Equazioni differenziali

I

intervallo, su l Allora generale

a dalla

a

e

I ay su

= =

. ,

Sassids Gay

è

Inoltre funzione

R

dati per

di

La

I ( +=

yo yoe son

to y

,

, y( yo

+ a) =

* Dimostrazione 1/2 Ket(t)

Abbiamo già Dobbiamo

il

#1 Sia

metodo (t)

.

)

(

di

sol altre

y(t) siales

&

mestrato che

con mostrare

che sono

: y

le e

non ce ,

= . A(t)

(t)) =(

(t)e

(Het(t ! =(t) Att

)e

a(t)) a(t(y (

a(t)y

z'H) (t)e

,

(00) Si

di (t)e

) ha +

consideriamo z( y

+

sol y

+ : 0

-

e -

y

= =

=

,

. ,

= ,

↳ y (*)

Dz(t) risolve

I su I ,

= = A(t)

(t) +

Re D

y =

D

= .

EDO omogenea

CNEARE (Mon

DEL ORDINE

I

() dovrà costruire

(1) b

y a

b si

: b

ay + *

+ >

= ,

, La

- yolteke

,

La

Allora kef

Sia

Thm funzioni

primitiva Con

dell'ED

qualsiasi soluzione A dia +yo(t)

o lineare

Sia una

2 :

: y

. ·

. /

di (

dell'omogenea

soluzioni tutte &

associata sono le sol

sole

e y cioé y-y

Dim (y-y)) b a(y-y)

y' b)

(ag

Sia L'omogenea

(4)

y(t) di Allora

soluzione risdue

ay +

+

: se

-

= =

- =

.

kat(t)

y

y

associato yob

- =

=

s ~

Resta capire e

Caldare Trovare

-

da da

come : # ! risduerá

j ( )e y' (H b(t)

a(t)y

Strategia Dele

VARIAZIONE Che

COSTANTI tipo +

Cerco (t)

: +

del c

Sol

Una

no = = .

)et(t) )et()

** + **

c()er(t) Empongo b(t)

'(t) c(t)a( (CHa(He

('(t)e

risolva a(

+ (c( +

Calcola *: +

· +

che

+

=

· =

I

+(t) A(t)dt

fa(t)e

1((t)

b(t)e

=

c'(t)

. =

=

= (fatafet-keflt

(IL Le = yot)

inI funzioni (t) tutte

y()

intervalla

Sia primitiva

I ,

+ dia

a + ee

sonc

b =

, .

)

(

di &

Soluzioni .

EQUAZIONI SEPARABIU

VARIABILI

a kt('(j) I

() T

°

y'(t) a(t)b(y) intervalli

at2 ave

con

= , , ,

(0)

D é è

i

Se Mi

R b(y) dell'eg dividere blyl

quinci

()

i c y(t) l'eg stenendo :

So per

0 1 Na

: concesso

=

=

a =

· . .

. y'(t)

i

un'altra

considero a(t)

soluriche (*) yxt

J( y(t)

y +

di +

+

: 1 =

· =

The fauchy Lipschitz b(y(t)

di

Se 1

primitiva

B prim B(y(H)

dia

A A(

-

una = )

e + +

, c

. =

D

Posso la

ricavare invertendo

(a volte) la (t)

ERVAZIONI DEL ORDINE

IT

Lineari Costanti

.

coeff

a

· R

f(t)

ay"

studiare

Vogliamo by' cl c f

+

+ ab

con

= , (copio

& et

e *

Equazioni Cerco cui A(x)

byt

ay" primitiva

in

sarrioni ordine

a)t) la

facevo in

quello

tipo a(x) questo

sol. era

y(x) di

· con

del e

omogenee + che che

cy per

mo :

= =

: * c)

ce

*

a-x)

é *

Impongo (axbx

ay"

l'ea by't 1 an

are

y'(x)

-A(x) 04 br

bre 1

costante +

+

1 0

xe = +

cy

caso c

+

mo + =

+

: =

= o :

= =

no =

=

= E

zu

* Vo -

y"(x) xe L'esponenziale numerica

Tramite un'equazione

passa complesso e

= ⑤ differenziale

Man

ex

e !...?

soluzioni Se formula risolutiva radici

MMzER ACO di

Se le

~ sona

a A

: cercare

Alo : no -

ve

,

e ne è

è

!1 R

Se 1 7 soluzione , saluz

e

: ·

:

~ 0 ·

= .

Tumi ceR(*) Consideriamo l'equazione

a y"

Consideriamo artan

l'Edo by CARATTERISTICA +

associata

ab 0

c

cy

+ 0 :

+ = =

, .

, Be

Ac BERet

é BER

(1) y(t)

Si A

1) b-4ac10

Se l'integrale A

dato

di

generale

na da +

: = ,

, ,

, *

* Bt) ett

2) L'integrale

r2-4ac e ABER

Se A Bte (

y(t)

generale (1) dato da

di +

0 +

= =

= ,

, -7

3) -st)

Bsin)

b-4acO

Se é (Acos))

L'integrale di eza

)

( data BER

A

da

4 y(t)

generale +

=

, ,

,

2a

Parentesi +is

e

è

(complessi) *

immaginaria i (iAR) Si

unità

i (cosy ising)

in definisce C

y)

z .

(x e

+ dove 1

:

X + e

=

=

: = =

, .

