Complementi di analisi matematica - equazioni differenziali

EDO 1^o ordine (richiami)

Non esiste un'unica formula risolutiva per le equazioni differenziali.I due casi più ricorrenti sono:

1. equazione differenziale ordinaria lineare
2. equazione differenziale ordinaria a variabile separabile

Ovvero, per la proprietà di linearità deve valere:

• F(y₁ +y₂) = F(y₁) + F(y₂)
• ∀y, y₂ funzioni derivabili in I
• ∀y derivabile in I ∧ ∀y ∈ R

Più sinteticamente deve valere: F(λy₁ + μy₂) = λF(y₁) + μF(y₂).

Sia y' + a(x)y + b(x) = 0 una EDO lineare del 1^o ordine, una funzione y : I → R è soluzione della relazionese la y è derivabile in I ed y'(x) = a(x)y(x) + b(x).

La risoluzione della EDC: una famiglia di soluzioni dipendent di un parametro reale (c ∈ R) nella forma:y(x) = c e ^-A(x) + e ^-A(x) ∫ e ^A(x) b(x) dx, dove A(x) è una primitiva di a(x).

Se si considera il problema di Cauchy, la formula è analoga al caso precedente, ma l'integrale sarà definito:y'(x) = y' a(x)y + b(x)

Se y è soluzione del problema 3 con definita e derivabile in un intervallo J che contiene x_o ed y(x_o) = y(a(x)y(x) + b(x)).

Moltiplicando entrambi i membri della 4 per e ^-A(x) (cioè e ^-∫a(x)dx), si ottiene:

y(x)_{xo = xo} a(x_o)y(x_o) = [c_xo] + k(x) e ^-∫a(x)dx.

Tuttavia il termine (–) risulta coincidere con e ^A(x) y(x)

Sostituendo, si ottiene: d/dx( e ^A(x) y(x)) = b(x) e ^A(x)

Integrando ∀ x ∈ I, x_o, ∀ x₁, x_o, otteniamo y(x) = c e ^-∫a(x)dx -y_oy_o + ∫_xo^x e^A(x) b(ξ) dξ

Segue: y_o: ∫_x^x_o [ e^A(x) b(ξ) dξ] _A(x)

Per cui: y_o: ∫_xo^x (e ^A(x)) dξ

Dunque il problema di Cauchy ammette una unica soluzione y: I → R se in espressione esplicita è data dalle

EDO a variabile separabile

Un’EDO a variabile separabile è presente nella forma (1) _y' = R(x)g(y), dove R(x) e g(y) sono funzioni continue e g(y) != 0 altrimenti C¹.

Nelle EDO a variabile separabile si procede separando preliminarmente le soluzioni l’espressione (controlli prendendo g(y) != 0). Se g'(x) tale che g(y)₀ allora in tale regione che y₀ = 2 la soluzione della (1) con y_{0 è tutta y0 != 0.}

Introduzione alla ED: Equazione del trasporto/diffusione.

Prendiamo in considerazione una sostanza inquinante in un canale (infetto) soggetto ad una corrente ed assumiamo:

• velocità della corrente costante (c)
• canale stretto (non considero la larghezza ma solo la lunghezza)
• inquinante galleggia

Indichiamo con u(x,t) la concentrazione della sostanza, ovvero la massa per unità di volume (in questo caso spazio).

Di conseguenza u(x,t)dx è la massa presente nell’intervallo di lunghezza infinitesimale (x, x+dx).

Pertanto ∫_x^x+Dx u(y,t)dy = y fornisce la massa totale della sostanza nell’intervallo (x, x+Dx), all’istante t>0.

Il tasso di variazione della massa nell’intervallo (x, x+Dx) sarà: d/dt ∫_x^x+Dx u(y,t)dy

Portando sotto il segno di integrale (vedi in seguito): d/dt ∫_x^x+Dx u(y,t)dy.

