Introduzione
Somma delle progressioni geometriche
Enunciato
Se an è un binomio noto in progressione geometrica se il rapporto fra ogni termine (oltre al secondo) e il precedente è costante. Tale costante si dice ragione della progressione. Se il primo termine è a e la ragione è q, i termini successivi saranno aq, aq2, aq3 e così via.
∑nak = qn+1 - q/9 - q
Dimostrazione
∑nqk = ∑nqk = 1 + q + q2 + ... + qn ↔ (1 - qn+1) = 1 - qn+1 / 1 - q
Semplifichiamo i termini uguali
∑nqk ↔ (qn+1-1)/(q-1)
Raccogliamo il fattore comune per ∑naqk
Portiamo, da una parte, 1 - qn
Somma telescopica
Dimostrazione
a1, a2, ..., am bk = bk-1 x1
Enunciato
∑bk-bk-1 = a1-an+1
Teorema unicità del limite
Enunciato
Se (xn) è una successione convergente, allora il suo limite è unico
Dimostrazione (per assurdum)
Supponiamo esistano due l ≠ I1 e (I1, I2) intorno limiti di xn ∀ n, m ∈ N/ l1, l2 ∈ C ∀ ε>0 ml (ε) ∈ N / |σ1 - l1| ∀ ε>0 max (ml (ε), ml (ε)) ∈ N xn - lI, I ↔ l1, 2 > 1/3 |an-xN(σn-l2)| 0, ∃ m ∈ ℕ: ∀ n ≥ m, |an-l| cn→l ⇔ ∀ ε>0, ∃ m(t) ∈ ℕ: ∀ n ≥ m(t), |cn-l| l-ε
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