Enunciati dei Teoremi di Analisi 1, Appunti

A ⊆ ℝ

A insieme maggiore se ∃ M ∈ ℝ : ∀ x ∈ A M > x

A insieme minore se ∃ m ∈ ℝ : ∀ x ∈ A m < x

A insieme un maggiorante se ∃ L ∈ ℝ : ∀ x ∈ A L ≥ x Insieme limitato

A ammette un minorante se ∃ l ∈ ℝ : ∀ x ∈ A l ≤ x {z ∈ ℝ : ∀ x ∈ A l < x ≤ L}

Punto interno ∃ x₀ : I_ε(x₀) ⊆ A

Punto di frontiera ∀ x₀ I_ε(x₀) ∩ A ≠ ∅ ∧ I_ε(x₀) ∩ ℝ\A ≠ ∅

Punto di accumulazione ∀ x₀ ∀ε > 0 I_ε(x₀) ∩ A ≠ {x₀}

Punto isolato ∃ε > 0 : I_ε(x₀) ∩ A = {x₀}

Chiusura di A ũ A = A ∪ Acc(A)

Bolzano-Weierstrass A ⊆ ℝ limitato e infinito Allora Acc(A) ≠ ∅

Metodo di induzione

P(n) proprietà vera se vera (P(1) → P(n+1)

Applicare iniettiva f: x ∈ D x₁ ≠ x₂ = f(x₁) ≠ f(x₂)

Applicare suriettiva ƒ: y ∈ E Bijettiva ∀ y ∈ E ∃ x ∈ D : f(x) = g

Bijettiva → Invertibile ƒ: E → D ∃! y → x = β(y)

Insieme finito se ∃ m ∈ ℕ A ≡ { x₁, ..., x_m } (Infinito ≠ non ∈ finito) → quadrato

Insieme numerabile se A → ℕ (Q,P,D,Z) Non ≠ ∈ una corrispondenza bijettiva con ℕ

Insieme non numerabile potenze del continuo (ℝ)

Binomio di Newton (a+b)ⁿ = ∑_k=0^M ℸ^M_k a^m-k b^k

Numeri Complessi

Forma cartesiana: z = (a, b)

Forma polare: z = ρ (cos φ + i sen φ)

Somma: z₁ + z₂ = (a₁ + a₂, b₁ + b₂)

Prodotto: z₁ · z₂ = (a₁ b₂ - b₁ a₂, b₁ a₂ + a₁ b₂)

Modulo: |z| = √(a² + b²)

Reciproco: z⁻¹ = 1/z = ¹/_|z|²

Coniugato: z̅ = a - ib

cosφ = ^a/_ρ senφ = ^b/_ρ

Prodotto polare: z₁ · z₂ = ρ₁ ρ₂ [ cos(φ₁ + φ₂) + i sen(φ₁ + φ₂) ]

Radice ennesima: z ∈ C ⇒ √_n ρ [ cos( ^{α + 2nπk}/_n) + i sen(^{α + 2nπk}/_n) ]

Teorema fondamentale dell'algebra

P() = cₙ ⁿ + cₙ₋₁ ^n-1 + ... + c₁ + c₀

cₖ = ₖ + i ₖ

Almeno ∃ₖ ∈ C : () = 0 ⇒ () = ( — ₁)( — ₂) ... ( — ₘ) cn

Grado n=1

Radici del polinomio complesso

Funzione reale di variabile reale

f : D ⊆ E

x ⇒ y = f(x)

Trasformazione

∀ x₁, x₂ ∈ D x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)

Suriettiva ∀ y ∈ E ∃ x ∈ D f(x) = y

Funzione invertibile

f⁻¹ : E ⇒ D

y = f(x) ⇒ x = f⁻¹(y)

lim f(x).

Anologamente si definisce il limite sinistro che si

indica con lim f(x)

_x→x0^-

CONTINUITÀ

Diciamo che f è continua in x₀ se

_{lim f(x) = f(x0)}

_x→x0

Se f: I ➝ ℝ è una funzione reale e variabile reale definita

in un intervallo I si dice continua in I se è continua in

ogni suo punto.

TIPI DI DISCONTINUITÀ

DISC. ELIMINABILE in y = x₀ se ∃ lim f(x) = L ≠ f(x₀)

_x→x0

1° SPECIE in x = x₀ se è nob se

1) lim f(x) = L₁ ∈ ℝ 2) lim f(x) = L₂ ∈ ℝ

_x→x0^-

_x→x0⁺

3) L₁ ≠ L₂

2° SPECIE in x = x₀ se e solo se avviene una delle

seguenti condizioni:

• lim f(x) oppure almeno uno dei due limiti dx e sx

_x→x0

R’ infinito.

DEFINIZIONE TOPOLOGICA DI LIMITE

Data una funzione f definita almeno nell’intorno diritto di x₀ si dice che lim f(x) = L ∈ ℝ in senso topologico

_x→x0⁺

se ∀ϵ > 0 ∃ δ > 0. ∀x ∈ ] x₀, x₀ + δ [ ⟹ ρ(f(x), L) < I_ϵ