Indichiamo con q(x,t) il flusso di massa (massa per unità di tempo) entrante nel punto x all’istante t, per il principio di conservazione della massa si ottiene:

∫_x^x+Dx u(y,t)dy = q(x,t) – ∫_x^x+Dx G(x+Dx,t)

Derivando i membri per Δx, in misura (facendo tendere Δx-->0): d/dt(u(xf,t) = -d/dx G(x,t))

Si distinguono tre casi principali:

1. Trasporto (senza diffusione): se il flusso è dato dall’espressione g(x,t) = C u (x,t), allora: sostituendo nella (2) ottiene: d/dt u(x,t) = -c d/dx u(x,t), ovvero la funzione incognita u = u(x,t) soddisfa l’espressione u_t + C u_x = 0
2. Diffusione: la legge del flusso è sradicata da Fick, infatti: g(x,t) = -k u_x(x,t)
3. Trasporto e diffusione: unendo le relazioni ⁽³⁾ e ⁽⁴⁾ si uniscono: u = u_x

Le equazioni precedenti ⁽³⁾,⁽⁵⁾,⁽⁶⁾ sono denominate generale (EDP). In particolare l’equazione del trasporto (senza diffusione) è una equazione del IV ordine e l’espressione della diffusione è del 1^o ordine.

Poiché il gradiente (∇u) è a sua volta ortogonale alle curve di livello di u, ne deduciamo che il campo di vettori (a,b) è tangente alle curve di livello (in ogni punto).

Accresce differenza le curve integrali del campo di vettori (a(x,y);b(x,y)).

Ogni curva hanno rappresentazione parametrica.

t → (x(t),y(t)), con t ∈ I ed:

• x'(t) = a(x(t),y(t))
• y'(t) = b(x(t),y(t))

Se scriviamo un sistema di equazioni differenziali autonome (4).

Nell'equazione (4). a,b ∈ C(I,ℝ).

Dall'ipotesi u,b,c ∈ C(I,ℝ) segue che γ (1) è l'insieme ad unicità delle soluzioni del problema di Cauchy associato al sistema di EDO (4).

Se oscura se a(x,y)=t0 V(y)=x0 e (x0,y0) il sistema di EDO (4) è equivalente alla equazione differenziale autonoma y(t(c2))=y(x).

Per cui dy di dt' (dx/dt/dt'/dt/t)=a(t).

Quindi si ottiene che y(c)=k= x’y.

Vinhaser su C→ (x(−t),y(t)) con t ∈ S la rappresentazione parametrica di una curva γ del piano (curva integrale del campo (a,b)) e se u=x(T), una funzione di classe c è definita in un intervallo I, costante su S :

(x(t),y(t)) = costante (6).

Dallo (6) segue che la funzione

t → u(x(t),y(t)) appartiene at= C(5), con du(x(t),y(t))

qui dalle parte dx(u(x(t),y(t))) = u dx(t),y(t), dx(t) ≠ dt. y(t) = aoli x(t), + vt y(t) = (y(t)/t)

Ci verifica che

a(x(t),y(t))

Allora il y,=y(t)

Puente del campo.

EDP 1^o ordine lineari (generale) non omogenee

Una EDP del 1^o ordine lineare non omogenea si presenta: u_t + c u_x = f(x,t).

La f(x,t) prende nome di sorgente distribuita.

Indichiamo il seguente problema ai valori iniziali:

• {u_t + c u_x= f(x,y) [1a]
• {u(x,0)=g(x) [1b]

Poiché equazione lineare vale il principio di sovrapposizione.

Si scrivi l'equazione (2) come Lu= f dove L rappresenta l'operatore differenziale reale: L: u_t + c u_x

Come nel caso dell’ED  osserverò che se u_s(x,t) vale l’equazione omogenea associata L(u=0) e u=c(x,t) le soluzioni dell’equazione (2), allora la funzione u_H(x,t) è soluzione dell’equazione (2) (non omogenea).

1. u_H(x,t)= u_s(c,d)+ U₂(c,d) ^pomposa U(x,0)=g(x).

Dato che equazione conduce la sorgente. L(u_s)=L(o^c) o L(v)=f.

Vinhaser ancora si due soluzioni dell’equazione (2) fosi, gi tu quali: Lu₂ ed Lu₂.

È immediato Lu 1,x(Li)(u₂-u₂)=Lu₁, Li(x)=f-c