Equazioni della meccanica

Eq fondamentale del moto

F = ma 1 particella (m > 0) in R³ con legge oraria x(t) vettore istantaneo velocità ẋ(t) accelerazione ẍ(t)

μẍ = F ⇔ con F = F(x(t), ẋ(t), t) introducendo una variabile ausiliare: v = V e v = v/μ μẏ = F(x, v, t) S. suppone sempre F ∈ C^∞

Problema di Cauchy

x(t₀) = x₀ ẋ(t₀) = v₀ N particelle con legge oraria: μ₁ẍ₁ = F₁ con F₁ = F(x₁, …, x_N, t) … μ_Nẍ_N = F_N

"La forza è data da campo esterno + quella di interazione tra corpi + termine d'attrito; allora F = f(x, t) + Σ_i=1^NΣ_{j ≠ i} f(x_j) - γẋ_i"

Forze conservative

F = f(x) è una forza posizionale → μẍ = F(x) Una forza è conservativa se è posizionale e si può ricavare come gradiente di una funzionale scalare (energia potenziale).

F(x(t)) = -∂V/∂x(x) = ∇V(x) con U: R³ → R U ∈ C²

Dato F(x) come stabilirne se è conservativa?

Teorema

F conservativa ⇔ lavoro ∫_A^B F(x)dx dipende solo da A e B

Eq fondamentale del moto

F = ma → 1 particella (m > 0) in ℝ³ con legge oraria x(t) velocità istantanea ẋ(t) accelerazione ẍ(t) mẍ = F ⇔ F = (x(t), x(t), t) introducendo una variabile ausiliaria: v = vẋ = vẍ = 1/m F(x, v, t) S. suppone sempre F ∈ C∞

Problema di Cauchy

x(t₀) = x₀ → x(t) = ? ẋ(t₀) = v₀ N particelle con legge oraria: m₁ẍ₁ = F₁ con F = (x₁, ..., xₙ, t) m₁ẍₙ = Fₙ

"La forza è data da campo esterno + quella di interazione tra corpi + termini d'attrito; allora F = f(x, t) + ∑_{i ≠ j} f(x_j) - ẋ"

Forze conservative

F = f(x) è una forza posizionale → mẍ = F(x) Una forza è conservativa se è posizionale e si può ricavare come gradiente di una funz. scalare (energia potenziale)

F(x(t)) = -∂U/∂x(x) = ∇U(x) con U: ℝ³→ℝ U ∈ C²

Dato F(x) come stabilisco se è conservativa?

Teorema

F conservativa ⇔ lavoro ∫_A^B F(x)dx dipende solo da A e B

Definizione

Definisco γ(S) parametrizzazione della curva γ definita per s ∈ [0,T], γ(0) = A, γ(T) = B ⇒ dX = γ'(S)ds Ad esempio, S può essere un tempo ∫_A→B E(X)dx = ∫_0→T F(X(s))γ'(S)ds Questa definizione è indipendente dalla parametrizzazione della curva

Per forte posizionalità, lavora un gradiente da conoscere nel percorrere curva (es. velocità) Per conservativo, non dipende numericamente dalla curva

Dimostrazione

(⇒) Lavoro lungo γ = ∫₀^T F(X(s))•γ'(S)ds == ∫₀^T ∂U/∂x(X(S))•γ'(S)ds = ← ∫ conservativa = ∫₀^T dU/(dsds)•ds = -U(B) + U(A)

(⇐) Definisco U = 0 del potenziale, → U(0) = 0 In qualsiasi altro punto X₀ ∈ ℝ³ definisco U(X₀) = ∫_x→x0 F(x)dx Si verifica che ∂U/∂x = F(x) sfruttando la def. di app. lucr. * non dipendono esplicitamente dal tempo, né da velocità o altre derivate superiori

Teorema

Se F è conservativa → ∂F_i/∂x_j, ∂F_j/∂x_i ∀ i, j ∈ {1, 2, 3}

Dimostrazione

F = ∂u/∂x → ∂²u/∂x_j∂x_i