Equazioni alle derivate parziali, integrali doppi e tripli, serie di Fourier

FORMULE UTILI

cos²θ = 1/2 cos 2θ + 1/2

sen²θ = 1/2 - 1/2 cos2θ

sen3θ = 3senθ - 4sen³θ

cos3θ = 3cosθ - 4cos³θ

sen4θ = 8cos³θ senθ - 4cosθ senθ

cos 4θ = 8cos²θ - 8cos²θ + 1

cos²sen²θ = 1/2 cos 2θ = 1/4 cos4θ

cos³ senθ = 1/4 sen θ - 1/4 senθ

cos² sen² θ = 1/2 - 1/8 - 1/4

cos 3θ = 3 sen θ - 1 sen θ

coshx = (e^x + e^-x)/2

sinhx = (e^x - e^-x)/2

∫sinx = -cosx

∫cosx = sinx

-cosx = -sinx

∫-sinx = -cosx

cos(α - β) = cos(α)cos(β) + te α (β)sex ( β)

cos (α + β) = -cos(α)cos(β) + te α (β)sex (β)

sen (α ± β) = sen (α)cos(β) ± cos (α)sen (β)

sen (α - β) = sen (α)cos(β) - cos(α)sen (β)

sen (p) = 2sen (1/2) cos (2/2)

sen (p) = 1 - 2 (cos( α )/2 cos (β/2)

[cοs (ρ), cos (α), = 2 cos (p+q/2) cos (p-q/2)]

cos (p) - cos (q) = -2sin (p+q /2) sin (p- q /2)

Circonferenza: (x - xc)² + (y - yc)² = r²

Parabola: y = αx² + bx + c

Δ = b²- 4ac

V = (-b/2a; -Δ/4a)

se la parabola è orizzontale il vertice è

Equazioni derivate parziali

1) _tu_t(x,t) + a_xu_x(x,t) + b_xu(x,t) = f_x(x,t)

• u(x,0) = g_x(x)
• Tracce delle caratteristiche x = x₀ + at
• Uso della formula esplicita u(x,t) = e ^{₀t b(s) ds} u(₀^x(x,s))

2) u_t + a(x,t)u_x + b(x,t)u = g(x,t)

• u(x,0) = g(x)
• Cedo le caratteristiche ₁^x - b(x,s) ds + integr. di t seno alla variabile aperta (*)
• Trovo x = xi(t₀,s) e poi uso x₀ per trovare psi(x,t)
• Determinazione (u_n,s) risolvendo v(x) = phi(x) cos
• Trovo la soluzione

(x + x₁) = (x₀) e ^{₀x g(s) ds}

3) u_t + q(x)u_x = 0

• u(x,o) = g(x)
• Caratteristiche x = x₀ + q*g(k₀)t
• Escrezione implicita per u, u = g(x - q(u))t
• Esplicita pi
• If caratteristica che parte da x₀
  • a non esiste o non è unica
  • onda a complicazione o al sold
• u(x,t) = g(x).

13)

u_tt − c²u_xx = ϕ(x, t)

u(x, 0) = 0

u_t(x, 0) = 0

u(0, t) = u(L, t) = 0

condizioni di compatibilità ϕ(0, s) − ϕ(L, s) = 0

u(x, t) = ¹/_2c ∫₀^L [∫_x-s^x+s ϕ(ξ, s − η) dη] dξ

14)

u_tt − c²u_xx = 0

u(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ L

u_t(x, 0) = 0

u(0, t) = u(L, t) = 0

condizioni di compatibilità g(0) = h(0) = g''(L) = 0 h(0) = h(L) = g'(0) = g'(L) = 0

15)

u_t − Du_xx = 0

u(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ L

u(0, t) = u(L, t) = 0

1. Calcolo b_k b_k = ²/_L ∫₀^L g(x) sen κx dx
2. Soluzione u(x, t) = ∑_k=1^∞ u_k(x, t) = ∑_k=1^∞ b_k e^−(κ_k)2Dt b_k sen ^κ/_L

SERIE DI FOURIER

REGOLARE IN TRATTI funzione definita singolarmente in un numero finito di punti

PARI RISPETTO A x₀ f(x) = f(2x₀ - x)

DISPARI RISPETTO A x₀ f(x) = f(2x₀ - x)

f (2x₀ - x) = -f(x)

RELAZIONI DI ORTOGONALITÀ

• ∫ cos kx cos nx dx = { 0 se k ≠ n π se k = n ≠ 0
• ∫ sen mx sen nx dx = { 0 se k ≠ n π se k = n ≠ 0

