Equazioni della meccanica

Eq fondamentale del moto

F = m ẍ

• 1 particella (m>0) ɋ R³ con legge oraria x(t)
• velocità istantanea ẋ(t)
• accelerazione ẍ(t) con F = F(x(t), ẋ(t), t)

Introducendo una variabile ausiliaria:

• ẋ = v
• ȳ = v
• μ ȳ̇ = F(x, v, t)

Si suppose sempre F_i ɋ C^∞

Problema di Cauchy

• x(t): x(t_o) = x_o => x(t) = ?
• ẋ(t): ẋ(t_o) = v_o

N particelle con legge oraria x₁(t), x₂(t), ..., x_N(t)

• μ_i ẍ_i = F_i con F_i = F_i(x₁, ..., x_N, ẋ₁, ..., ẋ_N, t)

"La forza è data da campo esterno e quella di interazione tra corpi + termine d'attrito; allora F = f(x, t) + ∑_{j ≠ i} ξ(x_i - x_j) - γ ẋ"

Forze conservative

F = f(x) è una forza particolare → μ ẍ = F(x) Una forza è conservativa se è posizionale e si può scrivere come gradiente di una funz. scalare (energia potenziale)

F(x(t)) = - ∂U / ∂x = - ∇ U(x) U: R³ → ℝ U ɋ C²

• Data F(x) come stabiliamo se è conservativa?

Teorema

F conservativa lavoro ∫_a^b F(x)dx dipende solo da A e B