODOTTO è un PIÙ

corrente in senso ANTIORARIO

campo _BINDOTTO esce dello spira

Le equazioni di Maxwell

La 1a equazione o Teorema di Gauss

(campo elettrico)

Φ(E) = Q / ε₀

attraverso superficie chiusa

mi descrive la forma del campo E

2a Equazione di Maxwell

Teorema di Gauss (campo magnetico)

Φ(B) = 0 sempre

Attraverso una superficie chiusa

Le linee di campo B sono chiuse che non hanno un punto di origine

In casi eccezionali come il campo terrestre le linee non sono chiuse

Ovvero non esistono cariche magnetiche

3a Equazione di Maxwell

La legge di Faraday-Neumann-Lentz

Un campo magnetico che varia nel tempo produce un campo E

ΔV_indotto = -ΔΦ(B) / Δt

(variazione di B)

essendo uno differenza di potenziale

riguardo il campo elettrico

circuitazione

ℓ(E) = ΔV

lungo quel percorso

La legge di Faraday-Neumann-Lentz

diventa

Legame fra campo elettrico e campo magnetico

• se esiste un campo B che cambia nel tempo, quindi possiede un flusso che muta, si genererà un campo E che avrà una certa C (circolazione)

Il campo fa girare le correnti

4° Equazione di Maxwell

Legge di Ampère

• creazione di B lungo filo chiuso

Corrente concatenata a quel circuito

Funziona per tutti i cosi tranne che per i circuiti RC

Attorno ai voi: fili si forma un campo B

Va contro la Legge di Ampère

Maxwell

• si occorre che le 2 armature essendo cariche generino un campo elettrico in aumento, poiché il condensatore si sta caricando