COEFFICIENTI DI FOURIER

a₀ = (1/π) ∫ f(x) dx

a_n = (1/π) ∫ f(x) cos nx dx

b_n = (1/π) ∫ f(x) sen nx dx

SVILUPPO DI FOURIER

1. Calcolare coefficenti
2. Scrivo la serie a₀/2 ∑_k=1^∞ (a_n cos nx + b_nx sen nx)

CONVERGENZA PUNTUALE

• f(x) dove è continua
• ψ(x) di discontinuità a/2

CONVERGENZA TOTALE

f continua

FORME DIFFERENZIALI

DEFINIZIONE DELLA FORMA DIFFERENZIALE

ω = dF = ∂F(x,y)/∂x dx + ∂F(x,y)/∂y dy

ESATTA ω è esatta se è il differenziale di una funzione in ℝ²

dω = 0

1. STABILIRE SE È UNA FORMA ESATTA E IN CASO AFFERMATIVO CALCOLARE LA PRIMITIVA

2. ω di classe C¹ definita in un dominio connesso ed è chiusa

3. CHIUSA: ∂Q(x,y)/∂x = ∂P(x,y)/∂y

4. CALCOLARE PRIMITIVA:

   ∫P(x,y) dx = ϕ(x,y) + g(y)

   ∫Q(x,y) = ϕ(x,y) + f(x)

5. ∴ Sottraggo da Q(x,y) per trovare dG

6. Sostituisco in ϕ(x)

Teorema della divergenza

1. Calcolo div F

div F = ^∂F₁/_∂x + ^∂F₂/_∂y + ^∂F₃/_∂z

2. Aperto e accluso

∫∫S divF d3σ = ∫∫∫VN. d3σ

F = (x, y², z)

S = superficie su cilindro x² + y² = 1 compresa tra

F = 0 e z = 1

3. indirizzo e dominio trovato da parametrizzando

x = 1 cosθ

y = 1 senθ

z = 0 e z =1, 0 < θ < 2π, 0 < z < 1

S₁

F = x cosθ + y senθ

F = (cosθ, senθ, 0)

F n dσ = cosθ . senθ . 0 d dθ z

3. Calcolo dell'integrale

F = (x cosθ

E . M = x cosθ + y senθ ≤ dz θ = ^5π/₂

σ = (cosθ, senθ, 0) d dθ dz

Calcolo uso divergenza

div F = 1 + x

^∫∫_S∫ x^{p p₂}

z = ⁷/₂ ^∫∫

2)

∫_{Σ N}

1. Dove V e G dominio delimitato dalla superfice Σ: z = √(√ + z²)

   ̅= (√̅√ z²/3, y̅ z²/3, 4 z½)

2. L'integrale della funzione richiudibile si riduce alla divergenza

   ∫_Σ Σ + ∫_V div ̅dv = 0

   ∫_V div ̅dv = ∬_∂G div ̅ dv

   div ̅ = ∂/∂x + ∂/∂y + ∂/∂z = 0

   ∬_∂G (1 + y²/2 + z²/2) dx dy dz

3. E si ha l'integrale triplo preso in coordinate cilindriche

   x = ρ cosθ

   0 ≤ ρ ≤ √n/3

   y = ρ sinθ

   0 ≤ θ ≤ 2π

   z = z

   0 ≤ z ≤ √(√3 - ρ²)

   (2/3 + 1/2 ρ² + 1/2 z² = z² + 1/2 ρ² sinθ + 1/2 ρ² cosθ = 2/3 + zcosθ

   dr dy dz = ρ dzdθ dρ

4. Risultato integrandolo

   0∬ n↑2/3 ∬ √n↑3 ∫ √z 2/3 ρ dzdρ dθ = ∫0↑2π ∬ 0↑4/3 √z 4√z/3 ρ² dzdθ

   ∫0↑n ∬ 0↑3 ∫ √z 2/3 ρ² ρ dz dρ = ∬ 0↑n ∬ 0↑3 (√z 4/5 ζ)^3/2 dζ = ∬0↑n ∬0↑3 (√z)³/4 ρ dζ

   ∫0↑n ∬ 0↑1 ∫ 0↑3 (√z 2/3 ρ²) dρ dzdθ

   = 0∬ 0↑2π ∬ 0↑√z {2√ρ (√ρ 4/9 ρ² ρ)^3/2} = ∬0↑n ∬(2/3√z/5√z)⁴/⁵

5. 2√3 8/5 π

3)

Sviluppo in serie di Fourier di sin coseni, esaminando la convergenza

Φ(x) = { √(3/x) 0 ≤ x < π/3

√(z) π ≤ x < 2π/3

2/3 π < x < π

L → √±π

1. Vedo se la funzione è saltuale

   ³√ sin(x) n 2π/k nφ k = ∫0↑ π√3

   3 sin(x) 2π/kx 2π/F π 2/3

   2π/kx 2π/3

2. Calcolo Φ e c

   √n/3 cos(kx/2) (cos kx dx)

   = 2/3/∞ φ ρ (√π/k)²

   Φ continua → convergenza anche

   asin(Φ)k nρ (cos Φ) f(n)^ρ²/3

   0 = 4/x² -/-.p

   nρ → tanρ/n√

   → 0

   x/√3

   → 0

   → Φ(√(z)k/π)^2/3 dx/√3

   nρ Θnρ tan(n) -k

   0

   n^ρ(cosΦ)

   (cos nx + 2cos(nπ)dx

   x_n≈2

   n^ρ → |tan(n)|/cos(a) Φ(a)/√Φ

   1/φ