Enunciati dei Teoremi di Analisi 1, Appunti

A _⊂ ℝ

A ammette massimo se ∃ M∈A : ∀ x ∈ A M ≥ x

A ammette minimo se ∃ m∈A : ∀ x ∈ A m ≤ x

A ammette un maggiorante se ∃ L ∈ ℝ : ∀ x ∈ A L ≥ x Insieme limitato

A ammette un minorante se ∃ L ∈ ℝ : ∀ x ∈ A L ≤ x {∃ L ₁, L ₂ ∈ ℝ : ∀ x ∈ A

L_{1 ⊂} x ≤ L₂}

• Punto interno: ∃ x₀ : I_ε(x₀) _⊂ A
• Punto di frontiera: ∀ x ₀- I_ε(x₀) ∩ A ≠ φ I_ε(x₀) ∩ _A ^C ≠ φ
• Punto di accumulazione: ∀ x₀ - I_ε(x₀) ∩ A ∧ x₀ ≠ φ (|I_ε(x₀) - contiene ∞ punti di A
• Punto isolato: ∃ x₀ I_ε(x₀) ∩ A = {x₀}

Chiusura: A ^- A = A ∪ Acc (A)

BOLZANO-WEIERSTRASS

A_⊂ℝ limitato e infinito Allora Acc(A) ≠ φ

METODO DI INDUZIONE

P(n) proprietà vera se vera P(n+1)

Applicazione iniettiva ∀ x₁ x₂ ∈ D x₁ ≠ x₂ ⇒ f (x₁) ≠ f (x₂)

Applicazione suriettiva ∀ y₀ ∈ E ∃ x₀ ∈ D : f (x₀) = y₀

Biettività → Invertibilità ∃ F = E → D ∀f ∃ e : y = f ^-1 (g)

Insieme finito se ∃ n ∈ ℕ A ∼ {x₁, …, x_n}

Insieme numerabile se A ∼ ℕ ℕ ∼ {Q, P, D, Z} Num ₀ = ∃ f iniettiva ma non inversa con ℕ

non numerabile potenze del continuo (ℝ)

Binomio di Newton (a + b)ⁿ = ∑_{k = 0}ⁿ ( ⁿC_k) a^n-k b^k

A ⊆ R

A ammette massimo se ∃ M ∈ A: ∀ x ∈ A M ≥ x

A ammette minimo se ∃ m ∈ A: ∀ x ∈ A m ≤ x

A ammette un maggiorante se ∃ L ∈ R: ∀ x ∈ A x ≤ L insieme limitato

A ammette un minorante se ∃ l ∈ R: ∀ x ∈ A l ≤ x

{l, L} ⊆ R: ∀ x ∈ Al ≤ x ≤ L

• Punto interno ∃ x₀: I_e(x₀) ⊆ A
• Punto di frontiera ∀ x₀ I_e(x₀) A ≠ ∅ ∧ I_e(x₀ ∩ ca ≠ ∅
• Punto di accumulazione ∀ x₀ I_ex(x₀) ∧ A ≠ ∅ {I_e(x₀) ∩ A}(infiniti appartengono ad A)
• Punto isolato ∃ x₀: I_e(x₀) ∧ A = {x₀}

Chiusura À AA = A ∧ Acc(A)

BOLZANO-WEIERSTRASS

A ⊆ R limitato Ω infinito ⇒ Acc(A) ≠ ∅

METODO DI INDUZIONE

P(n) proprietà vera se vera P(n=0) P(n=1)

Applicazione iniettiva f:x ∈ D x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)

Applicazione suriettiva ∀ y ∈ E ∃ x ∈ D: f(x) = y

f e suriettiva

Bijettività ⇒ invertibilità f ∃ E → D ∃ f^-1: x → x = f^-1(g)

Insieme finito se ∃ m ∈ N A ∼ {x₁, ..., x_n} (infinito se non è finito)

qualunque

insieme numerabile se A ∼ N (Q, P, D, Z) Num s.c. ∅ una corrispondenza biunivoca con N

non numerabile potenze del continuo (R)

Binomio di Newton (a+b)ⁿ = ∑_k=0ⁿ (^M/_k) a^n-k b^k + bⁿ

Numeri Complessi

Forma: cartesiana z = (a, b)

Forma: polare z = ρ (cos φ + i sen φ)

Somma: z₁ + z₂ = (a₁ + a₂, b₁ + b₂)

Prodotto: z₁ ∙ z₂ = (a₁ ∙ a₂ - b₁ ∙ b₂, a₁b₂ + a₂b₁)

Modulo: |z| = √(a² + b²)

Reciproco: z_-1 =

Prodotto polare: z₁ ∙ z₂ = ρ₁ρ₂[cos(φ₁ + φ₂) + i sen(φ₁ + φ₂)]

Radice _n-esima: z ∈ √ρ [cos(α + 2πk/√n) + i sen(α + 2πk/√n)]

_{De Moivre}

Teorema fondamentale dell'algebra

P(z) = cₙzᵐ + cₙ₋₁z^m-1 + ... + c₁z + c₀

cₖ = q_k + i bₖ

Algebra: ∃ x₀ ∈ C: P(x₀) = 0 → P(z) ≡ (z - x₀)Q(z)

P(z) = (z - z₁)(z - z₂)...(z - z_n) ∈ n

gradi n = 1

radici del polinomio complesso

Funzione reale di variabile reale

f : D → E

x → y = f(x)

D = dominio

E = codominio

Iniettività: ∀ x₁, x₂ ∈ D x₁ ≠ x₂ → f(x₁) ≠ f(x₂)

Suriettività: ∀ y ∈ E ∃ x ∈ D : f(x) =