=

2-b

ar Formula

Al br

mesto 10

c

scopa +

+ :

0

: 1

no

= , , 2a D

da-En isin(x)

e * (cos(x)

us "e

=

i

Le 2)

dell'equazione

(complesse) 1)M = +

sono

so sor : =

(cosx) isin())"

T 2x

e -

= lOMoARcPSD|48801794

Equazioni Differenziali

Analisi matematica I (Politecnico di Torino)

lOMoARcPSD|48801794

EQUAZIONI DIFFERENZIALI funzione

y(t) = associata

Un’equazione dierenziale è un’EQUZIONE FUNZIONALE (ovvero un’equazione in cui l’incognita è una ex

alle sere

funzione), in cui compaiono una o più derivate della funzione incognita, che deve essere denita nel suo derivate

dominio.

EQUZIONE DIFFERENZIALE ORDINARIA

Un’equazione dierenziale è dea ORDINARIA se la sua incognita è una FUNZIONE AD UNA SOLA VARIABILE

(es -> f’’(x) + f’(x) + f(x) = 0).

In caso contrario è dea A DERIVATE PARZIALI (non traate).

NOTAZIONE: f(x), y(x), x(t), y(t), t(x)

L’ordine massimo di derivazione con cui la funzione incognita compare in un’equazione dierenziale

ordinaria, è deo l’ORDINE DELL’EQUAZIONE DIFFERENZIALE.

Un’equazione dierenziale ordinaria è dea espressa in FORMA NORMALE se tale equazione è ESPLICITA

rispeo alla derivata di ordine massimo. (es -> y’ = (x+1)siny)

Una SOLUZIONE di un’equazione dierenziale ordinaria di ordine n ϵ

N, è una funzione y(x) ( ϕ

(x)), denita e

∀x

derivabile n volte su un intervallo non degenere J che verica l’equazione per ϵ J.

ESEMPIO:

y’ = y x ϵ

J

y = x² è soluzione ?

2x = x² <=> x=0, x=2 -> non è soluzione perché vale solo in alcuni punt

Y = e Ë£ -> è soluzione perché vale in tut i punt

INTEGRALE GENERALE di un’equazione dierenziale è l’insieme di tue le soluzioni dell’equazione.

INTEGRALE PARTICOLARE di un’equazione dierenziale è una specica soluzione dell’equazione.

PROBLEMA DI CAUCHY (o dei valori iniziali) Sante

interv

'

y x , y

{ ( ) Presi

=f

y x y

=

( )

0 0 DETERMINARIA

= DA

Una SOLUZIONE del problema di Cauchy è una soluzione y(x) dell’equazione dierenziale y’ = f(x,y), denita

∀x

ϵ J, con x ϵ

J e tale che y(x ) = y

0 0 0 E

L’intervallo che contene la condizione iniziale è deo INTERVALLO MASSIMALE.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE A VARIABILI SEPARABILI

Un’equazione dierenziale del primo ordine è un’equazione dierenziale in cui, oltre alla funzione, compare

solo la sua derivata prima.

y’ = g(x)h(y) -> equazione a variabili separabili

g:J -> R

h:J -> R

g, h contnue -> così il problema di Cauchy ha una sola soluzione

lOMoARcPSD|48801794

RISOLUZIONE:

1) Se esistono delle y=c (costante), c ϵ

R, tale che h(c) = 0

=> 0 = 0 (identtà) -> se esiste è soluzione

2) y’ = g(x)h(y), h(y) ≠ 0 ⅆ y

ⅆ ⅆ

x x

y’ = - = g(x)h(y) -> = g(x)dx

>

dy dy h( y )

dy

∫ g x dx

∫ ( ) ˉ¹(G(x) + c) -> soluzione dell’equazione

=> = -> H(y) = G(x) + c -> y = H

h( y )

INTERVALLO MASSIMALE o DOMINIO MASSIMALE -> è il più grande intervallo contenente il punto x in cui

0

è denita la soluzione del problema di Cauchy

TEOREMA

g ϵ

C°(J)

1

h ϵ

C (y) '

y x , y

{ ( )

=f

Allora il problema di Cauchy , ammee una ed una sola soluzione

y x y

=

( )

0 0

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL PRIMO ORDINE

y’ + a(x)y = b(x)

a,b:J -> R , a e b contnue e J non degenere.

Sono present due casi:

1) Se b(x) = 0, l’equazione è dea DIFFERENZIALE LINEARE OMOGENEA e ha forma:

y’ + a(x)y = 0 (y=0 è soluzione)

2) Se b(x) ≠ 0, l’equazione è dea DIFFERENZIALE LINEARE COMPLETA e ha forma:

y’ + a(x) = b(x)

CASO 1, risoluzione -> y’ + a(x)y = 0

dy x dx

∫ ∫ ( )

−a

y’ = -a(x)y -> = (si traa come se fosse a variabili separabili)

y

-> log|y| = -A(x) + c, dove A(x) è primitva di a(x)

-A(x) + c c -A(x) c -A(x) -A(x) c

-> |y| = e = e e -> y = +- e e -> y = k e , con k = costante (+- e )

CASO 2, risoluzione -> y’ + a(x)y = b(x)

METODO DELLE VARIAZIONI DI COSTANTI (di Lagrange)

-A(x) -A(x)

y = k e -> y = B(x)e

0 p

dove y è la soluzione dell’omogenea corrispondente e B(x) la costante che viene faa variare.

0 -A(x) -A(x)

-> y’ = (B(x)e )(-A’(x)) + B’(x)e (derivo applicando la regola di derivazione del prodoo)

p

-A(x)

-> e (B’(x) – a(x)B(x)) (perché A’(x) = a(x))

-> Sosttuisco quanto calcolato nell’equazione di partenza

-A(x) -A(x)

e (B’(x) – a(x)B(x)) + e B(x)a(x) = b(x)

-> Svolgendo i calcoli ci si ricondurrà ad una forma del tpo

A(x)

B’(x) = e b(x)

exp A X b