Integrali, Equazioni Differenziali

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INTEGRALI

INTEGRALI INDEFINITI

Affinché si possa calcolare l’area sottesa al grafico di una funzione, limitatamente a un intervallo deve

[, ], ()

essere integrabile.

partizione di mentre l’estremo superiore :

= famiglia di intervalli dove l’estremo inferiore

• [, =

] =

0

]: = … − }

= {[ ,

+

affinché una famiglia di intervalli sia la partizione di [, ]:

gli intervalli non devono avere punti interni in comune

− −1

l’unione degli intervalli deve coincidere con

− [ ]

[, ] = ,

⋃

+1

=0

è composta da

[, [ ], [ ], [ ], [ ]

] , , , ,

esempio: la seguente partizione di =

0 1 1 2 2 −1 −1 0 1 2 −1

ampiezza = differenza fra l’estremo superiore e inferiore:

• | |:

− = … −

+

ampiezza di = estremo superiore dell’insieme di tutte le ampiezze dei singoli intervalli:

• [, ] |:

− = … − }

= {|

+

dentro ogni si costruiscono dei rettangoli che hanno la somma delle aree dei

Si sceglie un punto

intervallo e si proiettano i punti come base le ampiezze degli intervalli rettangoli si avvicina all’area

 

sul grafico per ottenere e come altezza i vari sottesa dalla curva

( ) ( ) ():

somma integrale

la di

definisce come

0 1 2 −1 0 1 2 −1 −

∑ ( )

(, ) = − ( )

∙

+

=

0 1 2 3 0 1 2 3

secondo Riemann

Caratteristica peculiare dell’integrazione è il fatto che l’insieme d’integrazione è un intervallo.

� ̂ �

Dato con e sia

[,

, , ⊆ ℝ ] ⊆ , : → :

�ℝ �

−

è i n

t e

g

r a

b

i l e s e

c o

n

d

o R i e

m a

n

n in finito

[, )

(

] ≝ ∃ (, ) = − ( )� = ()

∙

�∑ ∫

+

=

→ → [,

0 se ∈ ℝ − ℚ ∩ ]

Una funzione non integrabile secondo Riemann è la funzione di Dirichlet () = � [,

1 se ∈ ℚ ∩ ]

dimostrazione:

si suppone per assurdo che finito

∃ lim (, )

 →0

ciò vuol dire che se allora

∀() ∈ ()∃(0) ∈ (0): ∈ ∩ (0) − {0} () ∈ ()

 ovvero se allora |()

∀ > 0∃ (0) ∈ (0): ∈ ∩ (0) − {0} − | < − < () < +



<

[,

− < 0 < + se ∈ ℝ − ℚ ∩ ] > − l’assurdo conferma l’ipotesi (, )

∄ lim

� �

  

[,

− < 1 < + se ∈ ℚ ∩ ] < 1 + →0

> 1 −

teoremi sulle funzioni integrabili secondo Riemann:

• sia con la continuità è condizione sufficiente ma non necessaria:

− [,

: → ] ⊆ ,

se è continua in allora è integrabile in

[, [,

] ]

la limitatezza è condizione non sufficiente

− se è generalmente continua è limitata allora è integrabile

se è monotona è limitata in allora è integrabile in

− [, [,

] ]

CALCOLO DEGLI INTEGRALI

proprietà di linearità:

•

dato integrabile in con

− [, = ()

] ∈ ℝ, ∙ () ∫

∫

dati integrabili in

− [()

[,

+ ()] = () + ()

, ], ∫ ∫

∫

proprietà del confronto = dati integrabili in

• [, ≤ ()

() ≤ () ], () ∫

∫

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proprietà di additività =

• () = () + ()

∫ ∫ ∫

1

� () sin cos 2

cos

+1

() ∙ + − cos + sin + tan +

+

+ 1 1

1 1 1

� () 2 2

1 + sin

2

√1 −

() ln|| + arcsin + arctan + − cot +

+

ln ′

()

′ ′

() ()