Equazioni di Cauchy Riemann

Equazioni di Cauchy-Riemann

La funzione f(z) può essere espressa come f(x, y) = u(x, y) + i v(x, y), dove u(x, y) e v(x, y) rappresentano rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di f.

Condizioni di Continuità e Olomorfia

• La funzione f è continua se e solo se u e v sono continue.
• La funzione f è olomorfa se e solo se sono soddisfatte le seguenti equazioni di Cauchy-Riemann:

∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = -∂v/∂x
∂f(z) = ∂f(x, y)/∂x

Le equazioni di Cauchy-Riemann possono essere riscritte come:

Consideriamo di nuovo la funzione f(z) espressa come f(x, y) = u(x, y) + i v(x, y). Le parti reali e immaginarie sono indicate rispettivamente come Re{f} e Im{f}.

• La continuità della funzione f è equivalente alla continuità delle funzioni u e v.
• La funzione f è olomorfa se e solo se le seguenti relazioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte:

∂u/∂x = ∂v/∂y
∂u/∂y = -∂v/∂x
∂f(z) = ∂f(x, y)/∂x