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La soluzione a priori dell'indifferenza di prima
La soluzione non è definita in un intorno xo ma in una striscia delin intervallo che io ho deciso. È utile quando voglio trovare la soluzione in modo qualitativo, cioè quando non riesco a risolverla, e voglio dire qualcosa su come si comporta, o per fare un grafico o se esiste.
Se introduciamo nello spazio vettoriale una norma, lo spazio vettoriale si dice spazio vettoriale si può rendere metriconormato, assumendo per definizione come distanza fra due vettori x e y la norma della differenza fra i due vettori.
Definizione di norma: la norma di un vettore X, un funzionale reale quale che stiamo considerando X il definito su tutto il nostro insieme funzionale gode delle seguenti proprietà:
- La norma del vettore sia una quantità sempre positiva, la norma del vettore
X=0 solo se X è il vettore nullo.
Per ogni x vettore appartenente al nostro insieme X e considerando un valore λ appartenente all'insieme dei numeri complessi:
Si ha che il modulo, la norma di X è uguale al modulo di:
Per la norma di x:
La disuguaglianza triangolare, quindi la norma x+y è minore uguale della norma di x più la norma di y, considerando x e y degli elementi vettoriali.
Andiamo a ricercare non più una linea, ma una superficie.
Anche qui possiamo applicare un problema di Cauchy e gli chiediamo che la soluzione sia unica e soddisfi il PDC, tra le infinite sup determino quella superficie che contiene una particolare linea che soddisfi il PDC.
Per trovare la soluzione di questa equazione alle derivate parziali, possiamo operare, sotto determinate ipotesi, provando a scrivere l'equazione di questa superficie, utilizzando lo sviluppo in serie.
Dato derivate parziali rispetto a x o rispetto a y, vado a calcolare.
utilizzando una combinazione lineare di queste particolari soluzioni. In questo modo, otteniamo una soluzione generale che tiene conto di tutte le possibili oscillazioni della corda. Per fare ciò, supponiamo di avere una soluzione del tipo y(x,t) = X(x)T(t), dove X(x) dipende solo da x e T(t) dipende solo da t. Sostituendo questa soluzione nell'equazione delle onde, otteniamo: X''(x)T(t) - c^2X(x)T''(t) = 0 Dividendo entrambi i membri per X(x)T(t), otteniamo: (X''(x)/X(x)) = (c^2T''(t))/T(t) Poiché il primo membro dipende solo da x e il secondo membro dipende solo da t, entrambi devono essere costanti. Chiamiamo questa costante k^2. Quindi abbiamo: X''(x)/X(x) = k^2 c^2T''(t)/T(t) = k^2 Risolvendo queste due equazioni, otteniamo: X''(x) - k^2X(x) = 0 T''(t) - (k^2/c^2)T(t) = 0 La prima equazione è un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine per X(x), mentre la seconda equazione è un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine per T(t). Risolvendo queste due equazioni, otteniamo le soluzioni X(x) e T(t). La soluzione generale dell'equazione delle onde sarà quindi una combinazione lineare di queste soluzioni: y(x,t) = Σ[A_nX_n(x)T_n(t)] dove A_n sono costanti arbitrarie e X_n(x) e T_n(t) sono le soluzioni delle equazioni differenziali per X(x) e T(t), rispettivamente. In questo modo, abbiamo separato le variabili x e t e abbiamo ottenuto una soluzione generale per l'equazione delle onde.Sovrapponendo le infinite armoniche utilizzando il metodo di sovrapposizione
112113114115116117118119120121122
Prototipo di equazione ellittica sififica che trovo dele caratteristiche non reali. Per esempio per lo studio della L'equazione di aplace serve temperatura di un corpo omogeneo e isotropo in condizioni di equilibrio (la soluzione da quelliu dipende solo dalle ariabili spaziali e non studiando problemi in equilibrio non temporali u=u(x,y) perche abbiamo dipendenza dal tempo). L'equazione di Laplace descrive il caso stazionario, indipendente dal tempo dell'equazione di diffusione (equazione del calore). La posizione di equilibrio di una menbrana perfettamente elastica è una funzione armonica (Le funzioni si dicono armoniche, le soluzioni dell'eq!u !u=0) di laplace, cioè le soluzioni di Più in generale l'eq di poisson svolge un ruolo importante nelle teorie dei campi conservativi (elastico, magnetico...) dove il vettore campo è gradiente
di un potenziale.Studia problemi staionari, indipendenti dal tempo e la soluzione udipende solo dallo spazio x e y che variano in un dominio omegacontenuto in R^2
Le soluzioni armoniche sono anche funzioni analitiche!u=0
Le linee caratteristiche di 123124125126127128129130131132133134135136137138139140
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